1、1.公式法:特別聲明：數列的前n項和的求法等差數列求和公式；等比數列求和公式，運用等比數列求和公式,務必檢查其公比與1的關系，必要時需分類討論例1、已知log3 x2n(n 1), 12,求 x226n(n1)(2n 1), 13 23 33 L.;常用公式：n3 竽2解：由log 3 xlog 2 31的前n項和.log 2 310g 3 x1og3 2由等比數列求和公式得Snx12n x（利用常用公式）n 一 (1x(1 x ) _ 222.分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項” 式法求和.先合并在一起，再運用公例2、 求數列的前n項和：11解：設 Sn （1

2、1） （ 4）（ a將其每一項拆開再重新組合得1工 a1-2a4a7)3n 2 , 1Sn(1 -a當a= 1時,Sn，) n 1)a(3n 1)n(1(3n當a 1時，SnaJn 1a3n2)3n2)（分組）1)n2（分組求和）1(3n 1)n a a2 a 1(3n1)n23.倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用倒序相加法，發揮其共性的作用求和（這也是等差數列前n和公式的推導方法）例 3、求 sin21 sin2 2解：設 S sin21 sin2 2將式右邊反序得一 . 2 -一. 2 _Ssin 89sin 88.2-sin 3s

3、in 2 3.2 一 . 2 _ 一 .,sin 88sin 89 的值2 2sin 88 sin 89又因為 sin x+得2S (sin21S= 44.5cos(90cos21 )2-sin 3x),sin2 xsin2 2 cos2 x. 2sin 11（反序）(sin2 2cos2 2(反序相加)22(sin 89 cos 89 ) = 894.錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，那么常選用 錯位相減法（這也是等比數列前n和公式的推導方法）.例 4、求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1解：由題可知，(2n 1)xn 1 設

4、xSn 1x 3x2 5x3 7xn 1 一、一一、的通項是等差數列2n 1的通項與等比數列x的通項之積(2n 1)xn（設制錯位）14得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x32x42xn 1再利用等比數列的求和公式得：（1 x）Sn2x(2n 1)xn(2n 1)xn（錯位相減）Sn(2n 1)xn 1 (2n 1)xn(1 x)2(1 x)例5、求數列2：，2n, 2 22 232n前n項的和.解：由題可知, 的通項是等差數列2n的通項與等比數列2的通項之積設Sn2Sn2222"得(15,裂項相消法：2324Sn4里.2n2n2r2（設制錯位）221 2n22n 1如果數列的通

5、項可22TT -4222n2n 12n2n（錯位相減）“分裂成兩項差”的形式,且相鄰項分裂后相關聯,那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有:1 n(nD k21)1k21n1(2），1(1 k %1k 1-r)；n k1(k 1)kn(n 1)(n 2) 2( . n1,n)2n(n 1)1_1;(n 1)(n 2)n . n 1 n . n n 1(n 1)!2(Cn(k 1 n!1 _1)k k1:(n 1)!-n 1)，解：設an.n 1, n（裂項）則 S一111n 1.223.n ，n 1=(.2.1) (,3. 2)(,n 1 n)=n 1 1（裂項求和）12n例 7、在數列an

6、中，an-n-,又 bnn 1 n 1 n 1an an 1,求數列bn的前n項的和.解:12an Z Tn 1n 121bn 78(-nn1n2 2數列bn的前n項和（裂項）Sn8(1=8(111112) (2 3) (34)(n（裂項求和）1 、 8n)=n 1 n 16.通項轉換法：先對通項進行變形，發現其內在特征，再運用分組求和法求和。例 8、求 1 11 111111 1 之和.n個1（找通項及特征）解：由于 1111 1 9999 1(10k 1)k 個 19H19 1 11 111111 1n個11 1c 1a1c（分組求和）(101) -(101) -(101)-(101)99

7、99=1(101 102 10310n) 1(1 1 11)99n 個 1_ 1 10(10n 1) n910 191=(10n 1 10 9n)817、合并法求和針對一些特殊的數列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.例 9、 求 cos1 ° + cos2° + cos3° + + cos178 ° + cos179° 的值.2014年全國高考數學試題分類匯編（ 數列）1.12014 全國卷n （文5）等差數列 an的公差為2,若a2, a4，%成等比數列，則 an的前n項和

