1、超幾何分布、二項分布、正態分布【學習目標】1、通過實例，理解超幾何分布及其特點，掌握超幾何分布列及其導出過程，并能進行簡單 的應用。2、理解n次獨立重復試驗(即n重伯努利試驗)及其意義，理解二項分布并能解決些簡單 的實際問題。3、借助直觀圖，了解是正態分布曲線與正態分布，認識正態分布曲線的特點及曲線農示的 意義。4、會查標準正態分布衣，會求滿足正態分布的隨機變量x在某范圉內的槪率?！疚蔹c與難點】重點：正確埋解超幾何分布、二項分布、正態分布的意義。難點：正確進行超幾何分布、二項分布、正態分布有關概率的計算。【知識要點】1、超幾何分布：般地，若個隨機變量X的分布列為：P(x=r)=其中r=0, 1

2、, 2, 3, ,J, / = min(n M)則稱x服從超幾何分布。記作 xH(n, M, N),并將 P(x=r)= CS ,記為 H(r, n, M, N)o如：在批數量為N件的產品中共有M件不合格品，從中隨機取出的n件產品中，不合格 品數x的概率分布列如農一所示：依一)x=r012/P(x=r)0 C、譏zmI廣 2 p?22 r 其中/ = min(n M),滿足超幾何分布。2、伯努呼驗(n次獨立重復試驗)，在n次相互獨立試驗中，每次試驗的結果僅有兩種對 立的結果A與瓦出現，P(A) = pG(O, I),這樣的試驗稱為n次獨立重復試驗，也稱為伯努利試 驗。_P(A)=l-p=q則在

3、n次獨立重復試驗中，事件A恰好發生k次的概率(0*n)為P(k) = Ch/gf(k=O, 1, 2, 3,n),它恰好是(q+p)n的二項展開式中的第k+1項。,其中 OVpVl, p+q=l, k3、二項分布：若隨機變量x的分布列為p(x = k)=CnPK *=0, 1, 2 n,則稱x服從參數為n、p的二項分布，記作xB(n, p)。如：n次射擊中，擊中目標k次的試驗或投擲骰fn次，出現k次數字5的試驗等均滿足二 項分布。3、正態分布曲線。(1) 概率密度曲線：當數據無限增多且組距無限縮小，那么頻率亡方圖的頂邊無限縮小乃至 形成條光滑的曲線，則稱此曲線為概率密度曲線。(2) 正態密度曲

4、線：概率密度曲線對應衣達式為P(x)=(xGR)的曲線稱之為正態密度曲線。正態密度曲線圖象特征： 當xM時曲線下降；當曲線向左右兩邊無限延伸時，以x軸為漸 近線。 正態曲線關于直線x = n對稱。 g越大，正態曲線越扁平；。越小，正態曲線越尖陡。 在正態曲線下方和x軸上方范圍內的區域而積為1。4、正態分布：若x是個隨機變量，對任意區間依對，血VME恰好是正態密度曲線 下方和x軸上依 對上方所圍成的圖形的血積，我們就稱隨機變量*服從參數為M和g的正態分 布，簡記為xN(u，c2)o在現實世界中很多隨機變量遵循正態分布。如：反復測量某個物理量，其測量謀差X通常 被認為服從正態分布：某地區同性別同年

5、齡組兒童的體重W也近似地服從正態分布。若xN(“小，則隨機變量x在卩的附近取值的概率很兒 在離p很遠處取值的概率很少。 如圖所示：隨機變量x取值落在區間(卩一6卩+g)上的概率約為683%,落在區間一 26 n+2u)上的概率約為95.4%,落在區間一36卩+3。)上的概率約為99.7%o其中，卩實際上就是隨機變雖x的均值，G2為隨機變量x的方差，它們分別反映x取值的 平均大小和穩定程度。5、標準正態分布：正態分布N(0, 1)稱為標準正態分布，此時，P(x)=Q (xGR), 通過査標準正態分布農可以確定服從標準正態分布的隨機變量的有關概率。數學家們發現，在多種做小因素影響下，如果沒有種影響

6、占主導地位，則這樣的隨機變量 服從正態分布，特別是在獨立地人數量重復試驗時，就平均而言，任何個隨機變量的分布都將 趨近于正態分布，這就是中心極限定理，中心極限定理告訴我們在平均重復觀察多次后，我們可 以利用正態分布對隨機事件進行分析和預報。X P可以證明，對任正態分布XN(p,o2)來說，都可以通過z=-轉化為標準正態分布Z N(0, 1)。6、利用Excel進行有關概率計算。(1) 超幾何分布函數計算：按插入/函數/統計選擇超幾何分布函數“HYPGEOMDIST,然后 依次輸入r、n、M、N的值,或直接在單元格內輸入“ = HYPGEOMDIST(4； 5, 10, 30)”即可得 到后邊例

