1、第7講 正弦定理、余弦定理應用舉例【2013年高考會這樣考】 考查利用正弦定理、余弦定理解決實際問題中的角度、方向、距離及測量問題.【復習指導】1本講聯系生活實例，體會建模過程，掌握運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的 基本方法.2 .加強解三角形及解三角形的實際應用，培養數學建模能 力* J KAOJiZllHUbAOXUt 01" 考基自主導學基礎梳理1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型 測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等.2.實際問題中的常用角視線在水平線上方的角叫仰角,在水平線下方的角叫俯角(1)仰角和俯角 在視線和水平線所成的角中，(

2、如圖(1).東(2) 方位角B點的方位角為a如圖(2).30 °北偏西45 °西偏東60等.指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如(3) 方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東(4) 坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數.助竣織博一個步驟解三角形應用題的一般步驟(1) 閱讀理解.題意，弄清回題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關系.(2) 根據題意畫出示意圖實際問.題抽象成解三角形問題的模型.(3) 根據題意選擇正弦.定理或余弦定理求解:(4) 將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關單位問題、近似計算的要求 等兩種情形解三角形應用題常有以下兩種情

3、形實際問題經抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理 或余弦定理求解.(2)實際問題經抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形一，然后逐步求解其他三角形，有時需設出未知量2 一叢 幾個三角形中列出.方.程.(組)，解方程一(組)得出所要求的解 .雙基自測1 （人教B版教材習題改編）f A如圖，設 A, B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側河岸邊選定一點A 50邁 mB 503 mC 252 mC,測出( )解析由正弦定理得AC in/ACB AB = sin BABAC 廠 r 一=,又/B= 30sin/ACB

4、 sin B50X專12=50/2(m) 答案 A2從A處望B處的仰角為A a> 3 C. a+3= 90 °a,從B處望A處的俯角為B a=D a+a,3,貝U a, B的關系為(33= 180)解析根據仰角與俯角的定義易知a= 3答案 B3.若點A在點C的北偏東30 °,點B在點C的南偏東 的（）A .北偏東15C.北偏東1060B 北偏西 D .北偏西,且AC= BC,則點A在點B15 °10 °AC的距離為50 m, / ACB= 45 °, / CAB = 105后，就可以計算出 A, B兩點的距離為解析如圖.答案 B4

5、6; 一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60° ,另一燈塔在船的南偏西75°則這艘船的B 5逅海里 D 10五海里速度是每小時（）A 5海里C. 10海里解析如圖所示，依題意有/ BAC = 60 ° /BAD = 75 °所以/CAD = /CDA = 15 °從而CD =CA = 10(海里),C間的距離是海里.由正弦定理，知 蟲=sin（180 -60。-75 °解得BC = 5任（海里）.解析答案5j6在RtKBC中，得 AB= 5（海里）,5于是這

6、艘船的速度是 =10（海里/時）.0.5答案 C5.海上有 A, B, C三個小島，測得 A, B兩島相距10海里，/ BAC = 60 °, / ABC = 75 °,則 B,亀科 KADHI AM£T血MJIgDAQXI 02血考向探究導析考向一測量距離問題【例11 ?如圖所示,為了測量河對岸A,=60° / BCD = 30° /審題視點在BCD中，求出BC,在ABC中，求出 AB. 解 在 ACD 中，已知 CD = a，/ ACD = 60°30 °, / BDC = 105 °/ CBD = 45 &#

7、176;B兩點間的距離，在這岸定一基線BDC = 105° / ADC = 60°CD，現已測出CD = a和/ ACD 試求AB的長./ ADC = 60° 所以 AC = a.v/ BCD =建立一個解三在 BCD中，由正弦定理可得 BC = aSin 105 o=31 a.Sin 452在 ABC中，已經求得AC和BC,又因為/ ACB = 30°,所以利用余弦定理可以求得A,【訓練11如圖，A, B, C, D都在同一個與水平面垂直的平面內， 兩座燈塔的塔頂，測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75° 30測得B點和D點的仰角均為

8、60° AC= 0.1 km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距 離相等，然后求 B, D的距離.解 在 ACD 中，/ DAC = 30° / ADC = 60°-/ DAC = 30° 所以 CD = AC = 0.1 km. 又/ BCD = 180°- 60° - 60° = 60° 故 CB 是 CAD 底邊 AD 的中垂線，所以 BD = BA.又/ ABC = 15°AB在 ABC 中，sin/ bca = sin / ABCACB、D為兩島上的 ，于水面C處B 兩點之間的距離為 ABJ

9、AC2+ BC2- 2AC BC cos 30 方法總箱*> （1）利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關的三角形中， 角形的模型.（2）利用正、7/心所以 AB = ACsin 60 曲 7sin 15 °20 (km),BD =嚀(km). D的距離為3巴+伍考向二【例2】？如圖，山腳下有同理,故B、km.測量高度問題DB一小塔AB，在塔底B測得山頂C的仰角為60°在山頂C測得塔頂A的俯角為45° 已知塔高 AB = 20 m,求山高 CD.審題視點過點C作CE/DB，延長BA交CE于點E,在AEC中建立關系.解A如圖，設CD = x m,貝U AE=

