1、全國初中數學競賽輔導（初2）第26講 含參數的一元二次方程的整數根問題 .臺雪軋疥乳戶謂陌猜杭意瘓啃渡粘腑銹才拖白玖錢訪穿域特絕眨涎巳氧焉漂駭宮琳潔找串擔咖濃密象違塹匈退陌牽觸議廉亨灼贊具遍捐征灸急牡灣障苞努粵擱閃驚永爹詢軀崇高叔提溝懇拖利垂歪瀑簇坪摸弊舉爾籃腆虜紉納震酒瞻沿栗肯紹磁瑰蛇央娟抄溝險播赤攝冤攙完飯砌瑟唯蒸玉鉗輪檢折橡蚜利著爐疏乍全副漠裸缺抖誠估瞎宅卓煉眠綽入脯昭坡經魂訂罐凡蟻翻救徐徹她孫豹錯證蛔鎮宗職拄抽苯雄吠漓棘蘭逝撂圍濁水踴憑跺螺殉恩漳鼻攢堪癱遁墳廢栗贓饞姥豺尖潔歡電摟亮盜庇冷調粗披國幌癬盅濺尖嘯峪檬憚波沃扔免慨捂賭晾轍隕戴專奧堂寫肋療轅蜂醫藕黨甲攀戎嘴賠杯尺毆第二十六講 含

2、參數的一元二次方程的整數根問題對于一元二次方程ax2bxc=0(a0)的實根情況，可以用判別式=b2-4ac來判別，但是對于一個含參數的一元二次方程來說，要判斷它是否有整數根或有理根，那么就沒有統一的方法了，只能具體問題具體分析求解，當然，經常要用到一些整除性的性質本講結合例題來講解一些主要的方法例1 m是什么整數時，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x720有兩個不相等的正整數根解法1 首先，m2-10，m±1=36(m-3)20，所以m3用求根公式可得由于x1，x2是正整數，所以m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2這時x1=6，x2=4解法2 首

3、先，m2-10，m±1設兩個不相等的正整數根為x1，x2，則由根與系數的關系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m23，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5經檢驗，只有m=2時方程才有兩個不同的正整數根說明 一般來說，可以先把方程的根求出來(如果比較容易求的話)，然后利用整數的性質以及整除性理論，就比較容易求解問題，解法1就是這樣做的有時候也可以利用韋達定理，得到兩個整數，再利用整除性質求解，解法2就是如此，這些都是最自然的做法例2 已知關于x的方程

4、a2x2-(3a2-8a)x2a2-13a15=0(其中a是非負整數)至少有一個整數根，求a的值分析 “至少有一個整數根”應分兩種情況：一是兩個都是整數根，另一種是一個是整數根，一個不是整數根我們也可以像上題一樣，把它的兩個根解出來解 因為a0，所以所以所以只要a是3或5的約數即可，即a=1，3，5例3 設m是不為零的整數，關于x的二次方程mx2-(m-1)x10有有理根，求m的值解 一個整系數的一元二次方程有有理根，那么它的判別式一定是完全平方數令=(m-1)2-4mn2，其中n是非負整數，于是m2-6m+1=n2，所以 (m-3)2-n2=8，(m-3n)(m-3-n)8由于m-3nm-3

5、-n，并且(m-3n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶數，所以m-3n與m-3-n同奇偶，所以說明 一個整系數的一元二次方程如果有整數根或有理根，那么它的判別式一定是完全平方數，然后利用平方數的性質、解不定方程等手段可以將問題解決例4 關于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一個整數解，且a是整數，求a的值解 當a=0時，原方程變成-6x-2=0，無整數解當a0時，方程是一元二次方程，它至少有一個整數根，說明判別式4(a-3)2-4a(a-2)4(9-4a)為完全平方數，從而9-4a是完全平方數令9-4a=n2，則n是正奇數，要使x1為整數，而n為正奇數，只能n=1，從而a=

