1、2015高考數學幾何概型一輪專練 【選題明細表】知識點、方法題號與長度(角度)有關的幾何概型2、4、6、7與面積(體積)有關的幾何概型1、3、9、10、12、13隨機模擬5、8綜合應用11、14、15、16一、選擇題1.歐陽修賣油翁中寫到:“(翁)乃取一葫蘆置于地,以錢覆其口,徐以杓酌油瀝之,自錢孔入,而錢不濕.”可見賣油翁技藝讓人嘆服.若銅錢直徑3厘米,中間有邊長為1厘米的正方形孔,你隨機向銅錢上滴一滴油(油滴大小忽略不計),則油正好落入孔中的概率是(D)(A)(B)(C)(D)解析:此題屬幾何概型,正好落入孔中的概率是=,故選D.2.設x0,則sin x<的概率為(C)(A)(B)(

2、C)(D)解析:由sin x<且x0,借助于正弦曲線可得x,P=,故選C.3.在面積為S的ABC的邊AB上任取一點P,則PBC的面積大于的概率為(C)(A)(B)(C)(D)解析:如圖,當BM=BA時,MBC的面積為,而當P在M、A之間運動時,PBC的面積大于,即MA=AB,則PBC的面積大于的概率P=,故選C.4.已知一只螞蟻在邊長分別為5,12,13的三角形的邊上隨機爬行,則其恰在離三個頂點的距離都大于1的地方的概率為(A)(A)(B)(C)(D)解析:由題意可知,三角形的邊長的和為5+12+13=30,而螞蟻要在離三個頂點的距離都大于1的地方爬行,則它爬行的區域長度為3+10+11

3、=24,根據幾何概型的概率計算公式可得所求概率為=.故選A.5.(2013北京海淀區三模)如圖所示,在邊長為a的正方形內有不規則圖形.向正方形內隨機撒豆子,豆子在圖形內和正方形內的豆子數分別為m,n,則圖形面積的估計值為(C)(A)(B)(C)(D)解析:由題知,所以S·S正方形=,即圖形面積的估計值為.故選C.6.如圖所示,在ABC中,B=60°,C=45°,高AD=,在BAC內作射線AM交BC于點M,則BM<1的概率為(B)(A)(B)(C)(D)解析:B=60°,C=45°,BAC=75°.在RtADB中,AD=,B=60

4、°,BD=1,BAD=30°.記事件N為“在BAC內作射線AM交BC于點M,則BM<1”,則可得BAM<BAD時事件N發生.由幾何概型的概率公式得P(N)=,故選B.7.(2013年高考湖南卷)已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P,使APB的最大邊是AB”發生的概率為,則等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:如圖,M、N分別是矩形CD邊上的四等分點,由題意,點P在線段MN上,滿足條件,則BN=AB,由勾股定理,AD2+AB2=AB2,7AB2=16AD2,得=.故選D.二、填空題8.(2013年高考福建卷)利用計算機產生01之間的均勻隨機數a,則事件

5、“3a-1<0”發生的概率為. 解析:由題意得0<a<,根據幾何概型概率公式得事件“3a-1<0”發生的概率為.答案:9.(2013濰坊一模)在區間0,4內隨機取兩個數a、b,則使得函數f(x)=x2+ax+b2有零點的概率為. 解析:若函數f(x)有零點,則=a2-4b20,即a2b或a-2b,用(a,b)表示平面內的點則在區間0,4內任取(a,b)構成如圖正方形OABC及內部的區域,面積為16,滿足0區域為陰影部分面積為×4×2=4,所以f(x)有零點的概率為=.答案:10.一只小蜜蜂在一個棱長為3的正方體內自由飛行,若蜜蜂在

6、飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1,稱其為“安全飛行”,則蜜蜂“安全飛行”的概率為. 解析:蜜蜂要想安全飛行,應在原大正方體中一個棱長為1的小正方體內部飛行,所以安全飛行的概率P=.答案:11.(2013蘇北四市模擬)已知函數f(x)=ax2-bx-1,其中a(0,2,b(0,2,則此函數在區間1,+)上為增函數的概率為. 解析:把(a,b)看成平面區域內的點,則(a,b)滿足a(0,2,b(0,2時的區域為如圖正方形OABC及內部,函數f(x)=ax2-bx-1在,+上為增函數,據已知條件可知,1,b2a,在正方形內滿足b2a的區域為如圖陰影部分所示,所求概

7、率P=.答案:12.(2013廈門模擬)向邊長為2米的正方形木框ABCD內隨機投擲一粒綠豆,記綠豆落在P點;則P點到A點的距離大于1米,同時DPC0,的概率為. 解析:由題意知P點在以DC為直徑的圓外,且在以A為圓心1為半徑的圓外,即P點在如圖所示的陰影部分內,則概率為P=1-.答案:1-13.(2013山西四校聯考)在區間2,5和2,4分別取一個數,記為a,b,則方程+=1(a>0,b>0)表示焦點在x軸上的橢圓的概率為. 解析:把(a,b)看作為平面區域內的點,則當a2,5,b2,4時,(a,b)所表示平面區域如圖矩形ABCD及內部面積為2×3=6

