1、九年級(jí)數(shù)學(xué)圓的綜合的專(zhuān)項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題含答案一、圓的綜合1 .如圖，。是4ABC的外接圓，點(diǎn) E為4ABC內(nèi)切圓的圓心，連接 AE的延長(zhǎng)線(xiàn)交 BC于 點(diǎn)F,交。O于點(diǎn)D;連接BD,過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)DM,使/ BDM=/DAC.(1)求證：直線(xiàn)DM是。O的切線(xiàn)；【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 2 J3【解析】【分析】(1)根據(jù)垂徑定理的推論即可得到ODLBC,再根據(jù)/BDM=/DBC,即可判定 BC/ DM,進(jìn)而彳#到ODLDM,據(jù)此可得直線(xiàn) DM是。的切線(xiàn)；(2)根據(jù)三角形內(nèi)心的定義以及圓周角定理，得到/BED=/EBD,即可得出DB=DE,再判定DBQ4DAB,即可得到 DB2=DF?DA,據(jù)此解答

2、即可.【詳解】(1)如圖所示，連接OD.點(diǎn) E 是 4ABC的內(nèi)心,Z BAD=Z CAD,Bd Cd ,OD± BC.又. / BDM=/DAC, /DAC=/DBC, . / BDM=/DBC, . BC/ DM, .1.ODXDM.又OD為。O半徑，.直線(xiàn)DM是。的切線(xiàn).(2)連接 BE. E 為內(nèi)心，/ABE=/CBE / BAD=Z CAD, / DBC=Z CAD, . / BAD=Z DBC, . / BAE+Z ABE=Z CBEZ DBC,即 ZBED=Z DBE, . BD=DE.又/ BDF=/ADB （公共角），. DBFs DAB, .正 里 即 DB2=D

3、F?DADB DA '. DF=2, AF=4, DA=DF+AF=6, . . DB2=DF?DA=12, . DB=DE=2 J3 .【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心與外心，圓周角定理以及垂徑定理的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注 意：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧；三角形的內(nèi)心 到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線(xiàn)平分這個(gè)內(nèi)角.2.如圖，OA過(guò)？OBCD的三頂點(diǎn)O、D、C,邊OB與。A相切于點(diǎn)O,邊BC與。相交于 點(diǎn)H,射線(xiàn)OA交邊CD于點(diǎn)E,交。A于點(diǎn)F,點(diǎn)P在射線(xiàn) OA上，且/ PCD=2Z DOF,以。為原點(diǎn)，OP所在的直線(xiàn)為x軸建立平面

4、直角坐標(biāo)系，點(diǎn) B的坐標(biāo)為(0, - 2).(1)若/ BOH=30 ,求點(diǎn)H的坐標(biāo)；(2)求證：直線(xiàn)PC是。A的切線(xiàn)；(3)若OD=J10 ,求。A的半徑.琳【答案】(1) (1,-3)； (2)詳見(jiàn)解析；(3)勺.3【解析】【分析】(1)先判斷出OH=OB=2,利用三角函數(shù)求出 MH, OM,即可得出結(jié)論；(2)先判斷出/PCD=Z DAE,進(jìn)而判斷出/PCD=/ CAE,即可得出結(jié)論；(3)先求出O3,進(jìn)而用勾股定理建立方程，r2- (3-r) 2=1,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)解：如圖，過(guò)點(diǎn) H作HMy軸，垂足為 M.四邊形OBCD是平行四邊形，/ B=/ODC 四邊形OHCD是圓內(nèi)

5、接四邊形/ OHB=Z ODC/ OHB=Z B .OH=OB=2 在 RtAOMH 中，/ BOH=30 ；，MH=；OH=1, OM= 3M MH= 33 ,點(diǎn)H的坐標(biāo)為(1,-百)，(2)連接AC.OA=AD,/ DOF=Z ADO/ DAE=2/ DOF / PCD=2Z DOF, / PCD土 DAE OB與。相切于點(diǎn)A OBXOF . OB/ CD CDXAFZ DAE=Z CAE / PCD土 CAE/ PCA=Z PCD+/ACE之 CAE+Z ACE=90 °直線(xiàn)PC是。A的切線(xiàn)；(3)解：OO的半徑為r.11在 RtOED中，DE=-CD=- OB=1, OD=V

