1、結構優化設計大作業報告實驗名稱: 拓撲優化計算與分析1、引言大型的復雜結構諸如飛機、汽車中的復雜部件及橋梁等大型工程的設計問題，依靠傳統的經驗和模擬實驗的優化設計方法已難以勝任，拓撲優化方法成為解決該問題的關鍵手段。近年來拓撲優化的研究的熱點集中在其工程應用上，如: 用拓撲優化方法進行微型柔性機構的設計，車門設計，飛機加強框設計，機翼前緣肋設計，衛星結構設計等。在其具體的操作實現上有兩種方法，一是采用計算機語言編程計算，該方法的優點是能最大限度的控制優化過程，改善優化過程中出現的諸如棋盤格現象等數值不穩定現象，得到較理想的優化結果，其缺點是計算規模過于龐大，計算效率太低;二是借助于商用有限元軟

2、件平臺。本文基于matlab軟件編程研究了不同邊界條件平面薄板結構的在各種受力情況下拓撲優化，給出了幾種典型結構的算例，并探討了在實際優化中優化效果隨各參數的變化，有助于初學者初涉拓撲優化的讀者對拓撲優化有個基礎的認識。2、拓撲優化研究現狀 結構拓撲優化是近20年來從結構優化研究中派生出來的新分支，它在計算結構力學中已經被認為是最富挑戰性的一類研究工作。目前有關結構拓撲優化的工程應用研究還很不成熟，在國外處在發展的初期，尤其在國內尚屬于起步階段。1904 年Michell在桁架理論中首次提出了拓撲優化的概念。自1964 年Dorn等人提出基結構法，將數值方法引入拓撲優化領域，拓撲優化研究開始活

3、躍。20 世紀80 年代初，程耿東和N. Olhoff在彈性板的最優厚度分布研究中首次將最優拓撲問題轉化為尺寸優化問題，他們開創性的工作引起了眾多學者的研究興趣。1988年Bendsoe和Kikuchi發表的基于均勻化理論的結構拓撲優化設計，開創了連續體結構拓撲優化設計研究的新局面。1993年Xie.Y.M和Steven.G.P 提出了漸進結構優化法。1999年Bendsoe和Sigmund證實了變密度法物理意義的存在性。2002 年羅鷹等提出三角網格進化法，該方法在優化過程中實現了退化和進化的統一，提高了優化效率。目前常使用的拓撲優化設計方法可以分為兩大類：退化法和進化法。結構拓撲優化設計研

4、究，已被廣泛應用于建筑、航天航空、機械、海洋工程、生物醫學及船舶制造等領域。3、拓撲優化建模（SIMP） 結構拓撲優化目前的主要研究對象是連續體結構。優化的基本方法是將設計區域劃分為有限單元，依據一定的算法刪除部分區域，形成帶孔的連續體，實現連續體的拓撲優化。連續體結構拓撲優化方法目前比較成熟的是均勻化方法、變密度方法和漸進結構優化方法。變密度法以連續變量的密度函數形式顯式地表達單元相對密度與材料彈性模量之間的對應關系，這種方法基于各向同性材料，不需要引入微結構和附加的均勻化過程，它以每個單元的相對密度作為設計變量，人為假定相對密度和材料彈性模量之間的某種對應關系，程序實現簡單，計算效率高。變

5、密度法中常用的插值模型主要有:固體各向同性懲罰微結構模型(solidisotropic microstructures with penalization，簡稱SIMP)和材料屬性的合理近似模型(rational approximation ofmaterial properties，簡稱RAMP)。而本文所用即為SIMP插值模型。SIMP法基于最小柔度的優化模型如下:設材料模型為:則拓撲優化模型為:式中： 和 分別是均質實體的密度和彈性矩陣單元的相對密度懲罰因子和分別是位移矢量、力矢量總體剛度矩陣單位位移矢量單位剛度矩陣單元總數體積分數優化時以單元的相對密度為拓撲設計變量，這樣結構拓撲優化問

6、題被轉換為材料的最優分布問題。4、優化算法（OC） 目前在拓撲優化中應用較多的求解方法主要有: 優化準則法(OCoptimality criteria)和序列線性規劃法(SL Psequential linear programming)，本文所參考的99行代碼所引用的即為OC法。這一方法是根據數學規劃理論中的Kuhn2tucker條件導出優化準則，并通過數值迭代求解最優解。該法收斂速度快，迭代次數少且與結構大小及復雜程度關系不大，缺點是對于多約束優化的處理不太方便。5、數值算例 這一部分主要通過若干簡單的算例來研究各個輸入參數、載荷施加方式以及邊界約束條件對拓撲優化結果的影響，進而對拓撲優化

7、問題加深理解和認識。受力模型采用長寬比為6:2的外伸梁，在梁的上表面施加豎直向下的均布載荷。模型如下圖所示：圖5-16、影響因素分析 6.1 nelx和nely 對結果的影響先設置體積分數volfrac=0.5，懲罰因子為penal=3.過濾半徑rmin=1.2，不斷變化劃分單元數，尋求劃分單元數對于優化結果的影響。nelx*nely =60×20nelx*nely =84×28nelx*nely =120×40圖6-1由圖6-1可以看出，隨著劃分單元數的增多，圖像的細節越加清晰。圖像所顯示的鋸齒現象有所緩解。雖然拓撲優化結果有一些局部的改變，總體的趨勢還是一致的

