1、課題：雙曲線與拋物線 編寫人：江南中校區(qū)高數組【教學目標】一、 知識目標1、掌握雙曲線與拋物線的定義，掌握雙曲線與拋物線標準方程并了解其推導過程，掌握運用定義法、待定系統(tǒng)法求雙曲線與拋物線的標準方程；2、掌握雙曲線與拋物線的性質，能根據性質正確地作出雙曲線與拋物線草圖；掌握雙曲線與拋物線方程中系數的幾何意義及關系；3、懂得利用方程解決直線與雙曲線、拋物線的位置關系問題；4、能利用雙曲線與拋物線的性質解決實際問題。二、能力目標培養(yǎng)學生的觀察能力，想象能力，數形結合能力，和邏輯推理能力，以及類比的學習方法。提高學生觀察、分析、綜合的技能。三、 情感目標培養(yǎng)學生自主學習、積極主動探求知識的習慣和品質

2、、合作交流的意識，改變學習方式，改善數學學習信念，幫助學生建立勇于探索創(chuàng)新的精神和克服困難的信心。【教學重點】1、雙曲線與拋物線的定義及標準方程；2、利用雙曲線與拋物線的標準方程研究雙曲線與拋物線的幾何性質。【教學難點】運用數形結合，用代數方法研究雙曲線與拋物線的性質。【考點分析】1、考查雙曲線與拋物線的概念與方程；2、考查雙曲線與拋物線的性質；3、關于直線與圓錐曲線的位置關系的問題.【知識點梳理】（一）定義1雙曲線：平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數2a（2a<|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線。定點F1、F2叫做焦點，定點間的距離叫焦距。定義式：|PF1|-|PF2|

3、=2a, (2a<|F1F2|).注：若2a=|F1F2|,P的軌跡是以F1 和F2為端點射線；若2a>|F1F2|,P的軌跡不存在。2拋物線：平面內與一個定點F和一條定直線l距離相等的點的軌跡叫做拋物線。點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線，其中Fl.（二）標準方程和幾何性質1雙曲線標準方程幾何性質焦點F1（-C,0）,F2(C,0)F1(0,C),F2(0,-C)焦距|F1F2|=2cC2=a2+b2范圍x-a,或xa ;yRy-a,或ya ;xR對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點（a,0）(0, a)軸實軸長2a,虛軸長2b離心率漸近線2拋物線標準方程圖形性質 范圍準

4、線方程焦點軸關于x軸對稱關于y軸對稱頂點O(0,0)離心率e=1【典型例題】題型一 雙曲線的標準方程例1：根據下列條件，求雙曲線的標準方程。（1）過點，且焦點在坐標軸上。（2），經過點（5，2），且焦點在軸上。（3）與雙曲線有相同焦點，且經過點思路分析：1）題意分析：本題從不同的角度考查了對雙曲線方程的求解。2）解題思路：過兩點的方程我們一般設為，代入點計算。巧設方程，盡可能使系數越少越好。解答過程：解：（1）設雙曲線方程為 、兩點在雙曲線上，解得所求雙曲線方程為說明：采取以上“巧設”方法可以避免分兩種情況討論，達到“巧求”的目的。（2）焦點在軸上，設所求雙曲線方程為：（其中）雙曲線經過點（5

5、，2），或（舍去）所求雙曲線方程是（3）設所求雙曲線方程為：雙曲線過點，或（舍）所求雙曲線方程為點評：第（3）題中，注意到了與雙曲線有公共焦點的雙曲線方程為后，便有了以上巧妙的設法，以上簡單易行的方法使我們在解題過程中感到明快、簡捷。變式：已知雙曲線的焦點在y軸上，并且雙曲線上兩點P1、P2的坐標分別為（3，）、（），求雙曲線的標準方程.解析：因為雙曲線的焦點在y軸上，所以設所求雙曲線的標準方程為： (a>0,b>0) 因為點P1、P2在雙曲線上，所以點P1、P2的坐標適合方程.將（3，）、（）分別代入方程中，得方程組解得：a2=16,b2=9.故所求雙曲線的標準方程為：題型二 雙

6、曲線系數之間的關系例2：方程表示雙曲線，則的取值范圍是（ ） AB C D或答案：D變式1：若，則“”是“方程表示雙曲線”的( )（A）充分不必要條件.（B）必要不充分條件.（C）充要條件.（D）既不充分也不必要條件.答案：A變式2：若，雙曲線與雙曲線有（ ）A相同的虛軸B相同的實軸C相同的漸近線D 相同的焦點答案：D題型三 雙曲線的性質例3：雙曲線kx2y2=1的一個焦點是，那么它的實軸長是（）A1 B2 C D解析：由題設條件知，k=1，實軸故選B變式1：雙曲線4x2+ty24t=0的虛軸長等于（）A B2t C D4解析：雙曲線4x2+ty24t=0可化為：雙曲線4x2+ty24t=0的

