1、第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率1.1 隨機事件及其運算隨機事件及其運算1.1.1 隨機現象隨機現象兩類現象兩類現象：確定現象確定現象:在一定條件下必然出現的現象在一定條件下必然出現的現象拋一石塊,觀察結果;導體通電,考察溫度;異性電菏放置一起,觀察其關系隨機現象隨機現象:我們事先無法準確預知其結果的現象我們事先無法準確預知其結果的現象某人射擊一次,考察命中情況;某人射擊一次,考察命中環數;擲一枚硬幣,觀察向上的面;從一批產品中抽取一件,考察其質量; 5.將來某日某種股票的價格是多少？將來某日某種股票的價格是多少？隨機現象隨機現象 在條件相同的一系列重復觀察中，會時而出現時而不出現，

2、呈現出不確定性，并且在每次觀察之前不能準確預料其是否出現，這類現象稱之為隨機現象。隨機現象的統計規律性隨機現象的統計規律性在相同條件下多次重復某一試驗或觀察時，其各種結果會表現出一定的量的規律性，這種規律性稱之為統計規律性。概率論與數理統計的研究對象概率論與數理統計的研究對象 概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律性的一門科學。隨機現象的普遍存在性決定了它的廣泛應用性。概率論與數理統計稱為隨機數學概率論與數理統計稱為隨機數學 為了對隨機現象的統計規律性進行研究，就需對為了對隨機現象的統計規律性進行研究，就需對隨機現象進行重復觀察。我們把對隨機現象的觀察隨機現象進行重復觀察。我們把對隨機現象的觀

3、察稱為稱為隨機試驗隨機試驗，并簡稱為，并簡稱為試驗試驗，記為，記為E. 例如，觀察某射手對固定目標進行射擊；拋一枚硬幣三次，觀察出現正面的次數；記錄某市120急救電話一晝夜接到的呼叫次數等均為隨機試驗. 隨機試驗隨機試驗具有下列特點：具有下列特點：1、可觀察性、可觀察性：試驗結果可觀察，試驗結果可觀察，：試驗結果可觀察，試驗結果可觀察， 結果結果 是明確的；是明確的；2、不確定性、不確定性：每次試驗出現的結果事先不能準確預：每次試驗出現的結果事先不能準確預知知.樣本點：樣本點：隨機試驗的每一種可能的不能再分解的隨機試驗的每一種可能的不能再分解的結果常記為結果常記為. 樣本空間：一個隨機實驗樣本

4、點的全體樣本空間：一個隨機實驗樣本點的全體的全體，記為的全體，記為1.1.2 樣本空間樣本空間 例例1.隨機試驗E：10件產品8件正品2件次品，無放回的的任一抽取兩件，一次取一件，觀察正品、次品出現的情況，寫出其樣本空間及其樣本點；若一次取兩件結果又如何？1（ ）若若一一次次解解：取取一一件件無無放放回回1234 樣樣本本點點為為：（正正，正正），（正正，次次），（次次，正正），（次次，次次），1234樣本空間為：， 2（ ）若若一一次次取取兩兩件件123 樣樣本本點點為為：（正正，正正），（正正，次次），（次次，次次），123樣本空間為：， 例例2.一次擲兩顆骰子，（一次擲兩顆骰子，（1）觀

5、察兩顆骰子）觀察兩顆骰子出現的點子搭配情況，寫出樣本點及樣本空間；（出現的點子搭配情況，寫出樣本點及樣本空間；（2）若觀察兩顆點子數之和，寫出樣本點及樣本空間。若觀察兩顆點子數之和，寫出樣本點及樣本空間。1267812313236123611 11 21 62 12 22 66 16 26 6（ ）樣本點：（ ， ），（ ，）， ，（ ，），（ ， ），（ ，）， ，（ ，）， （ ， ），（ ，）， ，（ ，），樣本空解間為：，：， 1211121122312 （ ）樣本點為：， ，樣本空間為：， ， ， 課堂練習：課堂練習：寫出下列各隨機事件的樣本空間：寫出下列各隨機事件的樣本空間：（1）

