1、第6節曲線的曲率6.1弧長微分在曲線y = f(X)上取定一點P0(X0, f (xo)為起點，從Po(X0, f (Xo)到(X, f(X)的曲線段長記為s(x)，并規定當X CX0時 s(x)<:0。s(X)是單調增加的函數。下面求弧長微分ds。J&2 +dy2 + jAx) < As < Jax2 + dy2 + Q( Ax)Jdx2 +dy2 + 幺衛X)< As < Jdx2 +dy2 +0(4) ds = Jdx2 + dy2ds = 7 f (x)2dX, s(X)= Jl+ f(X)2 如果丿X二:則J (t)ds= Jd'(t)2

2、 +屮'(t)2dt, s'(t) = jQ'(t)2 +屮(t) 如果Pp)則ds=J p(&)2 + p 'e)2dt,se)=J p®2 + p e)2 以后經常要用到以上弧長微分公式。6.2曲線的曲率這節討論曲線的曲率，也就是曲線的彎曲程度。3第1章集 合設曲線y = f（x）在（x0,f（x0）的切線Lo與x軸正向的夾角為 日0，在（X0+&, f（X0 +AX）的切線L逐與x軸正向的夾角為日逐。經 過&，切線的夾角變化了氐& =日型-日。設（X0, f （Xo） ）和 Xo +&, f （Xo +ix

3、）之間曲線的長為 As。容易想見，（Xo, f （Xo）和（Xo +Ax, f （Xo +心X）之間曲線的曲率（彎曲程度）與也日成正比，與也s成反比，平均曲率k（£x）=As讓 go求極限，就得到曲線y = f（x）在（Xo，f（Xo）的曲率（彎曲Aed9ds程度）k（x0）=ixmgx）=F面我們求出 蘭從而得到求曲率的計算公式。用X作參數dsS = s(x)衛=日(X)tan8 = f '(X)= f "(x)dxcos o(1 +ta)d8 = f 7x)dx (1 + f '(X)2 川=f 7x)dx dQf "(X)dx 1 + 廠(X

4、)2 dQ_dQ/ds'(x)3I1 + f'(x)2 了ds dx/ dx7k(Xo)3l+fg22例子：求半徑為r的圓上一點的曲率。y = Jr2 -X2。圓的曲率到處一樣，求在x = 0處解、上半圓的方程的曲率即可。2嚴2十#=口 27r -x,"21y(0) =0, y”(0)=- r|y "(0)k(0) =13 =1+y(0)22 r這一結果是符合實際的。因此我們把1稱為曲線y = f(X)在(x0,f(x0)點的曲率半徑。以P(x0)=k(X0)為半徑，在曲線凹側，又與曲線在(X),f(X0)點相切的圓稱為曲線在(X0,f(X0)點的曲率圓，其

5、圓心稱為曲率中心。?x = a(q- sinq)【例6.1】求擺線I /：- (0 #q?y = a(1- cosq)論在擺線上哪一點曲率最小？最小的曲率是多少？初 dy a dxa 、 dy asin 日解、=asin= a(1 -COSO =d 日dx a(1-cos 日)2p)的曲率，并討(a> 0)e=cot 217b4as in 2d (dy1 d y 1d0 (dx 丿2 日'dx2c 2 日 Q丿2sin 2asin (1cosT )22、丿14asi n.k* 1 日1+cot 叩24asin2i 22k(£)最小二y =sin 最大=0二兀。當兀曲率最

6、小15）=4a【例6.2】鐵路彎道的緩和曲線鐵軌彎道的主要部分是呈圓弧形的（稱為主彎道）.為了使列車既平穩又安全，除了必須使 直道與彎道相切以外，還須考慮軌道曲線的曲率在切點鄰近連續的變化（這時列車在該點鄰近所受向心力也將連續地變化）.我們知道，直線的曲率為0,而半徑為R的圓弧的曲率是 丄，如果直道與R圓弧形彎道直接相切，則在切點處曲率有一跳躍度右0，只有當R充分大，列車在轉彎時才顯得較為平穩，但是實際鋪設鐵軌時,由于地形的限制，彎道的半徑R不可能隨意放大，故需要在直道與 彎道之間增加一段稱為緩和曲線的彎道， 以使得鐵軌的曲率連續地 從零過渡到右.解、（對題的解析看黑版。）3設過渡曲線為 廠（

