1、3.2均值不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)航1. 了解均值不等式的證明過程.2. 能利用均值不等式證明簡單的不等式及比較代數(shù)式的大小3. 熟練掌握利用均值不等式求函數(shù)的最值問題.(重點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理 1 均值不等式閱讀教材 P69P71，完成下列問題1. 重要不等式如果a,b R,那么a2+b2仝 2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取=”).a+b2. 均值不等式abwR(1)均值不等式成立的條件：a0,b0;等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號3. 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)a_+b(1)設(shè)a0,b0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為 一廠，幾何平均數(shù)為.ab；(2)均值不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均

2、數(shù)-O鍛壓驗(yàn)-判斷(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“x”)(1)對任意a,b R,a2+b22ab,a+b2, ab均成立.()22a+bt兩個(gè)不等式a+b2ab與ab成立的條件是相同的.(5)若ab= 1,a0,b0,則a+b的最小值為 2.()2 2【解析】(1)X.任意a,bR,有a+b2ab成立，當(dāng)a, b都為正數(shù)時(shí)，不等式a+b2, ab成立.階段認(rèn)知預(yù)習(xí)質(zhì)疑.(重點(diǎn)、難點(diǎn))_)若a0,b0,貝yabw.( )4右az0,貝Ua+ 4-a=%2(2) x.只有當(dāng)a0 時(shí)，根據(jù)均值不等式，才有不等式X.因?yàn)椴坏仁絘2+b22ab成立的條件是a,b R；而ab成立的條件是a,b均為非負(fù)實(shí)數(shù).(

3、5) / 因?yàn)閍0,b0,所以a+b2ab= 2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b= 1 時(shí)取等號，故a+b的 最小值為2.【答案】 x(2)X(3)V(4)X(5)V教材整理 2 均值不等式的應(yīng)用閱讀教材 P70例 1P71例 3,完成下列問題用均值不等式求最值的規(guī)律(1)兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值(2)兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值-鍛體驗(yàn)-判斷(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)(1)兩個(gè)正數(shù)的積為定值，一定存在兩數(shù)相等時(shí)，它們的和有最小值.()(2)若a0,b0 且a+b= 4，貝Uabw4.(如果 log3m+ log3n= 4，貝Um+n的最小值為 9.()1若x,y R,且x+

4、4y= 1,則xy的最大值為花.()【解析】(1)V.由均值不等式求最值條件可知.V.因?yàn)?，五w乎=4 = 2,所以abw4.11X.因?yàn)楫?dāng)x1 時(shí)，x 10 ,貝yf(x) =x+= (x 1)x 1x 112*x1 + 1 = 3.當(dāng)且僅當(dāng)x 1 =x=,即x= 2 時(shí)，函數(shù)f(x)的取到最小值 3.44 亠a+a2、/a a= 4 成立.a+bV.因?yàn)?，abw，所以abw當(dāng)x1 時(shí)，函數(shù)f(x) =x+21x1所以函數(shù)f(x)的最小值是2x 1.(3,口r十mn nx.因?yàn)橛?log3mlog3n=4，得mn=81 且m0,n0,而一mn=9,所以 min18,當(dāng)且僅當(dāng)m=n= 9 時(shí),

5、mHn取到最小值 18.11當(dāng)且僅當(dāng)x= 4y,即卩x= -,y=;時(shí)取等號28【答案】V(2)V(3)X(4)X(5)V小組合作型點(diǎn)威美利用均值不等式比較代數(shù)式的大小例 IT (1)已知a,b,c是兩兩不等的實(shí)數(shù)，則p=a2+b2+c2與q=ab+bc+ca的大小關(guān)系是_.(2)給出下列命題：11若xR,則x+2;x2若a0,b0，U lga+ lgb2 lga lgb;13若a 0,b2成立的條件是x 0 且y 0.其中正確命題的序號是x y【精彩點(diǎn)撥】(1)由于p是平方和的形式，而q是a,b,c兩兩乘積的和，聯(lián)想均值不等式求解.(2)解本小題關(guān)鍵是弄清均值不等式適用的條件【自主解答】(1

6、) a, b, c 互不相等， a+b2ab,b+c2bc,a+c2ac.2 2 2階段2合作探究通關(guān)分紐討論疑難細(xì)究類型1V.因?yàn)閤,y RH,而 4xy所以xy2(ab+bc+ac).2 2 2即a+b+cab+bc+ac,亦即pq.只有當(dāng) x0 時(shí)，才能由均值不等式得到x+x2/x 1= 2,故錯(cuò)誤；當(dāng)a0,5b0 時(shí)，lga R, lgb R,不一定有 Iga0, lgb0,故 lga+ lgb2lga lgb不 一定成立，故錯(cuò)誤；當(dāng)a0,b0,由均值不等式可得ab+話2yjab = 2,yxy x fvx故正確；由均值不等式可知，當(dāng)0, -0 時(shí)，有丄+-y = 2 成立，這時(shí)只需x