7、虛軸長等于故選C變式2：雙曲線mx2y2=m的虛軸長是實軸長的2倍，則實數m=（）A4 B2 C4 D±4解析：雙曲線mx2y2=m的標準方程為，m=4，故選C題型四 雙曲線的漸近線與離心率例4：已知雙曲線與橢圓有共同的焦點，且以為漸近線（1）求雙曲線方程（2）求雙曲線的實軸長虛軸長焦點坐標及離心率解析：（1）由橢圓c=5設雙曲線方程為，則故所求雙曲線方程為（2）雙曲線的實軸長2a=6虛軸長2b=8焦點坐標（5，0），（5，0）離心率e=5/3變式1：設雙曲線的虛軸長為2，焦距為，求雙曲線的漸近線方程。解析：由已知得到，因為雙曲線的焦點在x軸上，故漸近線方程為變式2：焦點為，且與雙曲

8、線有相同的漸近線的雙曲線方程是( )A B C D解析：已知雙曲線的漸近線方程：，所求的雙曲線的焦點在y軸上，其標準方程為：，漸近線方程為，故且，選B。變式3：下列各對曲線中，即有相同的離心率又有相同漸近線的是( )(A)-y2=1和-=1 (B)-y2=1和y2-=1(C)y2-=1和x2-=1 (D)-y2=1和-=1【答案】選D變式4：求適合下列條件的雙曲線的標準方程：（1）焦點在 x軸上，虛軸長為12，離心率為 ；（2）頂點間的距離為6，漸近線方程為解析：（1）焦點在x軸上，設所求雙曲線的方程為=1由題意，得解得a=8，c=10b2=c2a2=10064=36所以焦點在x軸上的雙曲線的

9、方程為（2）當焦點在x軸上時，設所求雙曲線的方程為=1由題意，得解得a=3，b=2所以焦點在x軸上的雙曲線的方程為同理可求當焦點在y軸上雙曲線的方程為例5：若雙曲線實軸的長度、虛軸的長度和焦距成等差數列，則該雙曲線的離心率是（）A B C D解析：由于雙曲線實軸的長度、虛軸的長度和焦距成等差數列，則 2×2b=2a+2c，2=a+c，平方化簡可得 3c22ac5a2=0，3e22e5=0，解得 e=，故選C變式：設雙曲線=1（a0，b0）的實軸長、虛軸長、焦距成等比數列，則雙曲線的離心率為（）A B C D解析：雙曲線=1（a0，b0）的實軸長、虛軸長、焦距成等比數列（2b）2=（2

10、a）（2c） b2=ac 又b2=c2a2c2a2=ace2e1=0 e= 又在雙曲線中e1 e=故選B變式2：.設雙曲線的一個焦點為，虛軸的一個端點為，如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么雙曲線的離心率是（ ）A B. C. D. 解析：設雙曲線方程為，且F為右焦點，端點B為上端點，則直線的斜率為，與FB垂直的漸近線斜率為，又此漸近線方程為，即，解之得。變式3：設和為雙曲線()的兩個焦點, 若，是正三角形的三個頂點，求雙曲線的離心率。解析：由有,則題型四 雙曲線的定義例6：如果，分別是雙曲線的左、右焦點，AB是雙曲線左支上過點的弦，且，則的周長是 .解析：由題意知：a=4，b=3，故c=

11、5由雙曲線的定義知，+得：，所以,所以的周長是點評：本題考查雙曲線的定義的應用，涉及到雙曲線上的點和兩焦點構成的三角形問題，一般用定義處理例7：已知、為雙曲線C:的左、右焦點，點P在C上，=，則 解析：.由余弦定理得cosP=4題型五 直線與雙曲線的位置關系例8：直線與雙曲線相交于A、B兩點，當為何值時，A、B在雙曲線的同一支上？當為何值時，A、B分別在雙曲線的兩支上？解析：把代入整理得： 當時，。由>0得且時，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個交點。若A、B在雙曲線的同一支，須>0 ，所以或。故當或時，A、B兩點在同一支上；當時，A、B兩點在雙曲線的兩支上。點評：與雙曲線只有一個公

12、共點的直線有兩種。一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點的直線。另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條。變式：已知雙曲線，直線試討論的取值范圍，使直線與雙曲線有兩個公共點；有且只有一個公共點；沒有公共點.解析：把代入雙曲線中得到關于的一元二次方程.當時，即，求得直線與雙曲線有兩個公共點.當或時，直線與雙曲線只有一個公共點,解得.當時, 即時，直線與雙曲線沒有公共點.例9：求直線被雙曲線截得的弦長；解析：由得即（*）設方程（*）的解為，則有 得，變式：過雙曲線的右焦點,傾斜角為的直線交雙曲線與兩點，求弦的長.設計意圖：運用直線與圓錐曲線的弦長公式，并引導學生學會類比直線與橢圓的相交情況，通過分類討

