1、函數(shù)復(fù)習(xí)內(nèi)容：函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性、函數(shù)的綜合應(yīng)用一常見(jiàn)函數(shù)（基本初等函數(shù)）：1 23 45冪函數(shù)：（包括前四個(gè)函數(shù)）6指數(shù)函數(shù)：7對(duì)數(shù)函數(shù)：8三角函數(shù)：，由以上函數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算得到的函數(shù)都是初等函數(shù)。如：，試著分析以上函數(shù)的構(gòu)成。二定義域：1“定義域優(yōu)先”的思想是研究函數(shù)的前提，在求值域、奇偶性、換元時(shí)易忽略定義域。2求定義域：例1求下列函數(shù)定義域：（1） （2）例2設(shè)，則的定義域?yàn)開(kāi)變式練習(xí)：，求的定義域。三值域：1 2 3 ； 4 ； 5 已知直角三角形的三邊之和為2，求此三角形面積的最大值。 6函數(shù)的定義域和值域都是(b>1),求b的值。練

2、習(xí)：已知二次函數(shù) 滿足且方程有等根。（1）求的解析式；（2）問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)使的定義域?yàn)?，值域?yàn)椤Ｈ绱嬖?，求出的值，若不存在說(shuō)明理由。答案：(1)，（2）m=-2,n=07已知函數(shù)（b<0）的值域?yàn)?，3，求實(shí)數(shù)b，c的值。8（07浙江理）設(shè)是二次函數(shù)，若的值域是，則的值域是（ ）CAB C D9已知 ，求函數(shù)的最值。小結(jié)：函數(shù)值域的計(jì)算能力要求高、考查頻率高，應(yīng)該分類(lèi)歸納，各個(gè)擊破。難度的的變化會(huì)隨著參數(shù)的引入而改變?nèi)鏣6、T7。四單調(diào)性：1單調(diào)性的證明：（1）定義法：例 判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明。練習(xí)：已知函數(shù)，點(diǎn)在的反函數(shù)圖像上。（1）求的反函數(shù)；（2）證明在定義域內(nèi)是減函數(shù)。

3、答案：（1）2單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用：例 （1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_（2）已知在是減函數(shù)，則的取值范圍是_練習(xí)：若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_高考真題：已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是 （ ）（A） （B） （C）（D）解：依題意，有0<a<1且3a1<0，解得0<a<，又當(dāng)x<1時(shí)，（3a1）x4a>7a1，當(dāng)x>1時(shí)，logax<0，所以7a1³0解得x³故選C例 已知函數(shù)的圖象與函數(shù)（且）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，記若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）DA B C D例 設(shè)函數(shù)，給出下述命題：有最小值；當(dāng)

4、時(shí)，的值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，在區(qū)間上有反函數(shù)；若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是則其中正確的命題是_（要求：把正確命題的序號(hào)都填上）例 函數(shù)對(duì)任意的，都有，并且當(dāng)時(shí)， 求證：在上是增函數(shù)； 若，解不等式 五函數(shù)的奇偶性：常用性質(zhì)：1是既奇又偶函數(shù)； 2奇函數(shù)若在處有定義，則必有； 3偶函數(shù)滿足； 4奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；5除外的所有函數(shù)奇偶性滿足：奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù) 奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù) 奇函數(shù)±偶函數(shù)=非奇非偶 奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù) 偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù) 偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)6任何函數(shù)可以寫(xiě)成一個(gè)奇

5、函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和。例 設(shè)是R上的任意函數(shù),則下列敘述正確的是 (A)是奇函數(shù) (B)是奇函數(shù) (C) 是偶函數(shù) (D) 是偶函數(shù)【解析】A中則，即函數(shù)為偶函數(shù)，B中，此時(shí)與的關(guān)系不能確定，即函數(shù)的奇偶性不確定，C中，即函數(shù)為奇函數(shù)，D中，即函數(shù)為偶函數(shù)，故選擇答案D。例 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù). 當(dāng)時(shí)，則 當(dāng)時(shí)， .解：當(dāng)x(0,+) 時(shí)，有-x(-,0)，注意到函數(shù)f(x) 是定義在 (-,+)上的偶函數(shù)，于是，有f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4 從而應(yīng)填-x-x4例 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)。（）求的值；（）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；解析：（）因?yàn)?/p>

