1、數學精神與方法數學精神與方法第九講第九講 拓撲眼光看世界（二）拓撲眼光看世界（二）關于物理學空時概念的評述關于物理學空時概念的評述 我們對于運動在空間和時間連續統中的物質有著來自直覺的觀念，但是其我們對于運動在空間和時間連續統中的物質有著來自直覺的觀念，但是其中每一個觀念都是難以捉摸的。中每一個觀念都是難以捉摸的。 空間的廣延性、時間的流逝、物質的慣性和運動，其中沒有一個概念是完空間的廣延性、時間的流逝、物質的慣性和運動，其中沒有一個概念是完全獨立于其它概念的，它們的定義互相依賴，而且在一定程度上是集體性全獨立于其它概念的，它們的定義互相依賴，而且在一定程度上是集體性的。的。 愛因斯坦的相對論

2、表明了，空時是什么的問題，在某種程度上與觀察者有愛因斯坦的相對論表明了，空時是什么的問題，在某種程度上與觀察者有關，而且空間和時間都不是獨立于物質而存在的。從概念觀點上看，使情關，而且空間和時間都不是獨立于物質而存在的。從概念觀點上看，使情況更為復雜的是，量子物理告訴我們，觀察者要影響觀察結果。因此，似況更為復雜的是，量子物理告訴我們，觀察者要影響觀察結果。因此，似乎先驗地獨立于觀察者而存在的空間和時間事實上不僅與牛頓的絕對性觀乎先驗地獨立于觀察者而存在的空間和時間事實上不僅與牛頓的絕對性觀念不相容，而且與人類的客觀性理想也不相容。念不相容，而且與人類的客觀性理想也不相容。 物理學是一門充滿著

3、概念上的陷阱的學科，其刻意追求的科學客觀性事實物理學是一門充滿著概念上的陷阱的學科，其刻意追求的科學客觀性事實上已成為一個難以達到的目標。上已成為一個難以達到的目標。當測量當測量、觀察不可能客觀時，還有什么是可信的？觀察不可能客觀時，還有什么是可信的？ 拓撲眼中的一維世界拓撲眼中的一維世界 觀察螞蟻搬家，候鳥遷徙，兩者運動的軌跡都給出了一維空間的圖景。一維空間，通常我們觀察螞蟻搬家，候鳥遷徙，兩者運動的軌跡都給出了一維空間的圖景。一維空間，通常我們認為，就是歐幾里得幾何中的認為，就是歐幾里得幾何中的“直線直線”令人疑惑，令人疑惑， 這是物理世界中的這是物理世界中的“直線直線”嗎？嗎？ “每個物

4、體都保持其靜止或勻速直線運動的狀態，除非有外力作用于它迫使它改變那個狀每個物體都保持其靜止或勻速直線運動的狀態，除非有外力作用于它迫使它改變那個狀態。態。”（摘自牛頓的（摘自牛頓的自然哲學之數學原理自然哲學之數學原理） 看來，物理世界中的看來，物理世界中的“直線直線”，就是物體沒有受到外力作用時，它運動的軌跡。問題是：有沒，就是物體沒有受到外力作用時，它運動的軌跡。問題是：有沒有不受外力作用的物體？若有，它所做的勻速直線運動是相對于那個參照物的？有不受外力作用的物體？若有，它所做的勻速直線運動是相對于那個參照物的？ 何謂何謂“直線直線”？從觀念上講，？從觀念上講，“直直”的概念離不開的概念離不

5、開“運算運算”（尤指線性運算），（尤指線性運算）， “運算運算”需先對參與需先對參與運算的量進行運算的量進行“測量測量” ，而，而“測量測量”永遠擺脫不了永遠擺脫不了“誤差誤差”，更不必說，更不必說“測量測量”會不可避免地對被測會不可避免地對被測對象產生影響（所測的必然不是要測的），因此，我們原則上沒辦法知道物理上的直線是什對象產生影響（所測的必然不是要測的），因此，我們原則上沒辦法知道物理上的直線是什么，當然，也就從來沒有真正弄明白過一維空間是什么！么，當然，也就從來沒有真正弄明白過一維空間是什么！ 我們能否撇開我們能否撇開“測量測量”來考量物理世界中的一維空間呢？來考量物理世界中的一維空間