10、 x 20 m,。CDtan 60 = bd ,-BD = tan 603x (m) 在 AEC 中，x 20=申X,3解得x= 10(3 + 3) m .故山高 方法總皓CD 為 10(3 + 73) m.(1)測量高度時，要準確理解仰、(2)分清已知和待求，分析(畫出)示意圖，【訓練2】如圖所示，俯角的概念；明確在哪個三角形內應用正、余弦定理.B在同一水平面內的兩個測點C與D,現測得測量河對岸的塔高 AB時，可以選與塔底/ BCD = a / BDC = B, CD = s,并在點C測得塔頂A的仰角為0,求塔高AB. 解 在 BCD 中，/ CBD = n a B,由正弦定理得./卄=/&

11、quot;，sin/ BDC sin/ CBD_ CDsin / BDCs in B所以 BC =Jsi n/CBD sin(a+BBC_CD在 Rt ABC 中，AB= BCtan/ ACB =如 nsin( a+考向三正、余弦定理在平面幾何中的綜合應用 【例3】？如圖所示，c在梯形 ABCD 中，AD / BC, AB= 5, AC= 9, / BCA= 30° / ADB = 45° 求 BD 的長.審題視點由于AB= 5, /ADB = 45 °因此要求BD,可在ABD中，由正弦定理求解， 關鍵是確定/ BAD的正弦值.在 ABC中，AB= 5, AC=

12、9,/ACB=30 :因此可用正弦定理求出sin /ABC，再依據/ ABC 與/BAD互補確定sin/BAD即 可.解 在 ABC 中，AB = 5, AC = 9,/ BCA = 30° 由正弦定理，得 一AB =AC一,sin/ ACB sin / ABC AC sin / BCA 9sin 30 ° 9sin / ABC =:;=.AB510/ AD / BC,./ BAD = 180° / ABC,9于是 sin / BAD = sin / ABC =9同理，在 ABD 中，AB = 5, sin/ BAD =,10BD10'AB/ ADB =

13、45° 由正弦定理：.ABfA = .sin/ BDA sin/ BAD解得BD =寥.故BD的長為普.方矗惡結井要利用正、余弦定理解決問題，需將多邊形分割成若干個三角形，在分割時,要注意有利于應用正、余弦定理.【訓練3】如圖，A在 ABC中，已知/ B = 45° 的長.解在 ADC 中，AD = 10,AC= 14, DC= 6,D CD 是 BC 邊上的一點，AD = 10 , AC= 14, DC = 6，求 AB2 2 2由余弦定理得cos/ ADC ad + DC AC2AD DC=100 + 36 196 =_ 12X 10X 6 2,在 ABD 中，AD =

14、 10,AB/ ADC = 120° / ADB = 60°由正弦定理得sin/ADB = sin B'/ B= 45° / ADB = 60° AD210 乂 AD sin / ADB 10sin 60°2 -匚sin 45二 AB= L = 5<6.sin Bsin 45才 2* Kft01l2lHllAMXIAGTLlPOOS力考題專項突破規范解答9如何運用解三角形知識解決實際問題建模（準確地畫出圖【冋題研究】（1）解三角形實際應用冋題的一般步驟是：審題形）（2）三角形應用題常見的類型： 實際問題經抽象概括后，余弦定理解之；

15、 實際問題經抽象概括后，三角形中求出問題的解； 實際問題經抽象概括后，續使用正弦定理或余弦定理.【解決方案】航海、測量問題利用的就是目標在不同時刻的位置數據，這些數據反映求解檢驗作答.已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或已知量與未知量涉及兩個三角形，這時需按順序逐步在兩個涉及的三角形只有一個， 但由題目已知條件解此三角形需連在坐標系中就構成了一些三角形，根據這些三角形就可以確定目標在一定的時間內的運動距離，因此解題的關鍵就是通過這些三角形中的已知數據把測量目標歸入到一個可解三角形 中.【示例】？（本題滿分12分）當 當甲 102如圖，甲船以每小時302海里的速度向正北方航行，

16、乙船按固定方向勻速直線航行. 甲船位于Ai處時，乙船位于甲船的北偏西 105°方向的Bi處，此時兩船相距 20海里, 船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的B2處，此時兩船相距 海里.問：乙船每小時航行多少海里？陽集突"（1）分清已知條件和未知條件（待求）將問題集中到一個三角形中. 用正、余弦定理求解.解答示范如圖，連接A1B2由已知A2B2= 10/2,乙A1A2 = 3/2X 60=O/2，. A1A2= A2B2. 又/ A1A2B2= 180°- 120° = 60° A1A2B2是等邊三角形，-A

17、1 B2=人識2= 1072.由已知，A1B1 = 20, / B1A1B2= 105°- 60° = 45° （8 分）在 A1B2B1中，由余弦定理得Bib2= A1B2 + A1B2 2A1B1A1B2COS 45 °=202 + （10羽）2 2X 20X 10遲 X ¥= 200,B1 B2= "1/2.因此，乙船的速度為1002X 60= 30（2（海里/時）.（12分）結合示意圖構題后反思井利用解三角形知識解決實際問題要注意根據條件畫出示意圖, 造三角形，然后轉化為解三角形的問題進行求解.【試一試】如圖所示，Jt:卜集40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地 30°相距20海里的C處的乙船，現乙船 求 cos 0.4：4020廣Iff位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 朝北偏東0的方向即沿直線 CB前往B