6、是奇函數(shù)，所以=0，即 又由f（1）= -f（-1）知 （）解法一：由（）知，易知在上為減函數(shù)。又因是奇函數(shù)，從而不等式： 等價(jià)于，因?yàn)闇p函數(shù)，由上式推得：即對(duì)一切有：，從而判別式練習(xí)：已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則_。解析：函數(shù)若為奇函數(shù)，則，即，a=.例 已知在（1，1）上有定義，且滿足證明：在（1，1）上為奇函數(shù)；例 若奇函數(shù)滿足，則_六函數(shù)的周期性：（一）要點(diǎn)：1（定義）若是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期。說(shuō)明：nT也是的周期（推廣）若，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期2若定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線和對(duì)稱(chēng)，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期（推論）若定義在R上的偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則是周期函數(shù)，

7、是它的一個(gè)周期3 若定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期（推論）若定義在R上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期4若定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線和點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期（推論）若定義在R上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期5若；則是周期函數(shù)，2是它的一個(gè)周期（二）例題講解：例1 函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則_。解：由得，所以，則。例2 是定義在R上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，對(duì)任意，有，且求；證明：是周期函數(shù)；例3 是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)一切，恒有求證：是周期函數(shù)；若，求的值。例4 已知定義在R上的奇函數(shù)

8、f(x)滿足f(x+2)=f(x),則,f(6)的值為(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)2解：因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（0）0，又f（x4）f（x2）f（x），故函數(shù)，f（x）的周期為4，所以f（6）f（2）f（0）0，選B 例5 若存在常數(shù)，使得函數(shù)滿足()，則的一個(gè)正周期為_(kāi)例6 已知定義在R上，最小正周期為5的函數(shù)滿足，且，則在區(qū)間內(nèi)，方程的解的個(gè)數(shù)至少為_(kāi)個(gè)例7 定義在R上的偶函數(shù)，滿足，在區(qū)間-2,0上單調(diào)遞減，設(shè)，則的大小順序?yàn)開(kāi)例8 定義在R上的函數(shù)滿足，則當(dāng)?shù)淖钚≈凳莀例9 已知函數(shù)是一個(gè)以4為最小正周期的奇函數(shù)，則（ ）A0B4C4D不能確定例10 已知

9、f (x)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且則f (2005)= .例 已知是(-)上的奇函數(shù)，當(dāng)01時(shí)，f(x)=x，則f(7.5)=_例11 設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒滿足，當(dāng)時(shí)求證：是周期函數(shù)；當(dāng)時(shí)，求的解析式；計(jì)算：例12 設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，已知時(shí)，函數(shù)，則時(shí)，_例13 定義在R上的函數(shù)為周期函數(shù)，最小正周期為T(mén)，若函數(shù)，時(shí)有反函數(shù)，則函數(shù)，的反函數(shù)為（ ）ABCD例14已知是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)則（A）（B）（C）（D）解：已知是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，<0，選D.七反函數(shù)：例 已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則A B C D解

10、：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以是的反函數(shù)，即=， ，選D.例 設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，且的圖像過(guò)點(diǎn)，則的圖像必過(guò)（A） （B） （C） （D）解：當(dāng)x時(shí)，2x10，即yf（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），所以的圖像必過(guò)（1，0）故選C。例 函數(shù) 的反函數(shù)是AB CD解：有關(guān)分段函數(shù)的反函數(shù)的求法，選C。也可用特殊點(diǎn)排除法，原函數(shù)上有（1，2）和（-1，-1）兩點(diǎn)，反函數(shù)上有（2，1）和（-1，-1），檢驗(yàn)知C。例 函數(shù)y=1+ax(0<a<1)的反函數(shù)的圖象大致是 （A） （B） （C） （D）解：函數(shù)y=1+ax(0<a<1)的反函數(shù)為，它的圖象是函數(shù)向右移動(dòng)1個(gè)單位

11、得到，選A八函數(shù)的綜合應(yīng)用：1二次函數(shù)：例1 已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值記為，求的函數(shù)表達(dá)式。例2 若不等式x2ax1³0對(duì)于一切xÎ（0，成立，則a的取值范圍是（ ）A0 B. 2 C.- D.-3有£a故選C例3 若關(guān)于x的方程(a>0且a1)有解，則m的取值范圍是_例4 設(shè)二次函數(shù)，方程的兩根，滿足，（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，證明：。分析：作差，韋達(dá)定理例6 設(shè)函數(shù).（1）在區(qū)間上畫(huà)出函數(shù)的圖像；（2）設(shè)集合. 試判斷集合和之間的關(guān)系，并給出證明；（3）當(dāng)時(shí)，求證：在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.解：（1） （2）方程的解分