6、l0 , .OE 3 . OA=AD=r, AE=3- r.在RtDEA中，根據(jù)勾股定理得，r2- (3-r) 2=1 5解得r= 一 .3【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理, 線(xiàn)的性質(zhì)和判定，構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵.將圖形延3.圖1和圖2,半圓O的直徑AB=2,點(diǎn)P （不與點(diǎn)A, B重合）為半圓上一點(diǎn), BP折疊，分別得到點(diǎn) A, O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A', O',設(shè)/ABP=a.圖L(1)當(dāng)a =15時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作A QI AB,如圖1,判斷A西半圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.P71(2)如圖2,當(dāng)a,時(shí)；BA'與半圓O相切.

7、當(dāng)a=時(shí)，。點(diǎn)O'落在上.(3)當(dāng)線(xiàn)段BO與半圓。只有一個(gè)公共點(diǎn) B時(shí)，求a的取值范圍.【答案】(1) A g半圓O相切；理由見(jiàn)解析；(2) 45; 30; (3) 0°< a< 30°或45° W”<90°.【解析】試題分析：(1)過(guò)。作OD，A什點(diǎn)D,交A行點(diǎn)E,利用含30°角的直角三角形的性 1 ,11質(zhì)可求得 DE+OE=A' B=AB=OA,可判定 A g半圓相切；(2)當(dāng)BA'與半圓相切時(shí)，可知OB± A' H則可知"45；當(dāng) oM '上時(shí)，連接AO,則I

8、I可知BO Zab,可求得/ O BA=60可求得a =30;(3)利用(2)可知當(dāng)a =30時(shí)，線(xiàn)段O' B與圓交于O',當(dāng)a =45時(shí)交于點(diǎn)B,結(jié)合題意可得出滿(mǎn)足條件的”的范圍.試題解析：(1)相切，理由如下：如圖1,過(guò)。作OD過(guò)。作ODLA'空點(diǎn)D,交A' B于點(diǎn)E, a =15 A / AB, / ABA ZCA' B=30 °1 II.DE= -A，上 OE=BE, 11111DO=DE+OE= (A' E+BE='AB=OA,A'與半圓O相切；(2)當(dāng)BA'與半圓。相切時(shí)，則 OB, BA',

9、 ./OBA' =2 a =90當(dāng)O'在“"上時(shí)，如圖2,/ O' AB=30 ° ./ABO' =60 °=30, °(3)二.點(diǎn) P, A 不重合，a>0,由(2)可知當(dāng)a增大到30°時(shí)，點(diǎn)O'在半圓上， 當(dāng)0。< av 30時(shí)點(diǎn)O'在半圓內(nèi)，線(xiàn)段 BO與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn) B;當(dāng)a增大到450時(shí)BA'與半圓相切，即線(xiàn)段 BO與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn) B. 當(dāng)“繼續(xù)增大時(shí)，點(diǎn) P逐漸靠近點(diǎn)B,但是點(diǎn)P, B不重合， a< 90 :當(dāng)45 ° WB0線(xiàn)段BO與半圓

10、只有一個(gè)公共點(diǎn)B.綜上所述 0°< a<30°或 45° Wq90°.考點(diǎn)：圓的綜合題.4.如圖，AB為eO的直徑，弦CD/AB, E是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，CDB1 DE是e O的切線(xiàn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；2 求證：AC2 CD BE .2)證明見(jiàn)解析【答案】(1)結(jié)論：DE是e O的切線(xiàn)，理由見(jiàn)解析;【解析】【分析】(1)連接OD ,只要證明OD DE即可；(2)只要證明：AC BD , VCDBsVDBE即可解決問(wèn)題【詳解】1解：結(jié)論：de是e O的切線(xiàn).理由：連接OD.Q CDB ADE ,ADC EDB, QCD/AB, CDA DAB ,