6、呢？ 以拓撲的眼光來考察一維空間以拓撲的眼光來考察一維空間或許，這更接近于所要理解之對象的本或許，這更接近于所要理解之對象的本質質不愧為是一種明智之舉。在拓撲眼看來，一維空間可用一維的無邊連通流不愧為是一種明智之舉。在拓撲眼看來，一維空間可用一維的無邊連通流形作為數學模型來加以描述。一維的無邊連通流形只有兩類：形作為數學模型來加以描述。一維的無邊連通流形只有兩類： 一維歐氏空間一維歐氏空間 E1單位園周單位園周S1 問題：作為物理世界一維空間的數學描述，問題：作為物理世界一維空間的數學描述， 選選E1好，還是選好，還是選S1好？好？在拓撲眼看來：選在拓撲眼看來：選S S1 1比選比選E E1

7、1好好 E1可以嵌入可以嵌入S1中而成為后者的一個真子空間；中而成為后者的一個真子空間； S1是緊致而連通的（有界無邊），它是是緊致而連通的（有界無邊），它是E1的一點緊致化；的一點緊致化； S1沒有與自身同胚的真子空間，而沒有與自身同胚的真子空間，而E1無此性質。無此性質。這是這是因為因為實現使實現使E1成為成為S1的真子空間的真子空間的同胚的同胚S1E1S S1 1中的運動中的運動 所謂所謂“S1中的運動中的運動”，這里是指，這里是指S1中子空間上的拓撲動力中子空間上的拓撲動力系統。需指出的是，即便空間是簡單的，其上的運動也可能出現系統。需指出的是，即便空間是簡單的，其上的運動也可能出現很

8、復雜的模式，例如，出現混沌運動。因此，對很復雜的模式，例如，出現混沌運動。因此，對S1中的運動，我中的運動，我們只能限于舉兩個例子作一點考察。們只能限于舉兩個例子作一點考察。 ：，名的沙可夫斯基定理名的沙可夫斯基定理種運動，我們有如下著種運動，我們有如下著中的一種運動。關于這中的一種運動。關于這是是 半離散動力系統半離散動力系統為一個連續映射，那么為一個連續映射，那么設設例1例11SxfnxXXXXfXn,:1 ,0周期點。周期點。必有必有時，時，周期點，且周期點，且有有那么，當那么，當2的次冪2的次冪倍奇數倍奇數2 2倍奇數倍奇數2 22倍奇數2倍奇數全體奇數全體奇數: :述方式排列述方式排

9、列如果將全體正整數按下如果將全體正整數按下定理定理n n2 2kfkmmfnn,1222227252327252327252375321nnn222 有趣的問題是：圓周上的哪種運動可以看作自然運動，即，不受外力作用有趣的問題是：圓周上的哪種運動可以看作自然運動，即，不受外力作用的運動？自然運動的觀念有存在的必要嗎？的運動？自然運動的觀念有存在的必要嗎？ 的。的。周的無理旋轉拓撲共軛周的無理旋轉拓撲共軛的圓周自同胚總是與圓的圓周自同胚總是與圓，無周期點的，且保向，無周期點的，且保向是一個無理數。遍歷的是一個無理數。遍歷的其中其中旋轉：旋轉：最簡單的是如下的無理最簡單的是如下的無理子子期點的圓周自

10、同胚的例期點的圓周自同胚的例中是稠密的。這種無周中是稠密的。這種無周的任何軌道都在的任何軌道都在則它是遍歷的，即，它則它是遍歷的，即，它無周期點且足夠光滑，無周期點且足夠光滑，若若上的保向自同胚上的保向自同胚周期點的周期點的確實存在有確實存在有定的周期定的周期周期點；并且對任何指周期點；并且對任何指則其僅有則其僅有周期點周期點有有若若述結論述結論為保向同胚時，已知下為保向同胚時，已知下例如，當例如，當兩種情形來討論兩種情形來討論為保向同胚和反向同胚為保向同胚和反向同胚一系統，可分一系統，可分上的一種運動。對于這上的一種運動。對于這就給出了S就給出了SZ Z上的離散動力系統上的離散動力系統那么那

11、么是同胚是同胚設設例2例21 1,e,SS:S2S1,SS:SSS:i2111111111zzfmmmmfffxfnxfn，。，：。，拓撲眼中的二維世界拓撲眼中的二維世界 在拓撲眼看來，二維空間的合理模型可在緊致的二維無邊連通流形中搜尋。在拓撲眼看來，二維空間的合理模型可在緊致的二維無邊連通流形中搜尋。緊致的二維無邊連通流形稱作緊致的二維無邊連通流形稱作閉曲面閉曲面，其拓撲分類情況遠比一維無邊連通，其拓撲分類情況遠比一維無邊連通流形的分類情況復雜。事實上，閉曲面用拓撲眼看，有無窮多類，其分類流形的分類情況復雜。事實上，閉曲面用拓撲眼看，有無窮多類，其分類情況現介紹如下：情況現介紹如下：可定向閉

