1、2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）本試卷共5頁(yè)，150分。考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú) 效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）選出符合題目要求的、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,(1)已知集合 A=x| - 1<x<2, B=x|x>1,貝U AU B=(A)(1, 1)(B) (1,2)(C)(D)(1, +°°)(2)已知復(fù)數(shù)z=2+i ,則z Z(A)(C)(D)(3)卜列函數(shù)中，在區(qū)間（0, + ）上單調(diào)遞增的是(A)12y x2

2、(B) y=2 x(C)10gp2(D)(4)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 s值為(C) 3(A)(B) 2(D)(5)已知雙曲線1 （a>0）的離心率是(A)、6(B) 4(C) 2(D)(6)設(shè)函數(shù) f (x) =cosx+bsin x (b 為常數(shù))，貝 U " b=0"是"f (x)為偶函數(shù)”(A)充分而不必要條件（B）必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件(7)在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2 -m15,Ei-lg,其中星等為2E2mk的星的亮度為Ek (k=1,2),已知太陽(yáng)的星

3、等是-26.7 ,天狼星的星等是-1.45,則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為10.1(A) 10(B) 10.1(C) lg10.1(D) 1010.1(8)如圖，A B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn),APB是銳角，大小為3.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為(A) 4 (3 +4cos (3(D) 2 3 +2sin B第二部分 (非選擇題共110分)二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。(9)已知向量 a=(-4, 3) , b=(6, ni ,且 a b,則 n=.x 2,(10)若x, y滿足 y 1,則y x的最小值為 ,最大值為 .4x 3y 1 0,(11)設(shè)拋物線y2=4

4、x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l .則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為 (12)某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,那么該幾何體的體積為 (13)已知l, m是平面 外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷: l，n m/； l，.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：.(14)李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到 120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后

5、，李明會(huì)得到支付款的80%當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(15)(本小題13分)1在ABC43, a=3, b -c 2 , cos B=2 .(I)求b, c的值；(n)求 sin (B+C)的值.(16)(本小題13分)設(shè)an是等差數(shù)列，a1= - 10,且a2+10, a3+8, &+6成等比數(shù)列.(I)求an的通項(xiàng)公式；(n)記an的前n項(xiàng)和為求S的最小值.(17)(本小題12分)改革開放以來(lái)，人們的

6、支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月 A, B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中 A, B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用 A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額支付方式不大于2 000兀大于2 000兀僅使用A27人3人僅使用B24人1人(I)估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A, B兩種支付方式都使用的人數(shù)；(II)從樣本僅使用 B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2 000元的概率；(出)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查 1

7、人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2 000元.結(jié)合(n )的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化？說明理由.(18)(本小題14分)如圖，在四棱錐 P ABCD中，PA 平面ABCD底部ABCD;菱形，E為CD的中點(diǎn).(I )求證：BD，平面PAC(n)若/ AB(=60 ,求證：平面 PABL平面PAE(出)棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得CF/平面PAE?說明理由.(19)(本小題14分) 22已知橢圓C : x2y2 1的右焦點(diǎn)為(1,0)，且經(jīng)過點(diǎn)A(0,1).a b(I)求橢圓C的方程；(n)設(shè)O為原點(diǎn)，直線l : y kx t(t 1)與橢圓C交于兩個(gè)不

8、同點(diǎn) P, Q直線AP與x軸交于點(diǎn)M直線AQ x軸交于點(diǎn)N,若| OM | ON=2 ,求證：直線l經(jīng)過定點(diǎn).(20)(本小題14分)132已知函數(shù)f(x) xx x .4(I)求曲線y f(x)的斜率為1的切線方程；(n)當(dāng) x 2,4時(shí)，求證：x 6 f (x) x；(出)設(shè)F(x) |f(x) (x a)|(a R),記F(x)在區(qū)間2,4上的最大值為M(a),當(dāng)M(a)最小時(shí)，求a的值.2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(文)(北京卷)參考答案-、選擇題(共8小題，每小題5分，共40分)(4) B(8) B(1) C D(3) A(5) D(6) C A二、填空題(共6小題，每

