1、2.2等差數列2.2.1 等差數列的概念、等差數列的通項公式 從容說課本節課先在具體例子的基礎上引出等差數列的概念， 接著用不完 全歸納法歸納出等差數列的通項公式，最后根據這個公式去進行有關 計算.可見本課內容的安排旨在培養學生的觀察分析、歸納猜想、應 用能力.結合本節課特點，宜采用指導自主學習方法，即學生主動觀 察分析概括師生互動，形成概念 一一啟發引導，演繹結論 拓展開放，鞏固提高.在學法上，引導學生去聯想、探索，同時 鼓勵學生大膽質疑，學會探究.在教學過程中，遵循學生的認知規律，充分調動學生的積極性， 盡可能讓學生經歷知識的形成和發展過程，激發他們的學習興趣，發揮他們的主觀能動性及其在教

2、學過程中的主體地位.創設問題情境，引起學生學習興趣，激發他們的求知欲，培養學生由特殊到一般的認 知能力.使學生認識到生活離不開數學，同樣數學也是離不開生活的.學會在生活中挖掘數學問題，解決數學問題，使數學生活化，生活數 學化.教學重點 理解等差數列的概念，探索并掌握等差數列的通項公式， 會用公式解決一些簡單的問題.教學難點(1)等差數列的性質，等差數列 等差”特點的理解、把握和 應用；(2)概括通項公式推導過程中體現的數學思想方法，以及從函數、方程的觀點看通項公式.教具準備多媒體課件，投影儀三維目標一、知識與技能1 .了解公差的概念，明確一個數列是等差數列的限定條件，能根 據定義判斷一個數列是

3、等差數列；2 .正確認識使用等差數列的各種表示法，能靈活運用通項公式求 等差數列的首項、公差、項數、指定的項.二、過程與方法1 .通過對等差數列通項公式的推導培養學生的觀察力及歸納推理能力；2 .通過等差數列變形公式的教學培養學生思維的深刻性和靈活性.三、情感態度與價值觀通過等差數列概念的歸納概括，培養學生的觀察、分析資料的能 力，積極思維，追求新知的創新意識.教學過程導入新課師 上兩節課我們學習了數列的定義以及給出數列和表示數列的幾種方法列舉法、通項公式、遞推公式、圖象法 .這些方法從不同的 角度反映數列的特點.下面我們看這樣一些數列的例子：（課本P41頁 的4個例子）(1)0, 5, 10

4、, 15, 20, 25,；(2)48, 53, 58, 63,；(3)18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5 ；(4)10 072, 10 144, 10 216, 10 288, 10 366,.請你們來寫出上述四個數列的第 7項.生 第一個數列的第7項為30,第二個數列的第7項為78,第三個數 列的第7項為3,第四個數列的第7項為10 510.師 我來問一下，你依據什么寫出了這四個數列的第 7項呢？以第二個 數列為例來說一說.生 這是由第二個數列的后一項總比前一項多5,依據這個規律性我得到了這個數列的第7項為78.師 說得很有道理！我再請同學們仔細觀察一下，看看以上四個數列

5、有 什么共同特征？我說的是共同特征.生1每相鄰兩項的差相等，都等于同一個常數.師 作差是否有順序，誰與誰相減？生1作差的順序是后項減前項，不能顛倒.師 以上四個數列的共同特征：從第二項起，每一項與它前面一項的 差等于同一個常數(即等差)；我們給具有這種特征的數列起一個名字 叫等差數列.這就是我們這節課要研究的內容.推進新課等差數列的定義：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數就叫 做等差數列的公差（常用字母d”表示）.（1）公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；（2）對于數列an,若an-an-尸d（與n無關的數或字

6、母）,n nW N*, 則此數列是等差數列，d叫做公差.師 定義中的關鍵字是什么？（學生在學習中經常遇到一些概念，能否 抓住定義中的關鍵字，是能否正確地、深入的理解和掌握概念的重要 條件，更是學好數學及其他學科的重要一環.因此教師應該教會學生 如何深入理解一個概念，以培養學生分析問題、認識問題的能力）生 從第二項起”和同一個常數”.師很好！師 請同學們思考：數列（1）、（2）、（3）、（4）的通項公式存在嗎？如果 存在，分別是什么？生 數列（1）通項公式為5n-5,數列（2）通項公式為5n+43,數列（3）通項 公式為2.5n-15.5,.師 好，這位同學用上節課學到的知識求出了這幾個數列的通

7、項公式， 實質上這幾個通項公式有共同的特點， 無論是在求解方法上，還是在 所求的結果方面都存在許多共性，下面我們來共同思考.合作探究等差數列的通項公式師等差數列定義是由一數列相鄰兩項之間關系而得到的，若一個等差數列an的首項是ai,公差是d,則據其定義可得什么？生 a2-ai=d,即 a2=ai+d.師對，繼續說下去！生 a3-a2=d,即 a3=a2+d=ai+2d;a4-a3=d，即 a4=a3+d=ai+3d; 師 好！規律性的東西讓你找出來了，你能由此歸納出等差數列的通 項公式嗎？生 由上述各式可以歸納出等差數列的通項公式是an=ai+(n-1)d.師很好!這樣說來，若已知一數列為等差

