1、 平面向量在解析幾何中的應(yīng)用與求解策略湖南省洞口三中 方錦昌 電子郵箱 fangjingchang2 007 手機(jī)號碼編 422312 一、利用向量，可以很方便地解決有關(guān)平行、垂直、距離等相關(guān)問題，其基本理論是： （一）、直線的方向向量：直線L的方向向量為=（a,b),則該直線的斜率為k= （二）、利用向量處理平行問題：對非零向量=(x1,y1),=(x2,y2),的充要條件是：有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)l，使得 = l；亦即 (¹)的充要條件是x1y2-x2y1=0；（三）、利用向量求角：設(shè)=(x1,y1),=(x2,y2), 則兩向量、的夾角：cosq = cos

2、<,> = = Þ 其特殊情況即為垂直問題：對非零向量=(x1,y1),=(x2,y2),的充要條件是·=0x1x2- y1y2=0； （四）、利用向量求距離：設(shè)=(x,y),則有|=；若則|=二、典例分析：【題1】、點(diǎn)P（-3,1）在橢圓的左準(zhǔn)線上.過點(diǎn)P且方向?yàn)?(2,-5)的光線，經(jīng)直線y=-2反射后通過橢圓的左焦點(diǎn)，則這個(gè)橢圓的離心率為:( )（A） （B） (C) （D）解析：如圖,過點(diǎn)P（-3，1）的方向向量=(2,-5);所以；即;聯(lián)立：， 由光線反射的對稱性知：所以，即;令y=0,得F1（-1，0）;綜上所述得： c=1，;所以橢圓的離心率故選A

3、。點(diǎn)撥：本題中光線所處直線的方向向量是=(2,-5)，則立即有直線的斜率為。【題2】設(shè)橢圓上一點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為10，是該橢圓的左焦點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則解：依據(jù)橢圓的第二定義則有：|PF|=6，再由第一定義則|PF |=4；由于，由向量加法的平行四邊形法則，則點(diǎn)M處于PF的中點(diǎn)處，故由中位線定理可知2。點(diǎn)撥：本題中的向量條件，抓住向量加法的平行四邊形法則，從而轉(zhuǎn)化得出點(diǎn)M處于PF的中點(diǎn)位置。【例題3】已知A,B為橢圓(a>b>0)和雙曲線的公共頂點(diǎn),P,Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A,B的動(dòng)點(diǎn),且有+=l(+)(lR,|l|>1),設(shè)AP,BP,AQ,BQ斜率分別為k1,k2,k

4、3,k4,求證:k1+k2+k3+k4為一個(gè)定值.解、點(diǎn)A(-a,0)；B(a,0)；由+=l(+),依據(jù)向量加法的平行四邊形法則,則有O、Q、P三點(diǎn)共線；設(shè)P(x1,y1)、Q（x2，y2）,則 - =1,則x12-a2 = ·y12； k1+k2 = + = = ·；同樣有k3+k4= ·；由于 = ， 所求的定值為0。 點(diǎn)撥：本題中的向量條件:+=l(+)，通過向量加法的平行四邊形法則,從而轉(zhuǎn)化得出了O、Q、P三點(diǎn)共線；然后再繼續(xù)進(jìn)行推理、求解，從而得出結(jié)論。【例題4】(2007年全國高考·理科·12題)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為該拋物線上三點(diǎn)

5、，若，則（ ）A9B6C4D3解：拋物線的焦點(diǎn)F（1，0）設(shè) A、B、C 三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、；則有=，=，=，；+=0；x1+x2+x3=3,又由拋物線的定義可知 x1+1+x2+1+x3+1=6，從而選（B)。點(diǎn)撥：本題中，向量條件；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行轉(zhuǎn)化后可得x1+x2+x3=3,再由于所求均為焦半徑，從而利用拋物線的定義馬上可得到所求之答案為（B）。【例題5】、（2004年全國高考）給定拋物線C：F是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線與C相交于A、B兩點(diǎn).（）設(shè)的斜率為1，求夾角的大小；（）設(shè)，求在軸上截距的變化范圍.解：（）C的焦點(diǎn)為F（1，0），直線L的斜率為1，所以L的方程為將代入方程

6、，并整理得設(shè)則有所以夾角的大小為（）由題設(shè) 得即又由于點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，則有依據(jù)拋物線的定義有：x2+1=l(x1+1)；聯(lián)立方程和可求得x1= ；則點(diǎn)A（，±）或求得點(diǎn)；又F（1，0），則可得直線L的方程為： 當(dāng)時(shí)，l在方程y軸上的截距為由 可知在4，9上是遞減的， 直線L在y軸上截距的變化范圍為點(diǎn)拔：本題主要是將向量相等的條件，轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)關(guān)系等式：即然后可以此去求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)數(shù)值，再往下進(jìn)行轉(zhuǎn)化推理，從而使問題得以解決。【例題6】（2007年湖南高考理科20題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)（I）若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；