11、QOA OD , OAD ODA, ADO EDB, Q AB是直徑，ADB 900,ADB ODE 900,DE OD , DE是e O的切線(xiàn).2 QCD/AB,ADC DAB , CDB DBE, n n AC BD，AC BD ,Q DCB DAB , EDB DAB , EDB DCB ,VCDB s VDBE ,CD DB ， BD BEBD2 CD BE , AC2 CD BE .【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、切線(xiàn)的判定等知識(shí), 添加常用輔助線(xiàn)，準(zhǔn)確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型5.如圖，點(diǎn)P是正方形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接 PA,

12、PB, PC.將 PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90倒APCB的位置.(1)設(shè)AB的長(zhǎng)為a, PB的長(zhǎng)為b(b<a),求 PAB旋轉(zhuǎn)到 P'CB的過(guò)程中邊 PA所掃過(guò)區(qū)域(圖 中陰影部分)的面積；(2)若 PA=2, PB=4, /APB=135°,求 PC 的長(zhǎng).【答案】(1) S陰影=4(a2-b2)；(2)PC=6.【解析】試題分析：(1)依題意，將' CB時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。可與4PAB重合，此時(shí)陰影部分面積 二扇 形BAC的面積-扇形BPP的面積，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，兩個(gè)扇形的中心角都是90。，可據(jù)此求出陰影部分的面積.(2)連接PP；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知： BP=B

13、P；旋轉(zhuǎn)角ZPBP'=90°,則4PBP是等腰直角三 角形，/BP'C=/ BPA=135, /PP'C=/ BP'C-Z BP'P=135°-45 =90°,可推出PP'C是直角三角 形，進(jìn)而可根據(jù)勾股定理求出 PC的長(zhǎng).試題解析：(1)二,將4PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AP' C的位置，.PABAP'CB,Sa pae=Sa p'cb, nS 陰影=S 扇形 bac-S 扇形 bpp =4 ( a2-b2);(2)連接PP,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：APBCP bp.BP=BP &

14、#39; ,=P' C=PA=2 PBP' =90 ° PBP是等腰直角三角形，p'p2=pb2+p'b2=32 ；又 / BP' C=BPA=135,./PP' CbP'-aBP' P=1345°= 90 ；即 APP'是直角三角形.” JPPi + PC1 cPg=6.考點(diǎn)：1.扇形面積的計(jì)算；2.正方形的性質(zhì)；3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).6 .如圖，已知平行四邊形OABC的三個(gè)頂點(diǎn) A、B C在以。為圓心的半圓上，過(guò)點(diǎn) C作CD, AB,分另1J交AB、AO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D、E,AE交半圓。于點(diǎn)F,連接CF.(

15、1)判斷直線(xiàn)DE與半圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若半圓O的半徑為6,求AC的長(zhǎng).【答案】（1）直線(xiàn)CE與半圓。相切（2） 4【解析】試題分析：（1）結(jié)論：DE是。的切線(xiàn).首先證明 證明四邊形BDCG是矩形，即可解決問(wèn)題；（2）只要證明OCF是等邊三角形即可解決問(wèn)題，求 試題解析：（1）直線(xiàn)CE與半圓。相切，理由如下:四邊形OABC是平行四邊形，AB / OC. / D=90 ；/ OCE± D=90 :即 OC，DE,直線(xiàn)CE與半圓O相切.（2）由（1）可知：/COF=60, OC=OF.OCF是等邊三角形，./AOC=120 ° ABO, BCO都是等邊三角形，再A

16、C即可解決問(wèn)題.Ac的長(zhǎng)為1201806一二4 兀.7 .如圖所示，以 RtABC的直角邊AB為直徑作圓O,與斜邊交于點(diǎn) D, E為BC邊上的中 點(diǎn)，連接DE.（1）求證：DE是。的切線(xiàn)；（2） -連接OE, AE,當(dāng)/CAB為何值時(shí)，四邊形 AOED是平行四邊形？并在此條件下求 sin/CAE 的值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）/0 .10【解析】分析：（1）要證 DE是。的切線(xiàn)，必須證 ED± OD,即/EDB+/ ODB=90（2）要證AOED是平行四邊形，則 DE/ AB, D為AC中點(diǎn)，又BD± AC,所以 ABC為等 腰直角三角形，所以 /CAB=45,再由正弦