7、xyx yV x y與y同號即可，故錯(cuò)誤.【答案】 pq(2)1.在理解均值不等式時(shí)，要從形式到內(nèi)含中理解，特別要關(guān)注條件2.運(yùn)用均值不等式比較大小時(shí)應(yīng)注意成立的條件，即a+b2ab成立的條件是a0,b0,等號成立的條件是a=b；a1 2+b22ab成立的條件是a,b R,等號成立的條件是a=b.2即，ab 廠(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號)，_+1a b2a+ba2+ 2ab+b2=4a2+b2+a2+b2a2+b2w=,42a+ba2+b2一廠 w2一（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立），a+ba+b a+b 2而，abw，故 ，廠. ab 1 一（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立）.a b|不等式的證明例 已

8、知a,b,c為不全相等的正實(shí)數(shù).再練一題a 斗 b _1.設(shè)a0,b0,試比較 一,ab,【導(dǎo)學(xué)號：18082044】2廠的大小，并說明理由a+b【解/a0,b0,1 1 2a+ 蘆ab，6求證：a+b+c , ab+bc+, ca.7判斷等號成立的條件 f 得出結(jié)論 a+b2ab0,b+02bc0,c+a2ca0. 2(a+b+c) 2(ab+bc+ca),即a+b+cab+bc+ca.由于a,b,c為不全相等的正實(shí)數(shù)，故等號不成立.a+b+cab+bc+ca.名師凰砂1.所證不等式一端出現(xiàn)“和式”，而另一端出現(xiàn)“積式”，這便是應(yīng)用均值不等式的“題眼” 可嘗試用均值不等式證明2.利用均值不等

9、式證明不等式的策略從已證不等式及問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)及有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯 推理， 最后轉(zhuǎn)化為所求問題， 其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.3.利用均值不等式證明不等式的注意點(diǎn)(1) 多次使用均值不等式時(shí)，要注意等號能否成立；(2) 累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時(shí)注意使用；(3) 對不能直接使用均值不等式的證明可重新組合，形成均值不等式模型，再使用I_ I再練一題2.已知a0,b0,a+b= 1，求證：+ 彳+b卜 9.【證明】 法一：因?yàn)閍0,b0,a+b= 1,1a+b b “E1a所以 1 + -= 1+= 2+ .同理 1 +- =

10、2+ .a a abb故 J1+a!1+b.r b加brib a 5+ 2 匚 + 5+ 4 = 9.遲b丿【精彩點(diǎn)構(gòu)造均值不等式的條件運(yùn)用均值不等式證明【自主解Ta0,b0,8所以+a+b卜 9(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號).91a=b=空時(shí)等號成立）.盤擁* 均值不等式的實(shí)際應(yīng)用如圖 3-2-1 ,動(dòng)物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻,其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.現(xiàn)有 36 m 長的鋼筋網(wǎng)材料，每間虎籠的長、寬分別設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積 最大？設(shè)每間虎籠面積為S,則S=xy.法一：由于 2x+ 3yA22x3y= 2 6xy,故每間虎籠長為 4.5 m，寬為 3 m

11、時(shí)，可使每間虎籠面積最大3法二：由 2x+ 3y= 18,得x= 9-尹./ x0,(3、3 0y0)，可以證明x (0 ,k及 k, 0)上均為減函數(shù)，在k,X+ )及(a,k上都是增函數(shù).求此函數(shù)的最值時(shí)，若所給的范圍含土k，可用均值不等式，不包含土 k就用函數(shù)的單調(diào)性.再練一題3.某漁業(yè)公司今年年初用 98 萬元購進(jìn)一艘漁船用于捕撈，第一年需要各種費(fèi)用 12 萬元.從第二年起包括維修費(fèi)在內(nèi)每年所需費(fèi)用比上年增加4 萬元.該船每年捕撈總收入 50 萬元.問捕撈幾年后總盈利最大，最大是多少？問捕撈幾年后的平均利潤最大，最大是多少?【解】(1)設(shè)該船捕撈n年后的總盈利y萬元，則7n n11y=

