1、一元二次函數問題的探究（高三復習）以二次函數為載體考察數學知識與能力的題型日趨豐富多彩學生又無所適從的感覺，本文就各地的模擬試題進行探討并歸納其求解方法與技巧供學習參考。一：設解析式法求解：二次函數有三種表示式；一般式：y=ax2+bx+c(a0)根式y=a(x-)(x-)(、是f(x)0的兩根)頂點式：y=a(x-h)2+k(h、k為頂點橫、縱坐標)。題1：設f(x)=x2+ax+b 若方程f(x)=0兩個非整數根,且這兩實根在相鄰兩整數之間,證明存在整數k使得|f(k)|證明: 設f(x)=0的兩根為、且n、n+1(nz)f(x)=x2+ax+b=(x-)(x-) f(n)=(n-)(n-

2、)f(n+1)=(n+1-)(n+1-)|f(n)f(n+1)|=|(-n)(-n)(n+1-)(n+1-)| =f(n)f(n+1) ，則f(n)或f(n+1)必有一個成立。二：替代法求證：即把a、b、c用已知的函數值代替這是一種常用的方法題2：已知f(x)=ax2+bx+c,若x 1,1均有|f(x)|1設g(x)=cx2+bx+a x 1,1求證：|g(x)|2證明 ：依題知： f(0)=c c=f(0)f(1)=a+b+c a=-f0)f(-1)=a-b+c b=g(x)=|f(0)(x2-1)+(x+1)+(1-x)|f(0)|(x2-1)|+ |(x+1)|+ |(1-x)|f(0

3、)|+(|x+1|+|1-x|) (-1x1 x+1+1-x=2 )2三：特值法求證：已知 f(x)=x2+ax+b當x-1,1 f(x)的最大值為M 求證:M證明:|f(x)|M x-1,1 取x=0,1,2 得|f(0)|M |b|M|f(1)|M |a+b+1|M|f(-1)|M |1-a+B|M4M|-2b|+|a+b+1|+|b-a+1|2M 四：判別式法求證：ax2+bx+c0對xR恒成立則 a>0 或 a=b=0 b2-4ac0 c0對有恒成立這類問題求解最實用題4：已知二次函數f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR) a-b+c=0 對任意的x有f(x)-x0并且x0,

4、2時有f(x)()2求f(1)的值求證：ac=1:解 f(x)x f(1)1 又f(x) ()2f(1)1 f(1)=12:證： a-b+c=0 a+b+c=0 b= a+c=f(x)-x=ax2-x+c0(xR)恒成立a>0 =-4ac0 a>0 ac又ac=a(-a)=-(a-)2+ ac=五：端點最值法求解：二次函數y=f(x)取最值點在區間的端點或頂點把握這點是證題的關鍵如題5：設f(x)=x2+ax+b x-1,1時f(x)的最大值為 M 證明Mb+1：當0<a< 證明對任意x-1,1 |f(x)|1 -1b-a1:解：y=f(x)開口向上 y=f(x)在x=-1或1取最大值 若在x=-1點取最大值 則對稱軸x=-a0 M=1-a+b1+b若在x=1點取最大值 則對稱軸x=-a0 M=1+a+b1+b2：證明0<a< 對稱軸x=-a0f(-1)f(1) |f(x)|1 x-1,1f(1)1 1+a+b1