6、記錄一個小班數學考試的平均分數；）記錄一個小班數學考試的平均分數； （2）10只產品有只產品有3只次品，每次從中取只次品，每次從中取1只（不只（不放放 回抽樣）直到把回抽樣）直到把3只次品都取出，記錄抽取的次數；只次品都取出，記錄抽取的次數； （3）10只產品有只產品有3只次品，每次從中取只次品，每次從中取1只（有只（有放回抽樣）直到把放回抽樣）直到把3只次品都取出，記錄抽取的次數；只次品都取出，記錄抽取的次數； （4）生產產品直到）生產產品直到10件正品，記錄生產產品的件正品，記錄生產產品的次數；次數； （5）一個小組有）一個小組有A、B、C、D、E5人，要選正、人，要選正、副組長各一人（一

7、個人不能兼二職），觀察選舉結果；副組長各一人（一個人不能兼二職），觀察選舉結果；（6）甲乙二人下棋一局，觀察棋局結果；）甲乙二人下棋一局，觀察棋局結果；0 11001,(2)3,4,10,(3)3,4,(4)10,11,(5),(6)答案：（ ）甲勝乙負，甲負乙勝， 平局nn nnAB AC AD AE BABC BD BE CA CB CD CE DA DB DC DEEA EB EC ED 隨機事件（偶然事件）隨機事件（偶然事件）：隨機事件總有多種可能的結果，我們將隨機試驗E的每一個可能出現的結果，稱為隨機事件，簡稱事件。常用A、B、C表示。 基本事件：基本事件：不能分解為其它事件的組合。

8、復合事件：復合事件：由基本事件組合而成的事件。必然事件：必然事件：每次試驗必然出現的事件不可能事件：不可能事件：每次試驗必然不出現的事件。記為 記記為為1.1.3 隨機事件隨機事件 引例引例在檢驗一批圓柱形產品時，需要產品的長度和直徑都合格才算合格，于是考察以下事件：“產品合格”，“產品不合格”，“長度合格”，“長度不合格”，“直徑合格”，“直徑不合格”，“長度合格而直徑不合格”，“長度不合格而直徑合格”1.1.5 事件間的關系事件間的關系一一、包包含含關關系系：ABABABBA 如如果果事事件件 發發生生必必然然導導致致 發發生生即即屬屬于于 的的每每一一個個樣樣本本點點一一定定屬屬于于 ，

9、則則稱稱事事件件 包包含含與與事事件件 ，或或稱稱事事件件 包包含含事事件件 ， ABBA記記為為或或 有有“長長度度不不合合格格” “產產品品顯顯然然不不合合格格”ABABABABAB 如如果果且且，則則稱稱試試驗驗 與與試試驗驗 相相等等，記記作作二二、事事件件的的相相等等ABAB 三三、事事件件與與 不不能能同同時時發發生生互互不不相相容容事事件件（或或稱稱互互斥斥事事），即即件件、 ABP5例例1.1.6P5例例1.1.7事事件件的的并并一一、（或或和和）ABABAB 事事件件 與與 至至少少有有一一個個發發生生，記記作作或或 “長長度度不不合合格格”“直直徑徑不不合合格格” “產產品

10、品顯顯然然有有不不合合格格”AB1.1.6 事件的運算事件的運算事事件件的的積積二二、（或或交交）ABABAB 事事件件 和和 都都發發生生，記記作作或或AB “直直徑徑合合格格”“長長顯顯然然度度合合格格”“：產產品品合合格格”AB,A-B 三三、事事件件 發發生生而而事事件件 不不發發生生 記記作作事事件件的的差差ABAAAA四四、事事件件 不不發發生生，立立事事件件記記為為 對對有有限限個個或或可可列列（數數）個個事事件件的的并并與與交交（五五、或或和和與與積積） 112121122.nnnnninn 設設有有 個個事事件件，則則稱稱“，至至少少有有一一個個發發生生”這這一一事事件件為為

