1、實驗數據處理的幾種方法物理實驗中測量得到的許多數據需要處理后才能表示測量的最終結果。對實驗數據 進行記錄、整理、計算、分析、擬合等，從中獲得實驗結果和尋找物理量變化規律或經 驗公式的過程就是數據處理。它是實驗方法的一個重要組成部分，是實驗課的基本訓練 內容。本章主要介紹列表法、作圖法、圖解法、逐差法和最小二乘法。1.4.1 列表法列表法就是將一組實驗數據和計算的中間數據依據一定的形式和順序列成表格。列 表法可以簡單明確地表示出物理量之間的對應關系，便于分析和發現資料的規律性，也 有助于檢查和發現實驗中的問題，這就是列表法的優點。設計記錄表格時要做到：（ 1）表格設計要合理，以利于記錄、檢查、運

2、算和分析。（ 2）表格中涉及的各物理量，其符號、單位及量值的數量級均要表示清楚。但不要 把單位寫在數字后。（3）表中數據要正確反映測量結果的有效數字和不確定度。列入表中的除原始數據 外，計算過程中的一些中間結果和最后結果也可以列入表中。（ 4）表格要加上必要的說明。實驗室所給的數據或查得的單項數據應列在表格的上 部，說明寫在表格的下部。1.4.2 作圖法作圖法是在坐標紙上用圖線表示物理量之間的關系，揭示物理量之間的聯系。作圖 法既有簡明、形象、直觀、便于比較研究實驗結果等優點，它是一種最常用的數據處理 方法。作圖法的基本規則是：并寫明測試（ 1）根據函數關系選擇適當的坐標紙（如直角坐標紙，單對

3、數坐標紙，雙對數坐標 紙，極坐標紙等）和比例，畫出坐標軸，標明物理量符號、單位和刻度值， 條件。，坐標分格最好以使圖線居（ 2）坐標的原點不一定是變量的零點，可根據測試范圍加以選擇。 使最低數字的一個單位可靠數與坐標最小分度相當。縱橫坐標比例要恰當， 中。“X”（3）描點和連線。根據測量數據，用直尺和筆尖使其函數對應的實驗點準確地落在 相應的位置。 一張圖紙上畫上幾條實驗曲線時， 每條圖線應用不同的標記如 “ +”“”、“”等符號標出，以免混淆。連線時，要顧及到數據點，使曲線呈光滑曲線（含 直線），并使數據點均勻分布在曲線（直線）的兩側，且盡量貼近曲線。個別偏離過大 的點要重新審核，屬過失誤差

4、的應剔去。（ 4）標明圖名，即做好實驗圖線后，應在圖紙下方或空白的明顯位置處，寫上圖的 名稱、作者和作圖日期，有時還要附上簡單的說明，如實驗條件等，使讀者一目了然。作圖時，一般將縱軸代表的物理量寫在前面， 橫軸代表的物理量寫在后面， 中間用“”聯接。(5 )最后將圖紙貼在實驗報告的適當位置，便于教師批閱實驗報告。1.4.3圖解法在物理實驗中，實驗圖線做出以后，可以由圖線求出經驗公式。圖解法就是根據實 驗數據作好的圖線，用解析法找出相應的函數形式。實驗中經常遇到的圖線是直線、拋 物線、雙曲線、指數曲線、對數曲線。特別是當圖線是直線時，采用此方法更為方便。1.由實驗圖線建立經驗公式的一般步驟：(1

5、 )根據解析幾何知識判斷圖線的類型；(2 )由圖線的類型判斷公式的可能特點；(3) 利用半對數、對數或倒數坐標紙，把原曲線改為直線；(4) 確定常數，建立起經驗公式的形式， 并用實驗數據來檢驗所得公式的準確程度。2 .用直線圖解法求直線的方程如果作出的實驗圖線是一條直線，則經驗公式應為直線方程(1 12)要建立此方程，必須由實驗直接求出(1)斜率截距法在圖線上選取兩點 P1 ( X1, y1 )和 從圖線上直接讀取，其坐標值最好是整數值。k和b，一般有兩種方法。一些，以減小誤差。由解析幾何知，上述直線方程中, 距。k可以根據兩點的坐標求出。則斜率為P2 ( X2, y2 ),注意不得用原始數據

