1、內切與外接1球與柱體1.1 球與正方體Ab圖I如圖1所示，正方體反。白-481G設正方體的棱長為以1 瓦凡為快的中點，。為球的球心.常見組合方式有三美工一是球 為正方體的內彷球,新面圖為正方形EEGY和其內切圖,則 pJ|=r=|；二是與正方憚各棱相切的球，截面圖為正方形豆尸型和 其外接圓，則|明| =丑=當- 三是球為正方雄的外接球，截面圖為 長方形工C4G和其少由圓,則Afi二*二條.通過這三林類型可以例1 棱長為1的正方體ABCD AB1clD1的8個頂點都在球。的表面上，E, F分別是棱AA, DD1的中點，則直線 EF被球O截得的線段長為（）A 2B . 1 C. 1 2D. 加1.

2、2 球與長方體長方體各頂點可在一個球面上，故長方體存在外切球.但是不一定存在內切球.設長方體的棱長為a,b,c,其體對角線為l .當球為長方體的外接球時，截面圖為長方體的對角面和其1 -2b22外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑R - b一-.2 2例2在長、寬、高分別為2, 2, 4的長方體內有一個半徑為1的球，任意擺動此長方體，則球經過的空間部分的體積為（）A.10s B.4 兀C.萼 D=3 331.3球與正棱柱球馬一般的正棱柱的組臺體，常以外接形態居多,下面以正三棱柱 為例，介紹本夷題目的解法構造直龜三角修法.設正三棱柱 奶c-A羽G的高為人底面邊長為如圖2助示，己和2

3、分別為 上下底面的中心,根據幾何摩的特點，球心心落在高的中點。， 0D二匕,月。二乩A0二也凡借助直角三角形AOD的勾股定理，可23求尺=3勺；+（冬例3正四棱柱ABCD ABGD1的各頂點都在半徑為 R的球面上，則正四棱柱的側面積有最 值，為 .2球與錐體規則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進行充分的組合，以外接和內切兩種形態進行結合， 通過球的半徑和棱錐的棱和高產生聯系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題.2.1 球與正四面體圖4正四面蟀作為一個規則的幾何體，它既存在外接球.也存在內 切球,并且兩心合一，而呻這點可順利解決球的半徑與正四面體的 棱長的關系.如圖%設

4、正四面處s-的棱長為儀內切球半徑 為廣，外接球的半徑為飛取工H的中點為力，月為5在底面的射 熟 隹接CR爾股為正四面體的高,在威面三角形跛工作一個 與邊即和LC相切,圓心在高甌上的圓j即為內切球的截面,因為 正四面體本身的對稱性可知，外接球和內切球由球心同為G.此時, CQ=QX=RQE = f , SE = a,CE = -a,貝 I 有R r 旨,R2r2一 2 a2 . 1_ y6CE =一，解得：R a, r 346 a. 12例4將半徑都為1的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最 小值為（）82屈B2+2V6C4+巫口 點26A. 33332.2 球與三條側棱

5、互相垂直的三棱錐法,即把二桿錐斗平底下F本肅者長k體.常R.兩種花蕾:一是三棱錐的三條ffll棱互相垂直并且相等，則可以補膨為一個正方體，它的 外接球的球心就是三棱錐前夕說球的球心，如圖5-三橫錐4-月片弓的外 接球的球心和正方體上£CD - 4月G4的9K球的球心重合.設44=0， 則R =立討,二是如果三棱錐的三條側棱互相垂直并且不相等,則可以補形 2為一個長方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外挎球的球j 2 I 口心.5= ' 十十。=L（!為長方體的體對角線長）.44例5在正三棱錐S ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點，且AM MN，若側棱SA 2 J3,則正三

6、棱錐S-ABC外接球的表面積是 2.3 球與正棱錐球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球為三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點在球面上，根據截面圖的特點，可以構造直角三角形進行求解.二是球為正棱錐的內切球，例如正三棱錐的內切球， 球與正三棱錐四個面相切， 球心到四個面的距離相等， 都為球半徑R .這樣求球的半徑可轉化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.例6在三錐P- ABC43, PA= PB=PC=?3,側棱PA與底面ABC所成的角為60° ,則該三棱 錐外接球的體積為（B. - C. 44D.3SC接球的球心，則R SC2例7矩

7、形ABCD中，AB 4, BC3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B AC D,則四面體ABCD的外接球的體積是（）A. 125 B. 125 C. 125 D. 125129633球與球對多個小球結合在一起， 組合成復雜的幾何體問題，要求有豐富的空間想象能力，解決本類問題需掌握恰當的處理手段，如準確確定各個小球的球心的位置關系，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉化平面問題求解.例7在半彳5為R的球內放入大小相等的 4個小球，則小球半徑 r的最大值為（）C.yi?D 裊4球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條棱相切問題，關鍵要抓住棱與球相切的幾何性質，達到明確球心的位置為目的，然后通過構造直角三角形進行轉換和求解例：與正四面體各棱都相切的球的半