8、Sn =(A) n n 1(B) nn 1(C)n n 1(D) =【答案】A2.12014 全國大綱卷（理10）】等比數列an中,a42,a55 ,則數列lg an的前8項和等于A. 6B. 5C. 4D.3.12014 全國大綱卷（文【答案】C.8）1設等比數列an的前n項和為Sn,若S2=3, S4=15,則S6=（A. 31B. 32C. 63D. 644.12014 北京卷（理5）】設4是公比為q的等比數列，則"q 1"是"an"為遞增數列的（）A.充分且不必要條件B,必要且不充分條件C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】D5.120

9、14 天津卷（文5）】設an是首項為ai,公差為-1的等差數列，Sn為其前n項和.若S$2,S4成等比數列，則a1=（）/ 、/ 、1/ 、1（A） 2（B） -2（C） （D）22【答案】D.6.12014 福建卷（理3）】等差數列an的前n項和Sn,若a1 2£ 12,則a6 （）A.8B.10C.12D.14【答案】C7.【2014 遼寧卷（文9）】設等差數列an的公差為d,若數列2 a1an為遞減數列，則（）A.d0 B. d 0 C. a1d 0【答案】D8.12014 陜西卷（理文4）】根據右邊框圖，對大于 2的整數N , 得出數列的通項公式是（）A.an 2nB.an

10、2(n 1)C.an 2nD.an2n【答案】C9.12014 重慶卷（理2）】對任意等比數列an,下列說法一定正確的是 （）A.a1,a3,a9成等比數列C.a2, a4,a8成等比數列【答案】DB.a2,a3, a6成等比數列D.a3,a6,a9成等比數列10.12014 重慶卷（文2）】在等差數列an中，a1 2,a3A.5B.8C.10D.14【答案】Ba5 10 ,則 a7111.12014全國卷 （文】數列an滿足打尸百, a2=2,則a1=12.12014 安徽卷（理12）】數列an 則q .【答案】q 1。13.12014 北京卷（理12）】若等差數列 的前n項和最大.【答案】

11、8是等差數列，若a11, a33, a5 5構成公比為q的等比數歹U,an 滿足 a7a8a90 , a7a100 ,則當 n時an14.12014 天津卷（理11）】設an是首項為公差為-1的等差數列，Sn為其前n項和.若Si,S2,S4成等比數列，則a1的值為215.12014 江西卷(文13)】在等差數列 an中，ai 7,公差為d ,前n項和為Sn,當且僅當n 8時 Sn取最大值，則d的取值范圍 .【答案】i d 78516.12014 廣東卷(理13)】右等比數列 an的各項均為正數，且 a10ali a9a122e ,則In a1 In a2 LIn a20 。【答案】5017.1

12、2014 廣東卷(文13)】等比數列 an的各項均為正數且 a 4,則* log 2 a2 log2 a3 log2 a4 log2% =.【答案】518.12014 全國卷I (理17)】已知數列 an的前n項和為Sn, a=1, an 0, anan 1Sn 1,其中為常數.(I )證明：an 2 an ；(n)是否存在 ，使得an為等差數列？并說明理由.【解析】：(I)由題設anan 1Sn 1, an 1an 2Sn 1 1,兩式相減an 1an2anan 1,由于an0,所以an2an6 分(n)由題設 a 二1, a1a2S 1,可得 a21 1 ,由(1)知 a31假設an為等差

13、數列，則a,a2,a3成等差數列，a a3 2a2,解得 4；證明 4時，an為等差數列：由an 2 an 4知數列奇數項構成的數列a2m 1是首項為1,公差為4的等差數列a2m 1 4m 3n 1令 n 2m 1,則 m , /. an 2n 1 (n 2m 1)2數列偶數項構成的數列a2m是首項為3,公差為4的等差數列a2m 4m 1令 n 2m,則 m n ,an 2n 1 (n 2m) 2 * an 2n 1 (n N ), an 1 an 2因此，存在存在4,使得an為等差數列.12分19.12014全國卷I (文 17)】已知an是遞增的等差數列，a2, a4是方程x2 5x 6

14、0的根。(I)求an的通項公式;(II)求數列an的前n項和.2n【解析】：（I）方程x2 5x 61則a4 a2 2d ,故d= ，從而 20的兩根為2,3,3a1二2，由題意得a2 2 , a43 ,設數列 an的公差為d,所以an的通項公式為：an（n）設求數列an則：Sn2n4的前n項和為Sn,由（i）知包2nn 22n 1，2Sn所以Sn23 32n24124452512n 12n 1n 22n 22n34兩式相減得1 n 22門 12n 22n 112分20.【2014 全國卷n（理17）】已知數列an滿足 a1 =1, an 1 3an(i)證明an（n）證明：1 ai是等比數列

