1、離 散 傅 里 葉 變 換離散傅里葉變換不僅具有明確的物理意義，相對于DTFT他更便于用計算機處理。但是，直至上個世紀六十年代，由于數字計算機的處理速度較低以及離散傅 里葉變換的計算量較大，離散傅里葉變換長期得不到真正的應用，快速離散傅里 葉變換算法的提出，才得以顯現出離散傅里葉變換的強大功能，并被廣泛地應用 于各種數字信號處理系統中。近年來，計算機的處理速率有了驚人的發展，同時 在數字信號處理領域出現了許多新的方法，但在許多應用中始終無法替代離散傅 里葉變換及其快速算法。§ 3-1 引言一.DFT是重要的變換1.分析有限長序列的有用工具。2.在信號處理的理論上有重要意義。3在運算方

2、法上起核心作用，譜分析.卷積、相關都可以通DFT在計算機上實現。二.DFT是現代信號處理橋梁DFT要解決兩個問題:一是離散與量化,二是快速運算。傅氏變換DFT(FFT)信號處理§ 3-2傅氏變換的兒種可能形式一連續時間、連續頻率的傅氏變換-傅氏變換正：X0O)=r xgicitJCZ>t時域信號頻域信號連續的非周期的非周期的連續的對稱性:時域連續，則頻域非周期。反之亦然。二連續時間、離散頻率傅里葉變換-傅氏級數X （購 0）Qp*時域周期為Tp,頻域譜線間隔為2n/Tp時域信號頻域信號連續的非周期的周期的離散的三離散時間、連續頻率的傅氏變換丿字列的傅氏變換時帕:X(Ra)=4

3、i離散的周期的非周期的連續的四離散時間、離散頻率的傅氏變換一DFT0T2TNTNTp =NTTF0 T 2T1 2N(N-JCo(N-l)由上述分析可知，要想在時域和頻域都是離散的，那么兩域必須是周期的。時域信號頻域信號離散的周期的周期的離散的DFT的簡單推演:在一簿期內已進行如下變換Ut加)(化)晶沙啜岸U)H=-oOx(腐譬嚴肩滴濟5妙 這樣，n, J-Q./2*2/?:從0 艸3=3】周期序列的DFS一.周朋觀編0<= k - 2硏£ 二 0 N -1d° :#需麗A新喬倫專統方法是從連續的周期信號的復數傅氏級數開始的:對上式進行抽樣，得:乂由于所以求和可以在一

4、個周期內進行，即這就是說，當在20, 1,，N-1求和與在k=N,., 2N-1求和所得的結果是一致的。的R次諧波系數的求法1.預備知識所以2.同樣，當亦即的表達式將式時，P也為任意整數，則的兩端乘n=0到N-1求和，貝1：N -1.2 兀通常將定標因子p喙示式中。n=Q即:3.離散傅氏級數的習慣表示法通常用符號代入，則:正變換:反變換:4.的周期性與用Z變換的求法周期性:用z變換的求作Z變換,7 Im是Z變換可見,在單位圓上抽樣，抽樣點在單位圓上的N個等分點上,且第一個抽樣點為A=0o§ 3-4 DFS的性質一 線性如果則有其中，a,X1 伙） = DFS住 1（/1）X2（k）

5、= DFSx2（n）b為任意常數。二用列的移位如果則有:證明:令 i=mn,則n=0 時,i=m; n=N-l 時,i=N-+m 所以都是以V為周期的周期函數。三調制待性 如果 則有證明:時域乘以虛指數（）的刃次幕，頻域搬移皿調制待性。四周期卷積和1.如果則:2兩個周期用列的周期卷積過程（1）畫出左1"）和左2（加）的圖形;（2）將了2伽）翻摺，得到可計算出:右瞬啦、得到（3）將AX2（l-m）可計算出T（1）=工壬1（咖2（1-加）w=0=lx 1 + lxO + l xO + lxO + Ox 1 + 0x1(4)將再右移一位.得到可計算出:(5)以此類推,y(n)3.頻域卷積定

6、理如果一預備知識§ 3-5DFT有限長序列的離散頻域表示1余數運算表達式如果ni為整數；則有:此運算符表示n被N除，商為nb余數為的關系二.有限長序列x(n)和周期斥列 周期列X(H)是有限長序列x(n)的周期延拓。OnN-1f x(n)其他n有限長用列班n)是周期序列的主值序列。如:與有限長仔列X(k)的關系三周期序列同樣，周期字列是有限長斥列X(k)的周期延拓。而有限長序列X倒是周期序列的主值序列。四從DFS到DFT從上式可知，DFS, IDFS的求和只限定在n=0到n=N-l,及k=0到N-1的主值區間進行。因此可得到新的定義，即有限序的離散傅氏變換(DFT)的定義。7V-1X