6、點，而應 所取的兩點在實驗范圍內應盡量彼此分開k為直線的斜率，b為直線的截y= kx+ b(1 k 3X2 X113)其截距b為x= 0時的y值；若原實驗中所繪制的圖形并未給出x= 0段直線，可將直線用虛線延長交 y軸，則可量出截距。如果起點不為零，也可以由式(1x2yi 心2X2 X114)求出截距，求出斜率和截距的數值代入方程中就可以得到經驗公式。3 .曲線改直，曲線方程的建立在許多情況下，函數關系是非線性的，但可通過適當的坐標變換化成線性關系，在 作圖法中用直線表示，這種方法叫做曲線改直。 作這樣的變換不僅是由于直線容易描繪, 更重要的是直線的斜率和截距所包含的物理內涵是我們所需要的。例

7、如：(1) y=axb，式中a、b為常量，可變換成lgy=blgx+lga, Igy為Igx的線性函數，斜率為b,截距為Iga。(2)y=abx，式a、b中為常量，可變換成lgy=( Igb)x+lga，Igy為x的線性函數, 斜率為Igb，截距為Iga。(3) PV=C,式中C為常量，要變換成 P=qi/V), P是1/V的線性函數，斜率為 C。(4) y2=2px式中P為常量，y=±2px1/2, y是x1/2的線性函數，斜率為 ±±環。(5) y=x/(a+bx)，式中a、b為常量，可變換成 1/y=a(1/x)+b, 1/y為1/x的線性函數, 斜率為a，

8、截距為bo(6) s=V0t+at2/2，式中v0, a為常量，可變換成 s/t=(a/2)t+v0, s/t為t的線性函數, 斜率為a/2，截距為V0。例1.在恒定溫度下，一定質量的氣體的壓強P隨容積V而變，畫PV圖。為一雙曲線型如圖1 4 1所示。用坐標軸1/V置換坐標軸V,則P1/V圖為一直線，如圖1 4 2所示。直線的斜 率為PV= C，即玻一馬定律。繪出TL實驗曲線為拋物線型如圖1 4 3所示。若作T 2L圖則為一直線型，如圖 1 - 44所示。斜率由此可寫出單擺的周期公式:144逐差法對隨等間距變化的物理量 X進行測量和函數可以寫成 X的多項式時，可用逐差法進 行數據處理。例如，一

9、空載長為 X0的彈簧，逐次在其下端加掛質量為m的砝碼，測出對應的長度X1,X2, ,X5 ,為求每加一單位質量的砝碼的伸長量，可將數據按順序對半分成兩組，13m 喬(X3 X4 X5) (X0 X1 X2)使兩組對應項相減有：1(X3 Xq) (X4 X1) (X5 X2)3m3 3m這種對應項相減，即逐項求差法簡稱逐差法。它的優點是盡量利用了各測量量，而 又不減少結果的有效數字位數，是實驗中常用的數據處理方法之一。注意：逐差法與作圖法一樣，都是一種粗略處理數據的方法，在普通物理實驗中， 經常要用到這兩種基本的方法。在使用逐差法時要注意以下幾個問題：1、在驗證函數的表達式的形式時，要用逐項逐差

10、， 每個數據點之間的變化是否符合規律。2、在求某一物理量的平均值時，不可用逐項逐差， 數據會相互消去，而只到用首尾項，白白浪費許多數據。如上例，若采用逐項逐差法(相鄰兩項相減的方法)1(X1 Xq) (X2 X1)(X5 X4 1 ,H RX55 mmm 5m不用隔項逐差。這樣可以檢驗而要用隔項逐差；否則中間項求伸長量，則有X0)可見只有X0、X5兩個數據起作用，沒有充分利用整個數據組，失去了在大量數據 中求平均以減小誤差的作用，是不合理的。1.4.5用最小二乘法作直線擬合作圖法雖然在數據處理中是一個很便利的方法，但在圖線的繪制上往往會引入附加誤差，尤其在根據圖線確定常數時，這種誤差有時很明顯

11、。為了克服這一缺點，在數理 統計中研究了直線擬合問題 (或稱一元線性回歸問題)，常用一種以最小二乘法為基礎的 實驗數據處理方法。由于某些曲線的函數可以通過數學變換改寫為直線，例如對函數 y ae bx取對數得In y In a bx，Iny與x的函數關系就變成直線型了。因此這一 方法也適用于某些曲線型的規律。下面就數據處理問題中的最小二乘法原則作一簡單介紹。設某一實驗中，可控制的物理量取X1, X2,，Xn值時，對應的物理量依次取yi, y2,，yn值。我們假定對xi值的觀測誤差很小，而主要誤差都出現在yi的觀測上。顯然如果從(Xi, yi)中任取兩組實驗數據就可得出一條直線，只不過這條直線的