17、的概念求解即可.詳解：（1）證明：連接O、D與B、D兩點(diǎn)，.BDC是RtA ,且E為BC中點(diǎn)，/ EDB=/ EBD. ( 2 分)又 OD=OB且/ EBD叱 DBO=90 , / EDB+/ ODB=90 :.DE是。O的切線(xiàn).(2)解： / EDO=Z B=90°,若要四邊形AOED是平行四邊形，則 DE/ AB, D為AC中點(diǎn),又 ; BD± AC,.ABC為等腰直角三角形./ CAB=45 :過(guò)E作EHI±AC于H,設(shè) BC=2k,則 EH=/k, AE=75k,EH .10，sin/CAE= .AE 10點(diǎn)睛：本題考查的是切線(xiàn)的判定，要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)

18、，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可.8.已知：BD為。的直徑，O為圓心，點(diǎn) A為圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) B作。的切線(xiàn)交 DA的延 長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,點(diǎn)C為。上一點(diǎn)，且 AB= AC,連接BC交AD于點(diǎn)E,連接AC.(1)如圖 1,求證：/ABF=/ABC;(2)如圖2,點(diǎn)H為。內(nèi)部一點(diǎn)，連接 OH, CH若/ OHC=/HCA= 90°時(shí)，求證：CH=1 _DA;2在(2)的條件下，若 OH=6,。的半徑為10,求CE的長(zhǎng).21見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）5【解析】【分析】1由BD為e O的直徑，得到 DABD 90o，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到C ABC ,等量代換即可得到A

19、COCOH ,根據(jù)等腰三角形ACBOCB ,根據(jù)相似三角形FBA ABD 90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 結(jié)論；2如圖2,連接OC,根據(jù)平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)得到 的性質(zhì)得到OBC OCB , ABC CBO的性質(zhì)即可得到結(jié)論；3根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到膽膽2,根據(jù)勾股定理得到OH OCAD JBD2 AB2 16，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 BF BE，AF AE，根據(jù)射影122 -定理得到AF 9 ,根據(jù)相交弦定理即可得到結(jié)論.161 Q BD為e O的直徑，BAD 900，D ABD 90°，Q FB是e O的切線(xiàn)，F(xiàn)BD 900,FBA ABD 90°，F(xiàn)BA

20、 D ,Q AB AC ,C ABC ,Q C D ,ABF ABC；2如圖2,連接OC,丈Q OHC HCA 900,AC/OH ,ACO COH ,QOB OC ,OBC OCB,ABC CBO ACB OCB, 即 ABD ACO,ABC COH , Q H BAD 900,VABD sVHOC ,AD BD 八 2,CH OC-1CH - DA ；23 由 2 知，VABCs VHOC ,AB BD c 2, OH OCQOH 6, e O的半徑為10,AB 2OH 12, BD 20,AD .BD2 AB2 16, 在VABF與VABE中，ABF ABEAB AB , BAF BAE

21、 90oVABF VABE ,BF BE, AF AE,Q FBD BAD 900, AB2 AF AD )AFAEDE12216AF9 ,9,7, be Jab2 ae215,Q AD ， BC交于 E,AE DE BE CE ,“ AE DE 9 7 21CE BE 155本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性 質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理，射影定理，相交弦定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.9.在e O中，AB為直徑，C為e O上一點(diǎn).(I)如圖，過(guò)點(diǎn)C作e O的切線(xiàn)，與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn) P,若 CABP的大小；(n)如圖，D為弧AC的中點(diǎn)，連接延

22、長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)P,若 CAB 【答案】(1) / P=34° ( 2) 【解析】【分析】(1)首先連接OC,由OA=OC,12 ,求/ P= 27°即可求得OD交AC于點(diǎn)E,連接DC并延長(zhǎng), P的大小./A的度數(shù)，然后由圓周角定理，求得度數(shù)，繼而求得答案；所以 ODLAC,繼而求得答案.(2)因?yàn)镈為弧AC的中點(diǎn)，OD為半徑,【詳解】(1)連接OC,1 .OA=OC,/ A= / OCA= 28 ；/ POC= 56 ;2 .CP是。O的切線(xiàn)，/ OCP= 90 ;/ P= 34 °(2) 為弧AC的中點(diǎn)，OD為半徑,ODXAC, / CAB= 12 ；/ AOE=