7、這是為了下面推算簡單）。aRl第1章集 合X3xo” 6x0 . /、|y1yxa雨,八雨,y_ 6X0(1 + y* aRl盡管設計精確一大堆小數，施工也不可能實現一大堆小數。因此作以下近似。6xl，R很大，k(X0)止。取a =6，即過渡曲線為aR3xy =。6RI習題 3-61.求下列各曲線在指定點的曲率和曲率半徑:(1)y = Inx 在點(1,0)；*(2) xy = 4 在點(2,2).2. 求下列曲線的曲率與曲率半徑:(1)拋物線 y2 = 2px (p > 0);2 2雙曲線務-$=1;a b222*(3)星形線 x + y3 = a;3. 求下列參數方程給出的曲線的曲率

8、和曲率半徑:*(1)橢圓 x = a cost, y = b sint (a,b > 0);(2) 圓的漸開線 x = a (cost + t sin t), y = a(sin t - t cost).4. 求下列以極坐標表示的曲線的曲率半徑:*(1)心臟線 r = a(1 + cosq) (a> 0)*(2)雙紐線 r2 = 2a2 cos2q (a> 0)對數螺線r = aelq (a> 0)5.求拋物線y=x2-4x+3在頂點處的曲率圓方程.*1.設R為拋物線y = x2上任一點M(x,y)處的曲率半徑，s為該曲線上一定點M0(X0,y0)到M(x,y)的有向弧

9、長(取s增長方向與x軸正向一 致)，證明：R,s滿足關系3R$-ldS ； -9=02.設曲線是用極坐標方程r=r(q)給出，且二階可導，證明它在點q處的曲率為3(r 勺q) + r2(q)尸_ |r2(q)+ 2r i2(q)- r (q)r ?(q)| k =總習題三*1.設 y = f(X)滿足關系式 y ii 2y?+ 4y = 0，且 f (x) > 0 ,f gx。)= 0 ,則 f(x)在xo點處A. 取得極大值B. 取得極小值C. 在xo某鄰域內單調增加D. 在xo某鄰域內單調減2.設在0,1上 f i(x)>0,則 f iO), f (1), f(1)- f(0)

10、或 f(0) - f(1)的大小順序是.A. f i1)> f (0)> f(1)- f(0)C. f(1)- f (0) > f (1)> f (0)B. f (1)> f(1)- f(0) > f (0)C. f (1)> f (0)- f(1)> f (0)*3.設函數f(x)在(-?,?)內連續，其導函數的圖形如下圖所示，則f(x)有值點J值點A .一個極小值點和兩個極大B.兩個極小值點和一個極大3題圖C.兩個極小值點和兩個極大值點D .三個極小值點和一個極大值點4.設常數k> 0 函數f (x)= lnx- x+ k在(0, +

11、?)內零點個數為 eA.3B.2C.1D.0*5.設x? 0時,etanx-ex與xn是同階無窮小，則n為.A.1B.2C.3D.4 6.設函數f (x)和g(x)在a,b上存在二階導數，且 g i(x) 1 O,f(a)= f(b) = g(a)= g(b)= 0，證明(1)在(a,b)內 g(x) 1 0 ；在(a,b)內至少存在一點x，使 fg=fi27.設在0, + ?)上函數f(x)有連續導數，且f致)？ k 0 , f(0) < 0 ,證明:f(x)在(0,+ ?)內有且僅有一個零點.x? a8.設f(x)在(a,+ ?)上可導，且I i f x = X limx(=A .求

12、證：存在x?(a, ? )，使 f ()= 0 .9.求證方程ex - x2- 2x- 1 = 0恰好有三個不同實根.10.求下列極限:*"U1+tan X - V1- tan x(1) xi?m0sinxlim驏仝=桫 n壬a1,a2,L ,an > 0 . x?m+(1+1)x a a - xx- atan(tan x)- sin(sin x) limx?0 tan x - sin xxsin xe - e(6) lim / X?0 x - sinx11.證明不等式:*(1)當 x30 時,x21 + xin (x+ J1 + x2 y 41當 x > 4 時，2x

13、> x2 .離散數學 ep>pe . (x + y) In x + y < x In x + y In y，其中 x > O,y > O,x ? y .12.在1,施73, 74丄，7n,L中求出最大的一個數.*13.設y=x3 + ax2 + bx+2在x = 1和x = 2處取得極值，試確定a與b的 值，并證明y(2)是極大值，y(1)是極小值.14.設y=f(x)在x = X0的某鄰域內具有3階連續導數，如果f©0)=O， f i(xo)= 0， f i?；Xo) 1 0，試冋x = xo是否為極值點，為什么？ (xo, f (xo)是否為拐點，為什么?*15.討論函數f(x)= X3- X2- x+ 1的性態，并作出圖形.16.設函數f(x)在區間a,b是下凸的，則"X1,X2,L ,xn ?a,b，以及滿足I1+I2+L + l n = 1的n個非負數I 1,l 2,L ,I