12、誤 差有可能很大。直線擬合的任務就是用數學分析的方法從這些觀測到的數據中求出一個 誤差最小的最佳經驗式 y a bx。按這一最佳經驗公式作出的圖線雖不一定能通過每 一個實驗點，但是它以最接近這些實驗點的方式平滑地穿過它們。很明顯，對應于每一 個Xi值，觀測值yi和最佳經驗式的y值之間存在一偏差 S yi,我們稱它為觀測值 yi的偏差，即ViVi V Vi (a bxi )(i 1,2,3, ,n )(1最小二乘法的原理就是: 差的平方和為最小時，設以S表示Vi15)如各觀測值Vi的誤差互相獨立且服從同一正態分布, 得到最佳經驗式。根據這一原則可求出常數a的平方和，它應滿足：2 2ViVi a

13、b為min當yi的偏(1 16)上式中的各Vi和Xi是測量值，都是已知量，而a和b是待求的，因此函數。令S實際是S對a和b的偏導數為零，即可解出滿足上式的SaVi abXiVina bXiVia、b 值。ViXia bxi xib Xi2 0其解為XiVi a Xi2XinVi2 Xi2XiXiXiVi2 V Xi n XiVi(1 17)將得出的a和b代入直線方程，即得到最佳的經驗公式V a bx。上面介紹了用最小二乘法求經驗公式中的常數a和b的方法，是一種直線擬合法。它在科學實驗中的運用很廣泛，特別是有了計算器后，計算工作量大大減小，計算精度 也能保證，因此它是很有用又很方便的方法。用這種

14、方法計算的常數值a和b是“最佳的”，但并不是沒有誤差，它們的誤差估算比較復雜。一般地說，一列測量值的S Vi大(即 實驗點對直線的偏離大)，那么由這列數據求出的 a、b值的誤差也大，由此定出的經驗 公式可靠程度就低；如果一列測量值的S Vi小(即實驗點對直線的偏離小),那么由這列數 據求出的a、b值的誤差就小，由此定出的經驗公式可靠程度就高。直線擬合中的誤差 估計問題比較復雜，可參閱其他資料，本教材不作介紹。數學上引進了線性相為了檢查實驗數據的函數關系與得到的擬合直線符合的程度，關系數r來進行判斷。r定義為(118)Xi ViJXi 2( Vi)2式中Xi Xi X,ViVi V。r的取值范圍

15、為1 r 1。從相關系數的這一特性可以判斷實驗數據是否符合線性。如果r很接近于1,則各實驗點均在一條直線上。普物實驗中r如達到，就表示實驗數據的線性關系良好，各實驗點聚集在一條直線附近。相 反，相關系數r=0或趨近于零，說明實驗數據很分散，無線性關系。因此用直線擬合法 處理數據時要算相關系數。具有二維統計功能的計算器有直接計算r及a、b的功能?！玖曨}】1. 指出下列各量是幾位有效數字，測量所選用的儀器與其精度是多少(1)(4)(7)63.74 cm ；1.0000 kg；s；(2)0.302 cm ；(5) 0.025 cm；(8)s；(9)(3)0.0100 cm ；(6) 1.35 C ；

16、 X 103 m。2. 試用有效數字運算法則計算出下列結果(1)(3)(4)8.04216.0386.034V= n d 2 h / 4,30.9 ；50.0 (18.3016.3)(6)3. 改正下列錯誤，寫出正確答案(1)(2)(3)(4)(1033.0) (1.000.001)已知 h = 0.005 m , d=x 10 3 (m),計算 V。L=( km)的有效數字是五位； d=±( cm );h=x 10 4± 2000 (km);R= 6371 km = 6371000m = 0 (cm);4. 單位變換(1 )將 L=±( cm)的單位變換成 pm

17、 , mm , m , km 。(2)將 m=±( kg)的單位變換成 g , mg , t。6.計算H=±( cm)。5已知周期T=±( s),計算角頻率3的測量結果，寫出標準式。 竺二的結果，其中m = ±( g) ； D=±( cm)；D2H并且分析 m , D , H對(T p的合成不確定度的影響。丨I7.利用單擺測重力加速度g,當擺角很小時有T 2 I的關系。式中I為擺長，T g為周期，它們的測量結果分別為l=± 0.02cm, T=±，求重力加速度及其不確定度。附錄I教學中常用儀器誤差限儀米尺游標卡尺(20、50分度)千分尺分光計讀數顯微鏡各類數字式儀表記時器(1S、)