7、k = £尸卩兀（比）=護/1=0x（n）- IDFTx（k）-一 N-1-k=0或者：X(k) = x(燈心伙)jc(fl) =歡町R駅防一.線性DFT的性質1. 兩序列都是N點時如果DFTx(n) = X(k)則有:DFT 兀2(斤)=%2 伙)和兀2)的長度N1和N2不等時,選擇為變換長度，短者進行補零達到N點。二.序列的圓周移位1 定義兀(刃)一個有限長序列的圓周移位定義為 這里包括三層意思: 先將進行周期延拓 再進行移位 最后取主值序列:Art)2圓周位移的含義由于我們取主值斥列,即只觀察n=0到N-l這一主值區間，當某一抽樣從此區間一端移出時，與它相同值的抽樣乂從此區閱樹

8、一端進來。如果把列一個N等分的圓周上，序列的移位就相當于上旋轉，故稱作圓周移 位。當W著圓周觀察兒圈時，看到就是周期序列: 三、共轆對稱性1. 周期序列共轆對稱分量與共覘反對稱分量周期為N的周期序列的共輒對稱分量與共軌反對稱分量分別定義為同樣，有2. 有限長序列的圓周共軌對稱分量與圓周共轆反對稱分量有限長序列的圓周共對稱分量與圓周共軌反對稱分量分別定義為由于 所以這表明長為N的有限長序列可分解為兩個長度相同的兩個分量。3. 共軌對稱特性之一證明:4. 共軌對稱特性之二證明: 可知:5. 共軌對稱特性之三證明:6. 共軌對稱特性之四證明:7共軌對稱特性之五、六 (k)圓周共轆對稱分量與圓周共軌反

9、對稱分量的對稱性 9實、虛序列的對稱特性當x(n)為實序列時，根據特性之三，則X(k)=Xe(k)X 緲伙)=x緲(N-A)nRn(R) 乂據Xep倒的對稱性：當x(n)為純虛序列時，根據特性之四，則X(k)=Xop(k)乂據來疋閉的對稱性:四圓周卷積和1.時域卷積定理均為長度為N的有限長序列,DFT A：2（n）=X2伙）五有限長斥列的線性卷積與圓周卷積1線性卷積的長度為 的長度為它們線性卷積為的非零區間為 的非零區間為兩不等式相加得也就是不為零的區間。2用圓周卷積計算線性卷積圓周卷積是線性卷積的周期延拓/列的主值丿宇列。列，即將的長度剜1”25)的長丿跑2，先構造長度均為L長的序補零點;然

10、后再對它們進行周期延拓，即所以得到周期卷積:3-7抽樣Z變換一頻域抽樣理論一 如何從頻域抽樣恢復原序列1 兩種抽樣 時域抽樣:對一個頻帶有限的信號，根據抽樣定理對其進行抽樣，所得抽樣信號的頻譜是 原帶限信號頻譜的周期延拓，因此，完全可以由抽樣信號恢復原信號。頻域抽樣:對一有限用列(時間有限序列)進行DFT所得X如就是序列傅氏變換的采樣.所以DFT就是頻域抽樣。2. 由頻域抽樣恢復序列一個絕對可和的非周期序列X巾丿的Z變換為 由于xN丿絕對可和，故其傅氏變換存在且連續，也即其Z變換收斂域包括單位 圓。這樣，對才(Z)在單位圓上N等份抽樣,就得創3頻域抽樣不失真的條件X伙)當X怡丿不是有限長時，無

11、法周期延拓:當x(n)為長度只有NM時，才能不失真的恢復信號，即§ 3-8 利用DFT對連續時間信號的逼近一用DFT計算連續時間信號的傅氏變換可能造成的誤差1混橈現象A X 2九 為避免混蒂，由抽樣定理可知，須滿足其中,為抽樣頻率;為信號的最高頻率分量;或考其中,T為抽樣間隔。2.頻譜泄漏在實際應用中，通常將所觀測的信號限制在一定的時間間隔內，也就是說，在時域對信號進行截斷操作，或稱作加時間窗，亦即用時間窗函數乘以信號,由卷積定理可知，時域相乘，頻域為卷積，這就造成拖尾現象，稱之為頻譜泄漏。3. 柵欄效應用DFT計算頻譜時，只是知道為頻率的整數倍處的頻譜。在兩個譜線之間的情況就不知道，這相當通過一個柵欄觀察 景象一樣，故稱作柵欄效應。補零點加大周期 ，可使F變小來提高辨力，以 減少柵欄效應。二 DFT與連續時間信號傅氏變換間相對數值的確定1.連續時間非周期信號傅氏變換對 2.連續時間周期信號傅氏級數變換對變換時:4. 用DFT計算非周期信號的傅氏變換用DFT計算所得的頻譜分量乘以T,就