15、，并求 an的通項公式;a?+工 an【解析】(1)a1 二 1,an+11an+1+ T2=3an + 1.n C1N*.=3an + 1+- = 3(an1+ 2).1 一、，一.13 an+ 1是首項為a1 + ；2=|，公比為3的等比數列。1(2)由(1)知 an一2故an1時,an23n-13n-1 1下a1 3 '23n-1所以aa2a3工1 an11313213n故1 a1a2a3an21.12014 全國大綱卷（理18）】等差數列an的前n項和為Sn,已知a110, a2為整數，且Sn S4.（I）求an的通項公式;(II)設 bn1,求數列bn的刖n項和Tn .an

16、an 1【解析】（I）由a1 10, a2為整數知，等差數列an的公差d為整數.又&S4,故 a4 0 , a5 0 ,于是 10 3d 0,10 4d# d - 5 ,因此d = - 3,故數列an的通項公式為a=13- 3n .(II )1bn 13 3n 103n1103n1133nTnb1b2L bn110110 3n113 3n113 10 3n110n10 10 3n22.12014 全國大綱卷(文 17)】數列an滿足a1=1,32=2 ,an+2=2an+1 an+2.(1)設bn=an+1 -an,證明bn是等差數列;(2)求數列an的通項公式.即 bn+1=bn+2

17、,又 b1=a2-a1=1.【解析】(1)由an+2=2an+1-an+2得 an+2 - an+1 =an+1 -an+2 , 所以bn是首項為1,公差為2的等差數列；(1) 由(1)得 bn=1+2 (n-1),即 an+1-an=2n-1.于n(ak 1k 1nak)(2 k 1)k 1于是 an-a1=n2-2n,即 an=n2-2n +1+a1.又 a1二1,所以an的通項公式為 an=n2-2n +2.23.12014 山東卷(理19)】已知等差數列3口的公差為2,前n項和為Sn,S2,S4成等比數列。(I)求數列an的通項公式；(II)令bn=( 1)n 1,求數列bn的前n項和

18、Tn。a nan 1【解析】(I) d 2,§ a1，S2 2a1 d,S4 4a16d,S,S2,S4成等比S2解得 a1 1, an 2n 1S1S4(II)bn( 1)n 1 4na nan 1當n為偶數時,Tn 12n1Tn (1 -)32n1I(3 5)(57)(小2n 3Ai)(小上)當n為奇數時,Tn12n 11Tn (1 -)32n 211(3 5)(52n 3(七六)Tn2n 1 2n 1M,n為偶數 2n 12n 22n二,n為奇數2n 124.12014 安徽卷(文18)】數列an滿足a11,nan(n 1注 n(n1),n N( I )證明：數列旦是等差數列;

19、n( n )設bn 3n而，求數列bn的前n項和Sn.【解析】(I)證：由已知可得an 1an 1,即 an 1n 1nn 1an1n所以an是以a1 1為首項，1為公差的等差數列。 n 1(n)解：由(I)得 an 1 (n 1) 1 n,所以 an n2,從而 bn n 3nn123n/<4''3Sn 1 32 2 33 3 34 L(n-1) 3n n 3n+1Sn132333Ln3一得:2Sn31323n所以數列 bn的前n項和為3 n(n 1) 2n 1.26.12014福建卷(文17)】在等比數列an中，3,a5 81.(I)求 an；L 3nn 3n+13(

20、13n)n+1n 31 3(1 2n) 3n+1 32n+1所以Sn (2n 1)33425.12014 北京卷(文15)】已知an是等差數列，滿足a13, a4 12,數列 bn 滿足 bi 4, b420 ,且bn an是等比數列.(1)求數列 an和bn的通項公式；(2)求數列 bn的前n項和.【解析】(I)設等差數列 an的公差為d ,由題意得：d a(n)設4 log3an,求數列bn的前n項和Sn.【解析】(1)設an的公比為q,依題意得12- 3, 33所以 an a1 (n 1)d 3n(n 1,2,L ),設等比數列bn an的公比為q,由題意得：q3 b4202 8,解得q 2.n nb1al4 3n1-n1._n1.一 .、所以 bnan(b1a1)q 2，從而 bn3n2 (n1,2,L).(II)由(1)知，bn 3n 2n 1(n 1,2,L ),31 2n數列 3n的刖n項和為一n(n 1),數列 2 的刖n項和為1 21 2a1q 3/n 2 14,解得，a1q 81q 3因此，an 3n1.(2)因為 bn log 3 an n 1 ,所以數列bn