12、曲可定向閉曲面面不可定向閉不可定向閉曲面曲面S2T22T23T2RP22RP23RP2閉曲面分類定理閉曲面分類定理 任何一個閉曲面必定同胚于且只能任何一個閉曲面必定同胚于且只能同胚于下列曲面之一：同胚于下列曲面之一：S2 （可定向）；（可定向）；T2，2T2，3T2，mT2， （可定向）；（可定向）； RP2，2RP2， 3RP2，mRP2, （不可定向）。（不可定向）。；mm2m;22m2222RPTS如下：如下：數數注：閉曲面的歐拉示性注：閉曲面的歐拉示性 。的頂點數，棱數和面數分別表示和，其中，；同胚，那么與多面形閉曲面之同胚的多面形。如果單純剖分的手段找到與每個閉曲面都可以通過：PPP

13、PPPPP2PS1PSfevfev歐拉示性數的計算歐拉示性數的計算球面與圓盤球面與圓盤 將兩個圓盤沿它們的邊界圓周粘合，將兩個圓盤沿它們的邊界圓周粘合，就得到了球面。就得到了球面。MobiusMobius帶及其表示帶及其表示交叉帽：交叉帽： Mobius帶的一種示帶的一種示意表示意表示German mathematician August MbiusGerman mathematician August MbiusBorn: 17 Nov 1790 in Schulpforta, Saxony (now Germany)Died: 26 Sept 1868 in Leipzig, German

14、yMbius was the first to attempt the classification of surfaces. In an 1870 paper he proved the above theorem for orientable surfaces smoothly imbedded in 3-dimensional Euclidean space. 環面環面T T2 2與環柄與環柄 在環面上挖去一個圓盤（的內部）得到的就是所在環面上挖去一個圓盤（的內部）得到的就是所謂的環柄。謂的環柄。 在一個曲面上挖去一個圓盤，然后將一個環柄的在一個曲面上挖去一個圓盤，然后將一個環柄的邊界圓

15、周與該曲面所開圓洞的邊界圓周焊接，這邊界圓周與該曲面所開圓洞的邊界圓周焊接，這種手術稱作在該曲面上添加一個環柄。例如，在種手術稱作在該曲面上添加一個環柄。例如，在球面上添加一個環柄，得到環面。球面上添加一個環柄，得到環面。環面的形變（包志強制作）環面的形變（包志強制作）實射影平面實射影平面RPRP2 2的制作的制作 在一個曲面上挖去一個圓盤，然后將一個在一個曲面上挖去一個圓盤，然后將一個M bius帶的邊界圓周與該曲帶的邊界圓周與該曲面所開圓洞的邊界圓周焊接，這種手術稱作在該曲面上添加一個面所開圓洞的邊界圓周焊接，這種手術稱作在該曲面上添加一個Mbiusbius帶帶。例如，在球面上添加一個。例

16、如，在球面上添加一個Mbiusbius帶帶，得到實射影平面，得到實射影平面RP2。注意，實射影平面注意，實射影平面RP2是不能嵌入是不能嵌入3維歐氏空間的。維歐氏空間的。這是球面這是球面上添加一上添加一個交叉個交叉帽帽示示意實射影意實射影平面平面KleinKlein瓶瓶2RP2RP2 2的制作（的制作（1 1） Klein瓶事實上不能嵌入瓶事實上不能嵌入3維歐氏空間，這里畫出的維歐氏空間，這里畫出的Klein瓶是有洞瓶是有洞的的Klein瓶。瓶。KleinKlein瓶的制作（瓶的制作（2 2）Klein瓶由兩個瓶由兩個M bius帶沿邊界圓帶沿邊界圓周粘合而成周粘合而成The Klein bo

17、ttle is named after the German mathematician Felix Klein (1849-1925). Born: 25 April 1849 in Dsseldorf, Prussia (now Germany)Died: 22 June 1925 in Gttingen, Germany Felix Klein is best known for his work in non-euclidean geometry, for his work on the connections between geometry and group theory, an

18、d for results in function theory. He was born on 25/4/1849 and delighted in pointing out that each of the day (52), month (22), and year (432) was the square of a prime. 閉曲面的制作閉曲面的制作 任何閉曲面必同胚于或者球面，或者球面上添加有限任何閉曲面必同胚于或者球面，或者球面上添加有限個環柄，或者球面上添加有限個個環柄，或者球面上添加有限個Mbiusbius帶。帶。 這些曲面中的任意兩個是不同胚的。這些曲面中的任意兩個是不同