8、,若橢圓焦點在x軸上即a>b,則其表示區域為如圖陰影部分,面積為6-×2×2=4,故符合題意的概率為=.答案:三、解答題14.已知向量a=(2,1),b=(x,y),若x-1,2,y-1,1,求向量a,b的夾角是鈍角的概率.解:設“a,b的夾角是鈍角”為事件B,由a,b的夾角是鈍角,可得a·b<0,即2x+y<0,且x2y.基本事件空間為=(x,y),B=(x,y)則由圖可知,P(B)=,即向量a,b的夾角是鈍角的概率是.15.設關于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.若a是從區間0,3任取的一個數,b是從區間0,2任取的一個數,求上述方程有

9、實根的概率.解:設事件A為“方程x2+2ax+b2=0有實根”.當a0,b0時,方程x2+2ax+b2=0有實根的充要條件為ab.試驗的全部結果所構成的區域為(a,b)|0a3,0b2,即如圖矩形OBCD及內部,構成事件A的區域為(a,b)|0a3,0b2,ab,即如圖矩形內陰影部分,所以所求的概率為P(A)=.16.已知|x|2,|y|2,點P的坐標為(x,y).(1)求當x,yR時,P滿足(x-2)2+(y-2)24的概率;(2)求當x,yZ時,P滿足(x-2)2+(y-2)24的概率.解:(1)如圖,點P所在的區域為正方形ABCD的內部(含邊界),且滿足(x-2)2+(y-2)24的點的

10、區域為以(2,2)為圓心,2為半徑的圓面(含邊界).所求的概率P1=.(2)滿足x,yZ,且|x|2,|y|2的點(x,y)有25個,滿足x,yZ,且滿足(x-2)2+(y-2)24的點(x,y)有6個,所求的概率P2=.大題沖關集訓(六) 1.(2013濰坊一模)為了解社會對學校辦學質量的滿意程度,某學校決定用分層抽樣的方法從高中三個年級的家長委員會中共抽取6人進行問卷調查,已知高一、高二、高三的家長委員會分別有54人、18人、36人.(1)求從三個年級的家長委員會中分別應抽的家長人數;(2)若從抽得的6人中隨機抽取2人進行調查結果的對比,求這2人中至少有一人是高三學生家長的概率.解:(1)

11、家長委員會人員總數為54+18+36=108,樣本容量與總體中的個體數的比為=,故從三個年級的家長委員會中分別抽取的人數為3,1,2.(2)設A1,A2,A3為從高一抽得的3個家長,B1為從高二抽得的1個家長,C1,C2為從高三抽得的2個家長.則抽取的全部結果有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,C1),(A1,C2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,C1),(A2,C2),(A3,B1),(A3,C1),(A3,C2),(B1,C1),(B1,C2),(C1,C2),共15種.令X=“至少有一人是高三學生家長”,結果有(A1,C1),(A1,C2),(A2,C1

12、),(A2,C2),(A3,C1),(A3,C2),(B1,C1),(B1,C2),(C1,C2),共9種.這2人中至少有1人是高三學生家長的概率是P(X)=.2.(2013年高考北京卷)如圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖,空氣質量指數小于100表示空氣質量優良,空氣質量指數大于200表示空氣重度污染,某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市,并停留2天.(1)求此人到達當日空氣質量優良的概率;(2)求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率;(3)由圖判斷從哪天開始連續三天的空氣質量指數方差最大?(結論不要求證明)解:(1)在3月1日至3月13日這13天中,1日、2

13、日、3日、7日、12日、13日共6天的空氣質量優良,所以此人到達當日空氣質量優良的概率是.(2)根據題意,事件“此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染”等價于“此人到達該市的日期是4日,或5日,或7日,或8日”,所以此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率為.(3)從3月5日開始連續三天的空氣質量指數方差最大.3.(2012年高考新課標全國卷)某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價格出售.如果當天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.(1)若花店一天購進17枝玫瑰花,求當天的利潤y(單位:元)關于當天需求量n(單元:枝,nN)的函數解析式;(2)花店記錄了100天

14、玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得如表:日需求量n14151617181920頻數10201616151310假設花店在這100天內每天購進17枝玫瑰花,求這100天的日利潤(單位:元)的平均數;若花店一天購進17枝玫瑰花,以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率,求當天的利潤不少于75元的概率.解:(1)當日需求量n17時,利潤y=85.當日需求量n<17時,利潤y=10n-85.所以y關于n的函數解析式為y=(nN).(2)這100天中有10天的日利潤為55元,20天的日利潤為65元,16天的日利潤為75元,54天的日利潤為85元,所以這100天的日利潤的平均數為(55