11、事事件件，作作，的的并并，記記或或1212112.nnninn 記記作作 則則稱稱“，都都發發生生”這這一一事事件件為為事事件件的的交交或或， n 若若可可列列個個就就把把 改改為為 。事件的運算規律事件的運算規律由集合的運算律，由集合的運算律，易給出事件間的運算律易給出事件間的運算律. 設設CBA,為同一隨機試驗為同一隨機試驗E中的事件，中的事件，則有則有(1) 交換律交換律(),ABBAABBA 或();ABBAABBA或(2) 結合律結合律()(),()(),ABCABCABCABC 或()()();ABCABCAB CA BC 或（(3)分配律分配律()()()()()(),ABCAC

12、BCAB CACBC 或()()()()()();ABCACBCABCACBC (4) 自反自反律律;AA (5)對偶律對偶律().ABABABAB 或注注上述各運算律可推廣到有限個或可數個事件的情形上述各運算律可推廣到有限個或可數個事件的情形.(AB)ABA+BAB, 或 事件之間的關系與運算完全和集合之間的關事件之間的關系與運算完全和集合之間的關系與運算一致，只是術語不同而已。系與運算一致，只是術語不同而已。記號記號 概率論概率論 集合論集合論 樣本空間樣本空間, 必然事件必然事件 空間空間 不可能事件不可能事件 空集空集 樣本點樣本點 元素元素 A B A發生必然導致發生必然導致B發生發

13、生 A是是B的子集的子集 AB= A與與B互不相容互不相容 A與與B無相同元素無相同元素 A B A與與B至少有一發生至少有一發生 A與與B的并集的并集 AB A與與B同時發生同時發生 A與與B的交集的交集 A B A發生且發生且B不發生不發生 A與與B的差集的差集 A不發生、對立事件不發生、對立事件 A的余集的余集A.AB5C5CABA-BABACC-A AB.3 擲一枚骰子的試驗，觀察出現的點數， 事件 表示取到的是奇數點，事件 表示點數小于 ， 表示小于的偶數點，用集合的方法表示下列事件 ， ， ， ，例S 1 2 3 4 5 6，解，： A1 3 5 ，B1 2 3 4 ，C2 4 ，

14、AB1 2 3 4 5，A-B5 AB1 3 ， ，AC ，C-A2 4 ，B1 2 3 4 6，例例4甲甲, , 乙乙, , 丙三人各射一次靶丙三人各射一次靶, , 記記A “甲種甲種靶靶”, ,B “乙中靶乙中靶”, ,“丙中靶丙中靶”, ,C 則可用上述則可用上述三個事件的運算三個事件的運算(1)(3)(4)(2)“甲未中靶甲未中靶”: :;A;AB“甲中靶而乙未中靶甲中靶而乙未中靶”: :“三人中只有丙未中靶三人中只有丙未中靶”: :;ABC;ABCABCABC “三人中恰好有一人中靶三人中恰好有一人中靶”: :(6)(7)(5)“三人中至少有一人中靶三人中至少有一人中靶”: :“三人

15、中至少有一人未中靶三人中至少有一人未中靶”: :“三人中恰有兩人中靶三人中恰有兩人中靶”: :ABC 或或;ABCABC 或或;ABC;ABCABCABC 來分別表示下列各事件來分別表示下列各事件: :(10)(9)(8) “三人中至少有兩人中靶三人中至少有兩人中靶”: :;ABACBC“三人中均未中靶三人中均未中靶”: :;ABCABC 或或;ABCABCABC“三人中至多一人中靶三人中至多一人中靶”: :(11)“三人中至多兩人中靶三人中至多兩人中靶”: :.ABCABC 或或注注: : 用其它事件的運算來表示一個事件用其它事件的運算來表示一個事件, , 方法往往方法往往不唯一不唯一, ,