19、胚的。.Mobius2Mobius0帶帶個個等同于對球面添加等同于對球面添加帶帶個個個環柄和個環柄和注：對球面添加注：對球面添加nmnm球面是平面的一點緊球面是平面的一點緊致化致化問題：作為二維空間的數學模型，選哪種閉曲面為好？問題：作為二維空間的數學模型，選哪種閉曲面為好？ 從拓撲眼的角度看，選球面從拓撲眼的角度看，選球面S2為好。這是因為為好。這是因為S2是二維歐氏空間的一點緊致化；是二維歐氏空間的一點緊致化；S2不能與自己的任何真子空間同胚，特別地，不與不能與自己的任何真子空間同胚，特別地，不與S1同胚；同胚；S2具有最好的各向同性性質，具體說就是具有最好的各向同性性質，具體說就是: 若

20、若c是是S2中的一條簡單閉中的一條簡單閉曲線，則曲線，則 （1）S2c有兩個連通分支，而且這兩個連通支都同胚于開圓盤；有兩個連通分支，而且這兩個連通支都同胚于開圓盤； （2）c在在S2中的加寬一定是圓柱面。中的加寬一定是圓柱面。簡單閉曲線簡單閉曲線-同胚于圓周同胚于圓周的曲線的曲線S S2 2中的運動中的運動現考察現考察S2中的運動，即中的運動，即S2的子空間上的動力系統。的子空間上的動力系統。圖。畫出其軌線的分布示意對于此系統，我們可以陣。是一個二階非奇異實矩，其中上的動力系統面考慮如下定義的歐氏平AxetxtA,:2 22 22 2E ER RE EE E3 3例例鞍點鞍點焦點焦點中心中心

21、雙切結點雙切結點單切結點單切結點星形結點星形結點 。空間同胚表示其左右兩邊給出的并且，那么。上的動力系統考慮22222222RPSS,Orb1,SS:SZZxxxxxmxm例4例4的圖解222RPSZn n維維(n(n3)3)空間的理想模型空間的理想模型 對于一維和二維空間，我們從拓撲眼的角度觀察，分別選擇對于一維和二維空間，我們從拓撲眼的角度觀察，分別選擇S1和和S2作為描作為描述它們的數學模型。在做這樣的選擇時，我們是做了充分考慮的，因為我述它們的數學模型。在做這樣的選擇時，我們是做了充分考慮的，因為我們知道一維和二維無邊連通流形的拓撲分類，因此給出的選擇能夠通過系們知道一維和二維無邊連通

22、流形的拓撲分類，因此給出的選擇能夠通過系統地對比預選對象而做出。對于三維空間，我們自然傾向于選擇三維球面統地對比預選對象而做出。對于三維空間，我們自然傾向于選擇三維球面S3作為描述它的數學模型。可是，我們有充分的理由做出這樣的選擇嗎？作為描述它的數學模型。可是，我們有充分的理由做出這樣的選擇嗎？ 這里產生了一個自然的問題：三維的無邊緊致連通流形有哪些拓撲類型？這里產生了一個自然的問題：三維的無邊緊致連通流形有哪些拓撲類型？針對此問題，一個首要的基本問題是：針對此問題，一個首要的基本問題是： 龐加萊猜想龐加萊猜想 如果如果M是一個三維的無邊緊致連通流形，并且是單連通的，是一個三維的無邊緊致連通流

23、形，并且是單連通的，那么那么M與與S3同胚。同胚。 這是法國數學大師龐加萊于這是法國數學大師龐加萊于1904年提出的猜想。許多數學家曾嘗試去證明年提出的猜想。許多數學家曾嘗試去證明這一猜想；不止一次好像已經成功了，可是并沒有真正成功。這一猜想；不止一次好像已經成功了，可是并沒有真正成功。 出乎許多數學家的意料，出乎許多數學家的意料，1961年，美國數學家年，美國數學家S.Smale證明了高維的龐加證明了高維的龐加萊猜想。萊猜想。1982年，美國數學家年，美國數學家M.Freedman又證明了四維的龐加萊猜想。又證明了四維的龐加萊猜想。他們的結果如下：他們的結果如下： Smale 定理定理 如果

24、如果M是一個是一個n維的無邊緊致連通光滑流形，并與維的無邊緊致連通光滑流形，并與Sn有相有相同的同倫型，那么當同的同倫型，那么當n大于大于4時，時，M與與Sn同胚。同胚。 Freedman定理定理 Smale定理在定理在n等于等于4時也成立。時也成立。 這些結果是微分拓撲理論中的著名成果，這些結果是微分拓撲理論中的著名成果，S.Smale和和M.Freedman因此而分因此而分別榮獲別榮獲1966年和年和1986年的菲爾茲獎。年的菲爾茲獎。 Poincare猜想是國際數學界長期關注的一個重大難題，被列為七大猜想是國際數學界長期關注的一個重大難題，被列為七大“數學世紀難題數學世紀難題”之一，之一