23、 78 ；/ DCA= 39 ； / P= / DCA / CAB, / P= 27 :【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì).注意準(zhǔn)確作出輔助線(xiàn)是解此題的關(guān)鍵.10.如圖，已知 AB是。的直徑，P是BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，PC切。于點(diǎn)C, CD±AB,垂 足為D.(1)求證：/PCA=/ABC;(2)過(guò)點(diǎn)A作AE/ PC交。于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)M,若/ CAB= 2/B, CF =J3,求陰影部分的面積.【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2) 6更.【解析】【分析】(1)如圖，連接 OC,利用圓的切線(xiàn)的性質(zhì)和直徑對(duì)應(yīng)的圓周角是直角可得/ PCA=Z OCB,利用等量代換可得

24、/ PCA之ABC.(2)先求出4OCA是等邊三角形，在利用三角形的等邊對(duì)等角定理求出FA=FC和CF=FM,然后分別求出AM、AC、MO、CD的值，分別求出 Saoe、S§形boe、S abm的值，利用Sfe影部分S A0E S扇形BOE S ABM ,然后通過(guò)計(jì)算即可解答【詳解】解：（1）證明：連接OC,如圖, / PCA+/ ACO=90o,. AB 是。的直徑，Z ACB=Z ACO+OCB=90o/ PCA=/ OCB, . OC=OB/. / OBC=Z OCB,Z PCA=/ ABC； ACB 中,/ ACB= 90o, / CAB= 2 / B,./ B= 30o,Z

25、CAB= 60o/. OCA是等邊三角形, . CDXAB,.1. / ACD+/ CAD= / CAD+ Z ABC= 90o, / ACA / B= 30o,. PC/ AEJ / PCA=/CAE= 30o,.,. FC=FA, 同理，CF= FM, AM = 2CF=273 ,RtA ACM 中，易得 AC=3= OC,2 / B= /CAE= 30o,.,. /AOC=/COE=60o,/ EOB=60oJ / EAB=Z ABC=30oJ MA=MB, 連接OM,EGL AB交AB于G點(diǎn)，如圖所示， . OA=OB,.1- MOXAB,.-. MO = OAX tan30o=3 ,

26、 .CDOAEDO(AAS)EG=CD=AC x sin603)=3 , 2MO 3 31S ABM 二 AB2同樣，易求S aoe9 .346032360S山影部分S A0ES扇形 BOESabM=M £ 3 363 3【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、解直角三角形、扇形面積和識(shí)圖的能力，綜合性較強(qiáng)，有一定難 度，熟練掌握定理并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.11.已知四邊形 ABCD是。的內(nèi)接四邊形， /DAB= 120 °, BC= CD, AD=4, AC= 7,求【分析】uur作DEL AC, BF± AC,根據(jù)弦、弧、圓周角、圓心角的關(guān)系，求得 BC/DAC=/CA

27、B= 60；在RtA ADE中，根據(jù)60銳角三角函數(shù)值，可求得uur CD ,進(jìn)而得到DE= 2 V3 ， AE=2,再由RtDEC中，根據(jù)勾股定理求出 DC的長(zhǎng)，在4BFC和4ABF中,利用60。角的銳角三角函數(shù)值及勾股定理求出AF的長(zhǎng)，然后根據(jù)求出的兩個(gè)結(jié)果，由AB=2AF,分類(lèi)討論求出AB的長(zhǎng)即可.【詳解】作 DE，AC, BF± AC,BC= CD, uur uuin BC CD，/ CAB= / DAC, / DAB= 120 ；/ DAC= / CAB= 60 °, .DEXAC,/ DEA= / DEC= 90 °,DEae.sin60 =,cos6

28、0 =, 44.DE=2 73 , AE= 2, .AC=7,.CE= 5, dc= . 2.3 2 52.37，11 BC= - 37 , .BFXAC,/ BFA= / BFC= 90 °,BF1. tan60 =, BF2+CF2= BC2,1 .BF= , 3 AF,芯 2 7 af 2737 2,_ 八_3.AF = 2 或 AF=一，2。AFcos60 =,AB.AB=2AF,當(dāng) AF=2 時(shí)，AB=2AF= 4,.AB= AD,2 . DC=BC, AC= AC,. .AD8MBC （SSS ,/ ADC= / ABC,3 .ABCD是圓內(nèi)接四邊形，4 / ADC+Z