8、數列，則只要知其首項ai和公差d,便可求得其通項an 了 .需要說明的是：此公式只是等差數 列通項公式的猜想，你能證明它嗎？生 前面已學過一種方法叫迭加法，我認為可以用.證明過程是這樣的：因為a2-a產d,a3-a2=d,a4-a3=d,an-an-產d.將它們相加便可以得到: an=ai+(n-1)d.師 太好了 !真是活學活用啊！這樣一來我們通過證明就可以放心使用這個通項公式了 .教師精講由上述關系還可得：am=ai+(m-1)d,即 ai=am-(m-1)d.貝U an=ai+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,即等差數列的第二通項公式烝=am+(n-m)

9、d.(這是變通的通項公式)由此我們還可以得到d 9芻. m n例題剖析【例11(1)求等差數列8, 5, 2,的第20項；(2) -401是不是等差數列-5, -9, -13的項？如果是，是第幾項？分析(1)師 這個等差數列的首項和公差分別是什么？你能求出它的第 20項嗎？生1這題太簡單了 ！首項和公差分別是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因為n=20,所以由等差數列的通項公式，得a20=8+(20-1) (-3)=-49.師好!下面我們來看看第(2)小題怎么做.分析(2)生 2 由 a1=-5,d=-9-(-5)=-4 得數列通項公式為 an=-5-4(n-1).由題意可知，本題是要回

10、答是否存在正整數n,使得-401=-5-4(n-1)成立，解之，得n=100,即-401是這個數列的第100項.師 剛才兩個同學將問題解決得很好，我們做本例的目的是為了熟悉公式，實質上通項公式就是an,a1,d,n組成的方程(獨立的量有三個).說明:(1)強調當數列an的項數n已知時，下標應是確切的數字；(2)實際上是求一個方程的正整數解的問題.這類問題學生以前見得較少，可向學生著重點出本問題的實質：要判斷-401是不是數列的項，關鍵是求出數列的通項公式an,判斷是否存在正整數n,使得an=-401 成立.【例2】 已知數列an的通項公式an=pn+q,其中p、q是常數，那 么這個數列是否一定

11、是等差數列？若是，首項與公差分別是什么？例題分析：師 由等差數列的定義，要判定 an是不是等差數列，只要根據什 么？生 只要看差an-an-i(nn察不是一個與n無關的常數.師說得對，請你來求解.生當nA2時，取數列an中的任意相鄰兩項an-i與an(nA2)an-an-i=(pn+1)- p(n-1)+q =pn+q-(pn-p+q尸p 為常數，所以我們說an是等差數列，首項ai=p+q,公差為p.師 這里要重點說明的是：若p=0,則an是公差為0的等差數列，即為常數列q, q, q,.(2)若p?Q則an是關于n的一次式，從圖象上看，表示數列的各點(n, an)均在一次函數y=px+q的圖

12、象上，一次項的系數是公差 p,直線在 y軸上的截距為q.(3)數列an為等差數列的充要條件是其通項 an=pn+q(p、q是常數)， 稱其為第3通項公式.課堂練習(1)求等差數列3, 7, 11,的第4項與第10項.分析：根據所給數列的前3項求得首項和公差，寫出該數列的通項公 式，從而求出所求項.解：根據題意可知a1=3 , d=7-3=4.該數列的通項公式為an=3+(n-1) 4 , 即 an=4n-1(nl ,n 6 N*). . . a4=4X4-1 = 15 , a10=4X10-1=39.評述：關鍵是求出通項公式.(2)求等差數列10, 8, 6,的第20項.解：根據題意可知a1=

13、10, d=8-10=-2.所以該數列的通項公式為an=10+(n-1) (-2),即an=-2n+12,所以a20=-2 浸0+12=-28.評述：要求學生注意解題步驟的規范性與準確性.(3)100是不是等差數列2, 9, 16,的項？如果是，是第幾項？如 果不是，請說明理由.分析：要想判斷一個數是否為某一個數列的其中一項，其關鍵是要看是否存在一個正整數n值，使得an等于這個數.解：根據題意可得a1=2 , d=9-2=7.因而此數列通項公式為 an=2+(n-1) 7=7n-5.令7n-5=100,解得n=15.所以100是這個數列的第15項.(4)-20是不是等差數列0,31,-7,的項？如果是，是第幾項？如果不是，請說明理由.解：由題意可知a1=0, d 3,因而此數列的通項公式為an-n -.222令7n 720,解得n生.因為7n 720沒有正整數解，所以-2022722不是這個數列的項.課堂小結師(1)本節課你們學了什么？ ( 2)要注意什么？ ( 3)在生活中能否運用？(讓學生反思、歸納、總結，這樣來培養學生的概括能力、表達能力)生 通過本課時的學習，首先要理解和掌握等差數列的定義及數學表 達式a n-a e=d(nA2)其次要會推導等差數列的