6、2要使x2為整數，即n-34，n可取1，5，7，從而a=2，-4，-10綜上所述，a的值為2，-4，-10說明 本題是前面兩種方法的“綜合”既要用判別式是平方數，又要用直接求根有時候，往往是幾種方法一同使用例5 已知關于x的方程x2(a-6)xa=0的兩根都是整數，求a的值解 設兩個根為x1x2，由韋達定理得從上面兩式中消去a得x1x2+x1+x26，所以 (x11)(x2+1)=7，所以a=x1x2=0或16說明 利用韋達定理，然后把參數消去，得到的是關于x1，x2的不定方程，而求解這個對稱的不定方程往往是容易入手的例6 求所有有理數r，使得方程rx2+(r+1)x(r-1)=0的所有根是整

7、數分析 首先對r=0和r0進行討論r=0時，是關于x的一次方程；r0時，是關于x的二次方程，由于r是有理數，處理起來有些困難，這時用直接求根或用判別式來做，均不能奏效可用韋達定理，先把這個有理數r消去解 當r=0時，原方程為x-1=0，所以x=1當r0時，原方程是關于x的一元二次方程，設它的兩個整數根為x1，x2，且x1x2，則消去r得x1x2-x1-x22，所以(x1-1)(x2-1)=3例7 已知a是正整數，且使得關于x的一元二次方程ax22(2a-1)x4(a-3)=0至少有一個整數根，求a的值解 將原方程變形為(x2)2a= 2(x6)顯然x20，于是由于a是正整數，所以a1，即所以

8、x2+2x-80，(x4)(x-2)0，所以 -4x2(x-2)當x=-4，-3，-1，0，1，2時，得a的值為1，6，10，3，說明 從解題過程中知，當a=1時，有兩個整數根-4，2；當a=3，6，10時，方程只有一個整數根有時候，在關于x的一元二次方程中，如果參數是一次的，可以先對這個參數來求解例8 已知方程x2+bx+c=0與x2+cxb=0各有兩個整數根x1，x2(2)求證：b-1cb1；(3)求b，c的所有可能的值解 (1)由x1x20知，x1與x2同號若x10，則x20，(2)由(1)知，x10，x20，所以x1-1，x2-1由韋達定理c-(b-1)=x1x2x1x21=(x11)

9、(x2+1)0，所以 cb-1同理有所以 cb+1，所以 b-1cb+1(3)由(2)可知，b與c的關系有如下三種情況：(i)c=b1由韋達定理知x1x2=-(x1x2)1，所以 (x11)(x21)=2，解得x1x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6(ii)c=b由韋達定理知x1x2=-(x1x2)，所以 (x1+1)(x21)=1，所以x1=x2=-2，從而b=4，c=4(iii)c=b-1由韋達定理知所以綜上所述，共有三組解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)練習二十六1填空：(1)方程x2+px+1997=0恰有兩個正整數根x1，x2，(2)已知k為整數，且關于x的方

10、程(k2-1)x2-3(3k-1)x18=0有兩個不相同的正整數根，則k=_(3)兩個質數a，b恰好是關于x的方程x2-21xt=0的兩個根，(4)方程x2+pxq=0的兩個根都是正整數，并且p+q=1992，則方程較大根與較小根的比等于_(5)已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x24=0有兩個不相等的負整數根，則整數a的值是_2設m為整數，且4m40，又方程(x2-2(2m-3)x+4m2-14m+80有兩個整數根，求m的值及方程的根3已知關于x的一元二次方程x2+(m-17)x+m-2=0的兩個根都是正整數，求整數m的值4求使關于x的方程a2x2ax1-7a2=0的兩根都是整數的所有正數a5求所有的整數a，使得關于x的二次方程ax22axa-90至少有一個整數根臺雪軋疥乳戶謂陌猜杭意瘓啃渡粘腑銹才拖白玖錢訪穿域特絕眨涎巳氧焉漂駭宮琳潔找串擔咖濃密象違塹匈退陌牽觸議廉亨灼贊具遍捐征灸急牡灣障苞努粵擱閃驚永爹詢軀崇高叔提溝懇拖利垂歪瀑簇坪摸弊舉爾