29、ABC= 180 :/ ADC= / ABC= 90 ； 2但 AC=49, AD DC 4 歷 53,AC2W aD+dC2,5 .AB=4 （不合題意，舍去），當(dāng) AF=3 時(shí)，AB= 2AF=3, 2.AB=3.【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓的相關(guān)性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形模型，利 用直角三角形的性質(zhì)解題.12.如圖，AB是e O的直徑，弦CD AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) F ,連接DF .(1)求證：DF是e O的切線(xiàn)；(2)連接 BC,若 BCF 30, BF 2,求 CD 的長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) 2出【解析】【分析】(1)連接OD,由垂徑

30、定理證 OF為CD的垂直平分線(xiàn)，得 CF=DF / CDF=/ DCF,由 /CDO=/OCD,再證 ZCDO +/CDB=/OCD+/DCF=90可得 ODDF,結(jié)論成立.(2)由/OCF=90°, /BCF=30°,得/OCB=60°,再證 A OC的等邊三角形，得 /COB=60°,可 得/CFO=30,所以FO=2OC=2OB FB=OB= OC =2在直角三角形 OCE中，解直角三角形可 得CE再推出CD=2CE.【詳解】(1)證明：連接OD .CF是。O的切線(xiàn)/ OCF=90 ° / OCD+Z DCF=90 ° 直徑AB

31、L弦CD .CE=ED即OF為CD的垂直平分線(xiàn).CF=DF/ CDF=Z DCF .OC=OD,/ CDO=Z OCD / CDO +/ CDB之 OCD+Z DCF=90 ° ODXDF .DF是。O的切線(xiàn)(2)解：連接ODZ OCF=90, °Z BCF=30 °/ OCB=60 °-.OC=OBA OC囪等邊三角形，/ COB=60 °/ CFO=30 °1 . FO=2OC=2OB2 . FB=OB= OC =2在直角三角形 OCE中，/ CEO=90 / COE=60CE 3sin COE OC 23 .CF 3，CD=2

32、CF 2 3D【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：垂徑定理，切線(xiàn)，解直角三角形.解題關(guān)鍵點(diǎn)：熟記切線(xiàn)的判定定理，靈活運(yùn)用含有 30。角的直角三角形性質(zhì)，巧解直角三角形.13.如圖，BD為4ABC外接圓。的直徑，且/BAE=/C.(1)求證：AE與。相切于點(diǎn)A;(2)若 AE/ BC, BC= 2J3, AC= 2,求 AD 的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) 2察【解析】【分析】(1)根據(jù)題目中已出現(xiàn)切點(diǎn)可確定用連半徑，證垂直”的方法證明切線(xiàn)，連接 AO并延長(zhǎng)交。于點(diǎn)F,連接BF,則AF為直徑，/ABF= 90°,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，則可得 到/BAE=/F,既而得到 AE與。相切于點(diǎn)

33、A.(2)連接 OC,先由平行和已知可得 /ACB=/ABC,所以AC= AB,貝U / AOC= / AOB, 從而利用垂徑定理可得 AH=1,在RtOBH中，設(shè)OB= r,利用勾股定理解得 r=2,在 RtA ABD中，即可求得 AD的長(zhǎng)為2 J3 .【詳解】解：(1)連接AO并延長(zhǎng)交。于點(diǎn)F,連接BF,則AF為直徑，Z ABF= 90°,Ab Ab，/ ACB= / F, / BAE / ACR / BAE / F, / FABZ F= 90 ； / FABZ BAE= 90 ; OAXAE, .AE與。相切于點(diǎn)A.(2)連接OC, AE/ BC, / BAE / ABC, /