12、50n98|12Xn+-兀-x42 2=2n+ 40n 98= 2(n 10) + 102,當(dāng)捕撈 10 年后總盈利最大，最大是 102 萬元.y49(2)年平均利潤為-=2n+ 20nin,即n=7 時(shí)上式取等號/0y0.S2xy知xywx；y,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)“=”成立，能說xy的最大值2.2是x2嗎？能說x2+y2的最小值為 2xy嗎?【提示】 最值是一個(gè)定值(常數(shù))，而x2+y2或 2xy都隨x,y的變化而變化，不是定a+ b+值，故上述說法均錯(cuò)誤.要利用均值不等式 ab(a,b R+)求最值，必須保證一端是定值，方可使用探究 2 小明同學(xué)初學(xué)利用均值不等式求最值時(shí)，是這樣進(jìn)行的:當(dāng)x

13、3時(shí)，y= 口的最值為 4. ”x【提示】 不可以，因?yàn)樵诶没静坏惹蠼庾钪禃r(shí)，雖然將所求代數(shù)式進(jìn)行變形，使其符合均值不等式的結(jié)構(gòu)特征，但是必須符合“正”、“定”、“等”的條件，缺一不可4本解法忽略了等號成立的條件，即“=”號不成立.本問題可采用y=x+】的單調(diào)性求解51已知x4,求 y=4x-2+廠的最大值;1 1已知 0 x0 時(shí),1 1xx=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=x，即x=1時(shí)取“Jy=x+的最小值是 2;x0 時(shí)，y=-x-13,求y=x2+ 4的最小值，下列求解可以嗎？為什么?“因?yàn)閥=x+x2y=x+x2132x已知x0，求f(x)=百的最大值;1419(4)已知x0,y,且x+ -

14、=1，求x+y的最小值.【精彩點(diǎn)撥】變形所求代數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式，使用符合均值不等式的結(jié)構(gòu)特征1 1(1)4x2+ 4x=4x5+ 廠 +3.1 1，x(1 2x) =4,2X (1 2x).2x2二=彳x + -xf(x)w2= 1，當(dāng)且僅當(dāng)x=x，即x= 1 時(shí)等號成立 x0, y0,1+9= 1,x y門 9x+y=x+y(x+y)=x+ 7+106+10=16,當(dāng)且僅當(dāng)y=更又 1 +-= 1,x y x y(4)x+y= (x+y) 1=(x+y)x+y.【自主解答】(1)5/x0,1y=4x2+ 廠5 4x+ x+ 3 2+ 3 = 1, 、5 4x.丿1當(dāng)且僅當(dāng) 54x=54x，即x

15、= 1 時(shí)，上式等號成立,故當(dāng)X= 1 時(shí)，y(max= 1.1/0 x2，211,-2x+12x1y=-X2x(12x)w x441 1=4X4=當(dāng)且僅當(dāng) 2x= 1 2x0 x0,.x+x215即x= 4,y= 12 時(shí)，上式取等號16故當(dāng)X= 4,y= 12 時(shí)，（X+y）min= 16.1. 本例題目都不能直接使用均值不等式求最值，需要先對其變形2. 應(yīng)用均值不等式求最值，必須按照“一正，二定，三相等”的條件進(jìn)行，若具備這些條件，可直接運(yùn)用均值不等式，若不具備這些條件，則應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?. 利用均值不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件，解題時(shí)應(yīng)對照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、

16、配湊、變形”等方法創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件.具體可歸納為三句話：一不正，用其相反數(shù)，改變不等號方向；二不定，應(yīng)湊出定和或定積；三不等，一般用 單調(diào)性.丨_J再練一題21m4. 已知a0,b0,若不等式-+匚恒成立，則m的最大值等于（）a b2a+bA.10B.9C.8D.72 1m,C2【解析】Ta0,b0,Ja+b0, 要使- +恒成立，只需 m0,b0,且a+b= 2，則1B.gC.a2+b222 2D.a+b2.【答案】2由a+b= 2，得ab丿2，得a22.已知x 1,y 1 且 lgx+ lgy= 4,則 lgxlgy的最大值是（）A.4B.2C.1182【解析】/x 1,y 1, lgx 0, lgy0, lgxlglgx+ lgy= 4,當(dāng)且yW2僅當(dāng) lgx= lgy= 2,即x=y= 100 時(shí)取等號.【答案】A13.函數(shù)y= log2x+x+ 5 (x 1)的最小值為()A. 3B.3C.4D. 41 1 1【解析】 /x+ 5= (x 1) + 62x+ 6= 8,當(dāng)且僅當(dāng)x 1x 1Vx 1x= 2 時(shí)，取“=”，【答案】B4. 若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+ 3，貝Uab的取值范圍是 _ .【解析】Ta0,b 0,.ab=a+b+ 32ab+ 3, 即卩ab 2ab 30,解得ab3,即卩ab9.【