16、 如本例中的如本例中的 (6)和和 (11)實際上是同一事件實際上是同一事件, ,讀者應學會讀者應學會特別在解決特別在解決具體問題時具體問題時, , 往往要更具需要往往要更具需要方法方法. .用不同方法表達同一事件用不同方法表達同一事件, ,選擇一種恰當的表示選擇一種恰當的表示例例5.設設A、B、C為三個隨機事件，試用事件的運為三個隨機事件，試用事件的運算表示下列事件：算表示下列事件：1）A、B、C中至少有一個發生；中至少有一個發生；2）A、B、C都發生都發生;3）只有事件）只有事件A發生；發生；4）A、B都發生，都發生，C不發生；不發生；5）A、B、C中恰有一個發生；中恰有一個發生；6）A、

17、B、C都不發生；都不發生；7）A、B、C不都發生；不都發生；8）A、B、C中恰有兩個事件發生；中恰有兩個事件發生；9）A、B、C中至少有兩個事件發生；中至少有兩個事件發生；10）不多于一個事件發生；）不多于一個事件發生；11）不多于兩個事件發生；）不多于兩個事件發生；1BC 解解）：，2ABC），3)ABCABC,4)C,5)ABCABCABC, 6)ABCABC,7)ABCABC ，8)ABCABCABC 9),ABCABCABCABCABBCCA 10),ABCABCABCABCABBCC A 11)7ABCABCABCABCABCABCABCABC （與與第第 小小題題一一樣樣）ABA(

18、B-A)AABABBABABAAB6ABAB 證證明明：例例 ：AABB解：解：1.設事件設事件A=A=甲種產品暢銷，乙種產品滯銷甲種產品暢銷，乙種產品滯銷 ， 則則A A的對立事件為（的對立事件為（ ） 甲種產品滯銷，乙種產品暢銷；甲種產品滯銷，乙種產品暢銷； 甲、乙兩種產品均暢銷；甲、乙兩種產品均暢銷； 甲種產品滯銷；甲種產品滯銷； 甲種產品滯銷或者乙種產品暢銷。甲種產品滯銷或者乙種產品暢銷。2.2.設設x x表示一個沿數軸做隨機運動的質點位表示一個沿數軸做隨機運動的質點位 置，試說明下列各對事件間的關系置，試說明下列各對事件間的關系 A=|x-a|A=|x-a|,B=x-a,B=x-a(

19、0(0） A=xA=x2020，B=x20B=x20 A=xA=x2222，B=xB=x1919課堂練習課堂練習A與與B對立對立A與與B互斥互斥BA 3.3.已知事件已知事件A A與與B B是對立事件，求證與也是對立事件是對立事件，求證與也是對立事件AB分析：分析：由A與B是對立事件，有 AB AB ABAB ABAB 4.對對立立事事件件與與互互不不相相容容事事件件的的區區別別？聯聯系系？ABABAB 事事件件 與與 不不能能同同時時發發生生，即即互互不不相相容容事事件件: :、 AAAA事件 不發生，記作 ,顯對立事然件: AA對對立立事事件件一一定定是是互互不不相相容容事事件件，互互不不

20、相相容容事事件件不不一一定定是是對對立立事事件件，,ABAB 、 互互不不相相容容，只只有有,、 對立，不但有還有ABABAB 注意點注意點(1)基本事件互不相容，基本事件之并基本事件互不相容，基本事件之并=AAAAAAAAAAAABABB 注意點注意點(2),()()ABABBABAABAABABABAABABAABAB 設為樣本空間，F 是由的子集組成的集合 類，若F 滿足以下三點,則稱 F 為事件域1. F ;2. 若 AF ，則 F ; A3. 若 F ，n=1, 2, , 則 F .nA1nnA注：事件域又稱注：事件域又稱 域或域或 代數代數教材教材P9例例1.1.101.1.7 事件域事件域121121, ,1,2,;2),設 ， ， 是有限個或可列個事件，如果其滿足：）則稱 ， 樣本空間的樣本空間的一個分一個分割。割nijiiAAAA Aij i jAAA 1A2AnA教材教材P10例例1.1.11內容小結