8、。采用更多的網格劃分密度，可以得到更加清晰的優化結果，但是拓撲優化結果中過多的孔洞使結果集合復雜性增加，結構的制造成本提高，制造難度加大，并且降低了結構的局部強度和剛度。所以，從實際應用的角度出發，需要限制結構的集合復雜性，來抑制拓撲優化算法的網格依賴性。6.2材料體積保留分數volfrac的影響設置劃分單元為60*20，懲罰因子為penal=3.過濾半徑rmin=1.2;不斷變化體積分數，尋求體積分數對于優化結果的影響。volfrac=0.3volfrac =0.5volfrac =0.7圖6-2由圖6-2的優化結果可以看出，隨著體積保留分數的增大，優化結果中保留的材料也逐漸增多。這說明在基

9、本的傳力路線的基礎上增加了一些額外的材料。另一方面，體積分數越小，可能造成改變結構傳力的路線，導致迭代多次收斂速度較慢。6.3懲罰因子P對結果的影響設置劃分單元為60*20，體積分數volfrac=0.5，過濾半徑rmin=1.2;不斷變化懲罰因子，尋求懲罰因子對于優化結果的影響。P=1.5P=2.5P=3.圖6-3由優化結果圖6-3可以看到：隨著懲罰因子取值的增大，呈現出的拓撲結果呈現日趨清晰的趨勢，這是因為在SIMP材料插值模型中，參數p較小時，對中間密度的懲罰程度較小，或者說懲罰效果不夠明顯，因此呈現的結果會有模糊的灰色區域。隨著參數p取值增大，對中間密度的懲罰程度也越大，單元等效彈性模

10、量逼近0或者Emax的趨勢也更明顯，因此，優化結果也愈加清晰。另一方面，取值越大，迭代次數也越多，計算量增大，可能導致無限循環（例如，在該算例中，取p=3.5時，程序將會進入無限循環導致無解）。從總體的優化趨勢來看，各個取值情況下的優化結構大致相似。因此，在實際的拓撲優化中，要注意選擇適宜的懲罰因子，達到平衡迭代時間和較優的優化效果。 6.4過濾半徑rmin對拓撲結果的影響 設置劃分單元為60*20，體積分數volfrac=0.5，懲罰因子為penal=3.不斷變化過濾半徑，尋求過濾半徑對于優化結果的影響。rmin=0.8rmin=1.2rmin=1.6圖6-4網格過濾半徑rmin的選取如果小

11、于1的話，被過濾的目標函數變化率將會和原始的變化率相等，使得過濾無效。在結果上表現出來的是棋盤格現象如圖6-4中rmin=0.8所示，這在工程上不可能實現的，對工程實踐是沒有意義的。從上面的優化結果分析，隨著rmin取值的增大，過濾效果隨著其增大而增強，在局部出現模糊的灰色區域。在實際的操作中，要綜合考慮結果的精度要求以及迭代時間因素來確定合理的過濾半徑。6.5邊界約束條件和加載方式對拓撲結果的影響 6.5.1兩端固支的梁模型如下圖所示，梁上面受到均布載荷的作用設置輸入為top（60，20，0.5，3，1.2）可得到優化結果為：6.5.2兩端鉸支的梁在兩端鉸支的梁的1/3和2/3處分別開了兩個

12、圓孔，在梁的中間施加豎直向下的單位力。所得到的優化結果為6.5.3多重載荷情況如下圖所示，模型為懸臂梁，在中間開了一個圓孔，分別在梁的右端上下各施加了一單位力。所得到的優化結果如下圖所示：7、拓展應用 7.1橋梁普通的橋梁可以簡化為兩端鉸支的梁，梁的上方受到均布載荷，所簡化的結構如下圖所示：采用拓撲優化進行運算之后得到的結果如下圖所示：上圖為現實中的趙州橋，對比兩幅圖可以發現，拓撲優化的結果與工程上的橋梁完全的吻合。7.2外伸梁在生活中有很多結構可以簡化成一個對稱的外伸梁，梁上受到均布載荷。進行拓撲優化可以得到優化結果：而下圖的乒乓球臺采用的就是類似的結構，而生活中還有很多物體比如雙杠和車棚都

13、可以采用此結構。8.總結與心得研究分析了程序輸入參數nelx，nely，volfrac，p，rmin對優化結果的影響，通過改變加載矩陣F和邊界約束條件，實現了對不同加載方式和不同邊界約束下的簡單結構靜力學問題的優化。結果看到，輸入參數的變化對優化結果影響顯著，但是不同的輸入參數變化對結果影響也不同。在實際的應用中應綜合考慮，選取適宜的優化參數。通過對 A 99 line topology optimization code written in Matlab 一文的學習，一方面對拓撲優化的理論原理以及實際的計算機方法實現都有了一定的認識，了解了拓撲優化的一般步驟，拓撲優化問題中的理論基礎等。通過對99行程序的學習，結合實際的上機操作，得到了一些簡單的結構問題的拓撲優化求解結果，并且分析對比了該程序主要輸入參數的變化對拓撲優化結果的影響。另一方面，由于文章僅是用于教