13、論，引導學生形成結論：不管直線與雙曲線交于同一支還是不同支，弦長公式仍然適用.過中點的雙曲線弦的直線方程：解析：聯(lián)立方程：，消去得：，由弦長公式.題型六 拋物線的方程例10：在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點在原點，經過點A(2,2)，其焦點F在x軸上，求拋物線C的標準方程解析：設拋物線y22px(p>0)，將點(2,2)代入得p1.y22x為所求拋物線的方程變式：拋物線的頂點在坐標原點，焦點與雙曲線1的一個焦點重合，則該拋物線的標準方程可能是()Ax24y Bx24yCy212x Dx212y解析：由題意得c3，拋物線的焦點坐標為(0,3)或(0，3)該拋物線的標準方程為x212

14、y或x212y.題型七 拋物線的定義與性質例11：已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上的點P(m，2)到焦點的距離為4，則m的值為 ()A4 B2 C4或4 D12或2解析：C,設標準方程為x22py(p>0)，由定義知P到準線距離為4，故24，p4，方程為x28y，代入P點坐標得m±4.點評：聯(lián)系定義，合理轉化到焦點的距離和到準線的距離變式1：點到拋物線的準線的距離為，那么拋物線的方程是（ ）ABC或D或【解析】：選D。分兩類a>0，a<0可得yx2，yx2.變式2：過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若x1+

15、x2=6，那么|AB|等于_解析： A到準線距離為x1+1, B到準線距離為x2+1,由定義知A到焦點距離為x1+1, B到焦點距離為x2+1, |AB|= x1+1+ x2+1=8例12：已知點P是拋物線y24x上一點，設點P到此拋物線準線的距離是d1，到直線x2y120的距離為d2，則d1d2的最小值是()A5 B4C. D.解析：設拋物線的焦點為F，則F(1,0)由拋物線的定義可知d1|PF|，d1d2|PF|d2.d1d2的最小值為|PF|d2的最小值即點F到直線x2y120的距離最小值為. 選C變式1：拋物線的焦點為，為一定點，在拋物線上找一點，當為最小時，則點的坐標 解析：|MF|

16、等于M到準線的距離，故只需MA垂直準線時最小，M縱坐標為-2，得M()點評：轉化成到準線的距離后，利用平面幾何知識找到最小值變式2：已知為拋物線上任一動點，記點到軸的距離為，對于給定點， 則的最小值為( ) (A) (B) (C) (D)解析：D題型七 直線與拋物線的位置關系例13：設拋物線y28x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是()A， B2,2C1,1 D4,4解析：由題意Q(2,0)，設l的方程為yk(x2)，代入y28x得k2x24(k22)x4k20，16(k22)216k40，即k21，1k1.答案C變式：過點(0,2)與拋物線y2

17、8x只有一個公共點的直線有()A1條B2條C3條 D無數條解析：易知y軸與拋物線切于原點滿足條件，直線y2與拋物線對稱軸平行也滿足條件，另外畫出圖形，易知有一條直線與拋物線切于x軸上方，故這樣的直線有3條答案C例14：已知頂點在原點，焦點在軸上的拋物線被直線截得的弦長為，求拋物線的方程。解析：設拋物線的方程為，則消去得，則變式：直線l經過拋物線y24x的焦點，與拋物線交于A，B兩點，若|AB|8，那么直線l的傾斜角是()A30°或60° B30°或150°C45°或60° D45°或135°解析：設A(x1，y1)

18、，B(x2，y2)，直線l的方程為xmy1，則由得y24my40，得|y1y2|4|AB|·4·8m±1，答案D例15：在拋物線上求一點，使這點到直線的距離最短。解析：設點，距離為， 當時，取得最小值，此時為所求的點。變式：已知，拋物線上的點到直線的最段距離為_。解析： 直線為，設拋物線上的點 【方法與技巧總結】解決直線與曲線的位置關系問題的常用方法是設出直線方程或曲線方程，然后把直線方程和曲線方程組成方程組，消元后轉化成關于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數的關系，整體代入的思想解題設直線與曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，直線的斜率為k，則|

19、AB|x1x2|.【鞏固練習】1雙曲線2x2y28的實軸長是()A2B2C4 D4解析：雙曲線方程可變形為1，所以a24，a2,2a4.答案：C2與橢圓y21共焦點且過點P(2,1)的雙曲線方程是()A.y21 B.y21C.1 Dx21解析：橢圓y21的焦點為(±，0)，因為雙曲線與橢圓共焦點，所以排除A、C.又雙曲線y21經過點(2,1)答案：B3若拋物線y22px(p>0)的焦點在圓x2y22x30上，則p ()A. B1C2 D3解析：拋物線y22px(p>0)的焦點為(，0)在圓x2y22x30上，p30，解得p2或p6(舍去)答案：C3若拋物線y2x上一點P到