34、 BAE / ACR / ACB- / ABC,.AC= AB=2,/ AOC= / AOB, .OC= OB, OAXBC,1.CH= BH= -BC= 73 ,2在 RtABH 中，ah= Jab2 bh 2 =1，在 RtOBH 中，設(shè) OB= r,.OH2+BH2=OB2,(r - 1) 2+ (石)2= r2,解得：r=2,.-.DB=2r = 4,在 RtA ABD 中，AD= JbD2AB2 = 442r = 2 品,.AD的長(zhǎng)為2J3.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問(wèn)題，恰當(dāng)?shù)奶砑虞o助線(xiàn)是解題關(guān)鍵14.對(duì)于平面內(nèi)的OC和。C外一點(diǎn)Q,給出如下定義：若過(guò)點(diǎn)Q的直線(xiàn)與OC存在公共點(diǎn)，記

35、為點(diǎn)A, B,設(shè)k AQ BQ ,則稱(chēng)點(diǎn)A (或點(diǎn)B)是。C的“脅目關(guān)依附點(diǎn)”，特別 CQ2AQ 八 2BQ地，當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B重合時(shí)，規(guī)定AQ=BQ, k(或).CQ CQ已知在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，Q(-1,0), C(1,0), OC的半徑為r.(1)如圖1,當(dāng)r J2時(shí)， 若Ai(0,1)是。C的“冰目關(guān)依附點(diǎn)”，求k的值.A 2(1 +夜，0)是否為OC的“冰目關(guān)依附點(diǎn)(2)若。C上存在“相關(guān)依附點(diǎn)”點(diǎn)M,當(dāng)r=1 ,直線(xiàn)QM與。C相切時(shí)，求k的值.當(dāng)k J3時(shí)，求r的取值范圍(3)若存在r的值使得直線(xiàn)yJ3x b與。C有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)時(shí) OC的 藥 相關(guān)依附點(diǎn)”，直接寫(xiě)出b的取值

36、范圍.0備用圖圖】【答案】(1)五.是;石 b 36.【解析】【分析】(2)kJ3;r的取值范圍是(3)(1)如圖1中，連接AC、QA1.首先證明QA1是切線(xiàn)，根據(jù)2AQ計(jì)算即可解決CQ問(wèn)題；根據(jù)定義求出k的值即可判斷；在x軸上方(切點(diǎn)M在(2) 如圖，當(dāng)r 1時(shí)，不妨設(shè)直線(xiàn) QM與eC相切的切點(diǎn) M x軸下方時(shí)同理)，連接 CM ,則QM CM ,根據(jù)定義計(jì)算即可； 如圖3中，若直線(xiàn)QM與e C不相切，設(shè)直線(xiàn) QM與e C的另一個(gè)交點(diǎn)為 N (不妨設(shè)QN QM ,點(diǎn)N , M在x軸下方時(shí)同理)，作 CD QM于點(diǎn)D ,則MD ND,可得MQ NQ (MN NQ) NQ 2ND 2NQ 2DQ

37、 , CQ = 2 ,推出 k M；NQ 2DQ DQ，可得當(dāng) k V3 時(shí)，DQ p ,此時(shí) CD JCQ2 DQ2 1 ,CQ CQ,假設(shè)e C經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q ,此時(shí)r = 2,因?yàn)辄c(diǎn)Q早e C外，推出r的取值范圍是1, r 2 ；(3)如圖4中，由(2)可知：當(dāng)k J3時(shí)，1, r 2 .當(dāng)r = 2時(shí)，e C經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q( 1,0)或 E(3,0), 當(dāng)直線(xiàn)yJ3x b經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q時(shí)，bJ3 ,當(dāng)直線(xiàn)yJ3x b經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，b 3J3,即可推出滿(mǎn)足條件的 b的取值范圍為 J3 b 30 .【詳解】(1)如圖1中，連接AC、QA1.圖1由題意：OC OQ OA1 , aQAQ是直角三角形，CA1Q 90 ,即CAi QA , QAi 是 e C 的切線(xiàn)， k 2QA1 22 & .QC 2Q A2(1 班,0)在eC上， k 2 亞1 & 1 2,4是eC的“小目關(guān)依附2點(diǎn)”.故答案為：亞，是;(2) 如圖2,當(dāng)r 1時(shí)，不妨設(shè)直線(xiàn) QM與eC相切