7、（II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：由條件知，設(shè)，（I）設(shè)，則，由得即 當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以 由得；當(dāng)時(shí)，由得，將其代入有整理得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程故點(diǎn)的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)點(diǎn)，使為常數(shù)，當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由（I）有，于是因?yàn)槭桥c無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，此時(shí)故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)點(diǎn)撥：本題中的向量條件的轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是利用向量坐標(biāo)的運(yùn)算規(guī)律去加以運(yùn)用與轉(zhuǎn)化！【例題7】設(shè)過點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和

8、軸的正半軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，則點(diǎn)的軌跡方程是 ( )A BC D解：設(shè)P（x，y），則Q（x，y），又設(shè)A（a，0），B（0，b），則a>0，b>0，于是，由可得ax，b3y，所以x>0，y>0又（a，b）（x，3y），由1可得故選D點(diǎn)撥：本題中的向量條件的轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵也是利用向量坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律去加以運(yùn)用與轉(zhuǎn)化！【例題8】已知兩點(diǎn)M（2，0）、N（2，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足0，則動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程為（ ）（A）（B）（C）（D）解答、設(shè)，；則由，則，化簡整理得 所以選B點(diǎn)撥：本題中的向量條件的轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵還是利用向量坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律

9、去加以運(yùn)用與轉(zhuǎn)化！【例題9】已知點(diǎn) M（2，0），N（2，0），動(dòng)點(diǎn) P滿足條件|PM |PN |=，記動(dòng)點(diǎn) P的軌跡為 W. （）求 W 的方程；（）若 A，B 是W上的不同兩點(diǎn)，O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，求·的最小值.OFxyPMH解：（）由|PM|PN|=知?jiǎng)狱c(diǎn) P 的軌跡是以 為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，實(shí)半軸長；又半焦距 c=2，故虛半軸長；所以 W 的方程為, （）設(shè) A，B 的坐標(biāo)分別為, ；當(dāng) ABx軸時(shí),從而從而當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為,與W的方程聯(lián)立,消去y得故 所以 .又因?yàn)?所以,從而綜上,當(dāng)AB軸時(shí), 取得最小值2.點(diǎn)撥：向量條件在綜合題中的轉(zhuǎn)化是經(jīng)常要用到

10、的，它實(shí)質(zhì)是向量坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律的應(yīng)用與轉(zhuǎn)化。【例題10】（2006年遼寧卷）已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為(I) 證明線段是圓的直徑;(II)當(dāng)圓C的圓心到直線x-2y=0的距離的最小值為時(shí)，求P的值。【解析】(I) ；整理得: ；設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則即；整理得:故線段是圓的直徑 (II)解:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則；又因；所以圓心的軌跡方程為；設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則當(dāng)y=p時(shí),d有最小值,由題設(shè)得 . 點(diǎn)撥：本小題考查了平面向量的基本運(yùn)算，圓與拋物線的方程、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用解析

11、幾何知識(shí)解決問題的能力。【例題11】（2006年天津卷）如圖，以橢圓的中心為圓心，分別以和為半徑作大圓和小圓。過橢圓右焦點(diǎn)作垂直于軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點(diǎn)連結(jié)交小圓于點(diǎn)設(shè)直線是小圓的切線（1）證明，并求直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，證明 證明：（）由題設(shè)條件知，故，即；因此，；在， 因此，在中 ，.于是，直線OA的斜率.設(shè)直線BF的斜率為，則.這時(shí)，直線BF與軸的交點(diǎn)為；()由（），得直線BF得方程為且 由已知，設(shè)、，則它們的坐標(biāo)建立方程組 ；由方程組消去，并整理得由式、和；由方程組消去，并整理得 由式和， 綜上，得到注意到，得 點(diǎn)撥：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的幾

12、何性質(zhì)、直線方程。平面向量、曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法，考查推理及運(yùn)算能力.【例題12】（2005年湖南理19題·14分）已知橢圓C：1（ab0）的左右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為e. 直線l：yexa與x軸y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，設(shè). （）證明：1e2； （）確定的值，使得PF1F2是等腰三角形.解：、因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是. 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）. 由即（）：因?yàn)镻F1l，所以PF1F2=90°+BAF1為鈍角，要使PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 設(shè)