20、準線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標為()A(，±) B(，±)C(，) D(，)解析：設拋物線的焦點為F，因為點P到準線的距離等于它到頂點的距離，所以點P為線段OF的垂直平分線與拋物線的交點，易求點P的坐標為(，±)答案：B4已知雙曲線1(a>0，b>0)的一個頂點與拋物線y220x的焦點重合，該雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線斜率為()A±2 B±C± D±解析：由拋物線y220x的焦點坐標為(5,0)，可得雙曲線1的頂點坐標為(5,0)，即得a5，又由e，可解得c，則b2c2a2，即b，由此可得雙

21、曲線的漸近線的斜率為k±±.答案：C5設F1、F2是雙曲線y21的兩個焦點，P在雙曲線上，當F1PF2的面積為2時，·的值為()A2 B3C4 D6解析：設點P(x0，y0)，依題意得，|F1F2|24，SPF1F2|F1F2|×|y0|2|y0|2，|y0|1，y1，x3(y1)6，·(2x0，y0)·(2x0，y0)xy43.6雙曲線1的右焦點到漸近線的距離是_解析：由題意得：雙曲線1的漸近線為y±x.焦點(3,0)到直線y±x的距離為.7已知拋物線y24x與直線2xy40相交于A、B兩點，拋物線的焦點為F，那

22、么|_.解析：由消去y，得x25x40(*)，方程(*)的兩根為A、B兩點的橫坐標，故x1x25.因為拋物線y24x的焦點為F(1,0)，所以|(x11)(x21)7.【課后作業(yè)】雙曲線：1到兩定點，的距離之差的絕對值等于的點的軌跡（ ）A橢圓B線段C雙曲線D兩條射線答案D2對于曲線C：，給出下面四個命題：曲線C不可能表示橢圓；當1<k<4時，曲線C表示橢圓；若曲線C表示雙曲線，則k<1或k>4；若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則1<k<。其中命題正確的序號為_。ABCD答案D3已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F1（，0），點P位于該雙曲線上，線段PF1的中

23、點坐標為（0，2），則雙曲線的方程是（ ）Ay21Bx21C1D1答案B 4過雙曲線左焦點F1的弦AB長為6，則（F2為右焦點）的周長是（ ）A28B22C14D12答案A5設F1、F2是雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上，且·0，則|·|的值為（ ）A2B2C4D8答案A6雙曲線方程為，則它的右焦點坐標為（ ）ABCD答案C7雙曲線1的焦點到漸近線的距離為（ ）A2B2CD1答案A 8橢圓的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）ABCD答案A9若雙曲線過點(m，n)(m>n>0)，且漸近線方程為y±x，則雙曲線的焦點（ ）A在x軸上B在y軸上C在x軸或

24、y軸上D無法判斷是否在坐標軸上答案A10已知雙曲線的實軸的一個端點為A1，虛軸的一個端點為B1，且|A1B1|5，則雙曲線的方程是（ ）ABC1D1答案A 11過雙曲線C：1(a>0，b>0)的一個焦點作圓x2y2a2的兩條切線，切點分別為A，B，若AOB120°（O是坐標原點），則雙曲線C的離心率為（ ）AB2CD3答案B 12求滿足下列條件的雙曲線的標準方程。（1）經過點A(4，3)，且a4；（2）經過點A、。解：（1）若所求雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則將a4代入，得1，又點A(4，3)在雙曲線上，1。解得b29，則1，若所求雙曲線方程為1（a&g

25、t;0，b>0）。同上，解得b2<0，不合題意，雙曲線的方程為1。（2）設雙曲線的方程為mx2ny21（mn<0），點A、B(3，2)在雙曲線上，解之得所求雙曲線的方程為1。拋物線：1若點到直線的距離比它到點的距離小，則點的軌跡為（ ）A線段B圓C拋物線D雙曲線答案C2拋物線yx2的準線方程為（ ）AxBx1Cy1Dy2答案C 3設拋物線y28x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是（ ）A4B6C8 D12答案B 4準線方程為x1的拋物線的標準方程是（ ）Ay22xBy24xCy22xDy24x答案B 5已知拋物線y22px(p>0)的準線與圓(x3)2y216相切，則p的值為（ ）AB1C2D4答案C 6已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，拋物線上的點到焦點的距離為4，則 的值為（ ）A4B2C4或4D12或2答案C7邊長為1的等邊三角形AOB，O為原點，ABx軸，以O為頂點且過A、B的拋物線方程是（ ）ABCD答案B【拓展訓練】1如圖2所示，為雙曲線的左焦點，雙曲線上的點與關于軸對稱，則的值