9、小題5分，共30分)(11) (x 1)2 y2 4(12) 40（13）若l m,l ，則mP .（答案不唯一）(14) 130 15三、解答題(共6小題，共80分)(15)(共 13 分)解：(I)由余弦定理 b2 a2 c2 2accosB,得2_22-1b232c22 3c ( ).2因?yàn)閎 c 2,所以(c 2)232 c2 2 3 c ( 1) .2解得c 5 .所以b 7 .(n)由 cosB13一得sinB .22a由正弦te理得sin A -sin B b3、314在 AABC 中，B C A.所以 sin(B C) sin A3,314(16)(共 13 分) 解：（i）設(shè)

10、an的公差為d .因?yàn)閍110 ,所以 a210 d,a310 2d,a410 3d .因?yàn)閍2 10, a3 8,a4 6成等比數(shù)列， 2所以 a3 8a210a4 6 .所以(2 2d)2 d( 4 3d).解得d 2.所以 an a1 (n 1) d 2n 12.(n)由(i)知，an 2n 12 .所以，當(dāng)n 7時(shí)，an 0；當(dāng)n 6時(shí)，an 0.所以，Sn的最小值為S630(17)(共 12 分)解：(I)由題知，樣本中僅使用 A的學(xué)生有27+3=30人，僅使用B的學(xué)生有24+1=25人，A, B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有 5人.故樣本中A,曬種支付方式都使用的學(xué)生有 100 -

11、30- 25- 5=40人.估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月 A, B兩種支付方式都使用的人數(shù)為 -40- 1000 400 .100(n)記事件C為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于 2 000元”，一 1則 P(C)0.04 . 25(出)記事件E為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，該學(xué)生本月的支付金額大于 2 000元”. 假設(shè)樣本僅使用B的學(xué)生中，本月支付金額大于2 000元的人數(shù)沒有變化，則由(II )知，P(E)=0.04. 答案示例1:可以認(rèn)為有變化.理由如下：P(E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生，一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月支付金額大于 2 000

12、元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認(rèn)為有變化.答案示例2:無(wú)法確定有沒有變化.理由如下：事件E是隨機(jī)事件，P(E)比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的.所以無(wú)法確定有沒有 變化.(18)(共 14分)解：(I)因?yàn)镻A 平面ABCD所以PA BD .又因?yàn)榈酌鍭BCD;菱形，所以BD AC .所以BD 平面PACBC(n )因?yàn)镻AL平面ABCD AE 平面ABCD所以PAL AE因?yàn)榈酌鍭BCD；菱形，/ ABG60。，且ECD勺中點(diǎn),所以AE! CD所以ABL AE所以AE1平面PAB所以平面PABL平面PAE（出）棱PBh存在點(diǎn)F,使得CF/平面PAE取F為PB勺中點(diǎn)，取刖PA勺中點(diǎn)，連

13、結(jié)CF FG EG1貝UFG/ AB 且 FG=°AB.2因?yàn)榈酌鍭BCD;菱形，且E為CD勺中點(diǎn),一,一 一一 1所以CE/ AR且CE=AB.2所以 FG/ CE 且 FG=CE所以四邊形CEGF平行四邊形.所以CF/ EG因?yàn)镃F 平面PAE EG 平面PAE所以CF/平面PAE（19）（共 14 分）解：（I）由題意得，b2=1, c=1.所以 a2=b2+c2=2.2所以橢圓C勺方程為人y2 1.2（n）設(shè) P （必，yO, Q（X2, y2）, 必1則直線AP勺方程為y - x 1.X1令y=0,得點(diǎn)M勺橫坐標(biāo)Xm y1 1一 . X1.又m % t,從而 |OM| xM

14、 17Tli同理,|ON| |X2kx2 t 1|.y由X22kxt,得(1 12k2)x224ktx 2t2 2 0 .則X1X24kt1 2k2,X1X22t2 21 2k2所以|OM |ON | |X1|X2k t 1 kx2 t 12,"""-2k x1x2k(t1) x1x2(t1)XlX2|-k22t2 2-k2|21 k(t 1) ( k) (t 1)21 2k21 2k22|又|OM | |ON | 2,- 1 t所以2| 2.1 t解得t=0,所以直線l經(jīng)過定點(diǎn)(0, 0).(20)(共 14 分)1。 O解：(I)由 f(x) -x3 x2 4x 得 f (x) x24令 f (x) 1,即 3x2 2x 1 1,得 x 0或 x 8.43又 f(0) 0, f(8)2， 327所以曲線yf(x)的斜率為1的切線方程是y x與y82764 x .27(n)令 g(x) f (x) x, x 2,4.,1 32 一3 2由 g(x) x x 得 g'(x)