15、×10+65×20+75×16+85×54)=76.4.利潤不低于75元當且僅當日需求量不少于16枝.故當天的利潤不少于75元的概率為P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.4.(2013天津一模)2013年春節,有超過20萬名廣西、四川等省籍的外來務工人員選擇駕駛摩托車沿321國道返鄉過年,為保證他們的安全,交管部門在321國道沿線設立了多個駕乘人員休息站,交警小李在某休息站連續5天對進站休息的駕駛人員每隔50輛摩托車,就進行省籍詢問一次,詢問結果如圖所示.(1)交警小李對進站休息的駕駛人員的省籍詢問采用的是什么抽樣方法?(2)用分

16、層抽樣的方法對被詢問了省籍的駕駛人員進行抽樣,若廣西籍的有5名,則四川籍的應抽取幾名?(3)在上述抽出的駕駛人員中任取2名,求至少有一名駕駛人員是廣西籍的概率.解:(1)系統抽樣.(2)5天中抽取的廣西籍人員有5+20+25+20+30=100人,四川籍人員有15+10+5×3=40人,兩者比例為52,所以廣西籍抽5人,則四川籍應抽2人.(3)用a1,a2,a3,a4,a5表示被抽取的廣西籍駕駛人員,b1,b2表示被抽取的四川籍駕駛人員,則所有基本事件為:a1,a2,a1,a3,a1,a4,a1,a5,a1,b1,a1,b2,a2,a3,a2,a4,a2,a5,a2,b1,a2,b2

17、,a3,a4,a3,a5,a3,b1,a3,b2,a4,a5,a4,b1,a4,b2,a5,b1,a5,b2,b1,b2,共21個.其中至少有1名駕駛人員是廣西籍的基本事件為20個.至少有1名駕駛人員是廣西籍的概率為P=.5.(2013西北工大五月)某中學在校就餐的高一年級學生有440名,高二年級學生有460名,高三年級學生有500名;為了解學校食堂的服務質量情況,用分層抽樣的方法從中抽取70名學生進行抽樣調查,把學生對食堂的“服務滿意度”與“價格滿意度”都分為五個等級:1級(很不滿意);2級(不滿意);3級(一般);4級(滿意);5級(很滿意),其統計結果如下表(服務滿意度為x,價格滿意度為

18、y).y人數x價格滿意度12345服務滿意度111220221341337884414641501231(1)求高二年級共抽取學生人數;(2)求“服務滿意度”為3時的5個“價格滿意度”對應人數的方差;(3)為提高食堂服務質量,現對樣本進行研究,從x<3且2y<4的學生中隨機抽取兩人征求意見,求至少有一人的“服務滿意度”為1的概率.解:(1)共有1400名學生,高二年級抽取的人數為×70=23.(2)“服務滿意度為3”時的5個數據的平均數為=6,所以方差s2=4.4.(3)符合條件的所有學生共7人,其中“服務滿意度為2”的4人記為a,b,c,d,“服務滿意度為1”的3人記為

19、x,y,z.在這7人中抽取2人有如下情況:(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y),(a,z),(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),(b,z),(c,d),(c,x),(c,y),(c,z),(d,x),(d,y),(d,z),(x,y),(x,z),(y,z)共21種情況.其中至少有一人的“服務滿意度為1”的情況有15種.所以至少有一人的“服務滿意度為1”的概率為P=.6.(2013沈陽二模)為了研究“教學方式”對教學質量的影響,某高中數學老師分別用兩種不同的教學方式對入學數學平均分數和優秀率都相同的甲、乙兩個高一新班進行教學(勤奮程度和自覺性都一樣).以下莖葉

20、圖為甲、乙兩班(每班均為20人)學生的數學期末考試成績.(1)現從甲班數學成績不低于80分的同學中隨機抽取兩名同學,求成績為87分的同學至少有一名被抽中的概率;(2)學校規定:成績不低于75分的為優秀.請填寫下面的2×2列聯表,并判斷有多大把握認為“成績優秀與教學方式有關”.甲班乙班合計優秀不優秀合計下面臨界值表僅供參考:P(K2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式:K2=解:(1)記成績為87分的同學為A,B,其他不低于80分的同學為C、D、E,“從甲班數學成績不低于80分的同學中隨機抽取兩名同學”的一切可能結果組成的基本事件有:(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(B,C)(B,D)(B,E)(C,D)(C,E)(D,E)共10個,“抽到至少有一個87分的同學”所組成的基本事件有7個,所以P=.(2)甲班乙班合計優秀61420不優秀14620合計202040K2=6.4>5.024.我們有97.5%的把握認為成績優秀與教學方式有關.7.(2013東北三省四市)2013