7、1中H(4： 5, 10, 30)的值，約為0.029472443o(2) 二項分布函數計算：選擇“插入/函數/統計，選擇二項分布函數“BINOMDIST,然后依 提示輸入相應的參數k、n、p的值,或在單元格內直接輸入“=BINOMDIST(80, 10000, 0.006, 1)即可得到后而例4中P(xS0)的值，約為0.994。(3) 正態分布函數計算：選擇“插入/函數/統計，選擇正態分布函數ORMDIST,輸入相應 參數x、p、g的值，或在單元格內直接輸入“=NORMDIST( 184.5, 184, 2.5, If,就可得到后 邊例6中P(x184.5)的值，約為0.5793。7、二項

8、分布的近似計算。對于二項分布函數，當n比較大，而p比較小(p0.1),而乘積np人小“適中”時，可以利用 C細氣1 一刃”一S辺匯*產近似公式P(x = k)= M陽來計算?！镜湫屠}分析】例1：高三(I)班的聯歡會上設計了 -項游戲：在個口袋中裝有10個紅球，20個白球，這 些球除顏色外完全和同，次從中摸出5個球，摸到4個紅球-個口球就中等獎，求中等獎 的概率。解；以30個球為批產品，其中紅球為“不合格品，隨機抽取5個球，x農示抽到的紅球 數，則x服從超幾何分布H(5, 10, 30),_210x20_ 700由超幾何分布公式可得：H(4； 5, 10, 30)= C/p>

9、 -0.0295,所以獲-等獎的概率約為2.95%。例2：生產方捉供50箱的產品中，有兩箱不是合格產品，采購方接收該批產品的準則是： 從該批產品中任取5箱產品進行檢測，若其中的不合格產品不超過箱，則接收該批產品，問： 該批產品彼接收的概率是多少？解：用x農示5箱中的不合格品的箱數，則x服從超幾何分布H(5, 2, 50),這批產品彼接收的條件是5箱中有0或1箱不合格產品, 故該產品彼接收的概率為P(xl)即：pOpi pl 廠 4P(xl)=P(x=0)+P(x=l)= C?a,48 x47x46 x45x44 , n 48x47x46 x45 lx+2 乂C殳C器+館xC 8Cgo=5x4k

10、3x 2x14k3x 2x150x49 x 48x47x465 x4x 3x 2 x145 x44+2x45 x550x49243=245 -0.992答：該批產品被接收的槪率約為99.2%。例3：求拋擲100次均勻駛幣，正好出現50次正而向上的概率。分析：將枚均勻硬幣隨機拋擲1史次，相當于理r io。次獨立重復試驗，每次試驗有兩個 可能結果，即出現正面(A)與出現反面&)且P(A) = P(A)=0.5o解：設x為拋擲100次硬幣出現正面的次數，依題意隨機變量xB(100, 0.5),則 P(x=50)=CioaZ?J?LOO_50=CSo x 0.51308%o答：隨機拋擲100次均勻碩幣

11、，正好出現50次正血的概率約為8%o例4：某保險公司規定：投保者每人每年交付公司保險費120元的人身總外保險，則投保者 意外傷亡時，公司將賠償10000元，如果已知每人每年盤外死亡的概率為0.006,若該公司吸收 10000人參加保險，問該公司賠本及盈利額在400000元以上的概率分別有多大？解：設這10000人中意外死亡的人數為x,根據題意,xB( 10000, 0.006), P(x=k)=Ci0M0 xO.OOd * k (l-O.OOd)10000*,當死亡人數為x人時，公司要賠償x萬元，此時，公司的利潤為(120-x)萬元，由上述分布，公司賠本的概率為：1201202 P(x=Q工C

12、舘oo x0.006ax 0.99410000P(120x0)= 1 P(x40)=P(x80)=RQ= I994,即公司約有99.4%的概率可以賺到400000元以上。例5：若隨機變量zN(0, 1),查標準正態分布衣，求：(1) P(z1.52)： (3)P(0.57z2.3)： (4)P(z-1.49)O 解:(l)P(z 1.52) = 1 一 P(z1.52)=1 -0.9357=0.0643 o(3) P(0.57z23)=P(z2.3)-P(z057)=0.9893-0.7157=0.2736o(4) P(z1.49)= 1 -P(z 184.5-184解：(l)P(x 184.5) = pl 2525J=p(z0.2)= 1 -P(zo.2)=l -0.5793 =0.4207。179-184 一IM 189-184.5(2)P(179x189)=P2.52.52.5/= P(-2z2)=P(z2)-P(z-2)=P(z2)=P(z2)-l -P(z2)=2P(z2)-1 =2x0.9772 -1 =0.9544答：隨機抽取罐，其實際凈重超過184.5g的槪率是0.4207,在179g與189g之間的槪率是 0.9544 o例7：某電話站為300個電話用戶