12、別是和，由于在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，因此. 由于. （3）解法一 當(dāng)時(shí)，. ， . 又， 當(dāng)，即時(shí)，取， . ， 則. 當(dāng)，即時(shí)，取， . 由 、可知，當(dāng)時(shí)，. 因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方. 解法二 當(dāng)時(shí)，.由 得， 令 ，解得 或， 在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，的圖像與函數(shù)的圖像只交于一點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，的圖像與函數(shù)的圖像沒(méi)有交點(diǎn). 如圖可知，由于直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線是由直線繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到. 因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方. 例7 設(shè)f(x)=3ax,f(0)0，f(1)0，求證：()a0且-2-1；()方程f(x)=0在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根. 解析：本題主要考查二次

13、函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)。滿分14分。證明：（I）因?yàn)椋?由條件，消去，得；由條件，消去，得，.故.（II）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，在的兩邊乘以，得.又因?yàn)槎苑匠淘趨^(qū)間與內(nèi)分別有一實(shí)根。故方程在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.例8 若，恒成立，求的取值范圍。練習(xí)：方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。例9 （04上海理）已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)(1,1),反比例函數(shù)y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個(gè)交點(diǎn)間距離為8,f(x)= f1(x)+ f2(x).(1) 求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2) 證明:當(dāng)a>3時(shí),關(guān)于x的方程f(x)= f(a) 有三個(gè)實(shí)數(shù)解.

14、【解】(1)由已知,設(shè)f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1, f1(x)= x2. 設(shè)f2(x)=(k>0),它的圖象與直線y=x的交點(diǎn)分別為 A(,)B(,) 由=8,得k=8,. f2(x)=.故f(x)=x2+. (2) 【證法一】f(x)=f(a),得x2+=a2+, 即=x2+a2+. 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出f2(x)=和f3(x)= x2+a2+的大致圖象,其中f2(x)的圖象是以坐標(biāo)軸為漸近線,且位于第一、三象限的雙曲線, f3(x)的圖象是以(0, a2+)為頂點(diǎn),開(kāi)口向下的拋物線. 因此, f2(x)與f3(x)的圖象在第三象限有一個(gè)交點(diǎn), 即f(x)=f(a)有

15、一個(gè)負(fù)數(shù)解. 又f2(2)=4, f3(2)= 4+a2+ 當(dāng)a>3時(shí),. f3(2)f2(2)= a2+8>0, 當(dāng)a>3時(shí),在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(diǎn)(2,f3(2)在f2(x)圖象的上方. f2(x)與f3(x)的圖象在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn),即f(x)=f(a)有兩個(gè)正數(shù)解. 因此,方程f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解. 【證法二】由f(x)=f(a),得x2+=a2+, 即(xa)(x+a)=0,得方程的一個(gè)解x1=a. 方程x+a=0化為ax2+a2x8=0, 由a>3,=a4+32a>0,得 x2=, x3=, x2<0, x3>0,

16、 x1 x2,且x2 x3. 若x1= x3,即a=,則3a2=, a4=4a, 得a=0或a=,這與a>3矛盾, x1 x3. 故原方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解.例10 設(shè)二次函數(shù)滿足條件：時(shí)，且；當(dāng)時(shí)，；在R上的最小值是0。求的解析式答案：例11 已知，函數(shù)。（1）當(dāng)b>0時(shí)，若對(duì)任意都有，證明：；（2）當(dāng)b>1時(shí)，證明：對(duì)任意的，的充要條件是；（3）當(dāng)時(shí)，討論：對(duì)任意的，的充要條件。2函數(shù)方程例 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足 （I）若，求;又若，求; （II）設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，求函數(shù)的解析表達(dá)式 例 對(duì)于函數(shù)f(x),若f(x)=x,則稱(chēng)x為f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”，若，則稱(chēng)x為f(x)的“穩(wěn)定點(diǎn)”，函數(shù)f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A和B，即，.(1). 求證：AB；(2).若，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.證明(1).若A=，則AB 顯然成立；若A，設(shè)tA，則f(t)=t,f(f(t)=f(t)=t,即tB,從而 AB. 解 (2)：A中元素是方程f(x)=x 即的實(shí)根. 由 A，知 a=0 或 即 B中元素是方程 即 的實(shí)根由AB，知上方程左邊含有一個(gè)因式，即方程可化為 因此，要A=B，即要