25、，美國美國Clay研究所懸賞百萬美元征求證明。研究所懸賞百萬美元征求證明。 100多年來，無數的數學家關注并致力于證實多年來，無數的數學家關注并致力于證實Poincare猜想。猜想。S.Smale 曾因解決曾因解決4維以上廣義維以上廣義龐加萊猜想獲龐加萊猜想獲1966年菲爾茲獎，之后年菲爾茲獎，之后, M. H. Fredman 解決了解決了4維廣義龐加萊猜想獲維廣義龐加萊猜想獲1986年菲年菲爾茲獎爾茲獎 , 但本來但本來3維龐加萊猜想仍未解決。維龐加萊猜想仍未解決。20世紀世紀80年代初，美國數學家年代初，美國數學家Thurston教授因為得教授因為得出了對龐加萊幾何結構猜想的部分證明結果

26、而獲得菲爾茲獎。之后，美國數學家出了對龐加萊幾何結構猜想的部分證明結果而獲得菲爾茲獎。之后，美國數學家Hamilton在在這個猜想的證明上取得了關鍵進展。這個猜想的證明上取得了關鍵進展。2003年，俄羅斯數學家年，俄羅斯數學家Grigory Perelman （格里高利（格里高利佩佩雷爾曼）雷爾曼） 更是提出了解決這一猜想的要領和框架，并取得重大突破。更是提出了解決這一猜想的要領和框架，并取得重大突破。 佩雷爾曼是圣彼得堡斯捷克洛夫數學研究所的研究員，在過去佩雷爾曼是圣彼得堡斯捷克洛夫數學研究所的研究員，在過去10年中一直致力于微分幾何與年中一直致力于微分幾何與代數拓撲的研究。代數拓撲的研究。

27、2002年年11月，佩雷爾曼通過互聯網公布了一個研究報告，聲稱證明了由美月，佩雷爾曼通過互聯網公布了一個研究報告，聲稱證明了由美國數學家瑟斯頓（國數學家瑟斯頓（William P. Thurston）在）在25年前提出的有關三維流形的年前提出的有關三維流形的“幾何化猜想幾何化猜想”，而，而“龐加萊猜想龐加萊猜想”正是后者的一個特例。由于每隔數年就會冒出一個新的正是后者的一個特例。由于每隔數年就會冒出一個新的“證明證明”隨后又被推翻，隨后又被推翻，因此數學界對此類報告一向是非常謹慎的。四個月后佩雷爾曼又在網上公布了第二份報告，因此數學界對此類報告一向是非常謹慎的。四個月后佩雷爾曼又在網上公布了第

28、二份報告，介紹了證明的更多細節。同時他也通過電子郵件與該領域的少數專家進行交流。介紹了證明的更多細節。同時他也通過電子郵件與該領域的少數專家進行交流。 2003年年4月，應華裔數學家田剛的邀請，佩雷爾曼在麻省理工學院作了三場演講，結果月，應華裔數學家田剛的邀請，佩雷爾曼在麻省理工學院作了三場演講，結果大獲成功。他似乎對所有問題和質疑都有準備大獲成功。他似乎對所有問題和質疑都有準備或者流利地應答，或者指出其屬枝節末流。或者流利地應答，或者指出其屬枝節末流。聽過演講的專業人士認為他的工作是極富創造性的，聽過演講的專業人士認為他的工作是極富創造性的，“即使證明有誤，他也發展了一些工具即使證明有誤，他

29、也發展了一些工具和思想，足以導致對和思想，足以導致對幾何化猜想幾何化猜想的精致處理，其中有極為振奮人心的東西的精致處理，其中有極為振奮人心的東西”，克萊研究所，克萊研究所所長卡爾森（所長卡爾森（Jim Carlson）如是說。）如是說。 在在Hamilton 和和Perelman 等人重要工作基礎上，中國數學家朱熹平和曹懷等人重要工作基礎上，中國數學家朱熹平和曹懷東給出了東給出了Poincare猜想和猜想和Thurston幾何化猜想的完整證明，全文幾何化猜想的完整證明，全文300多頁，多頁，2006年六月份發表在年六月份發表在亞洲數學雜志亞洲數學雜志上。上。 對于一項世界難題的證明往往要經過數

30、學家們長時間的系統審查之后才能對于一項世界難題的證明往往要經過數學家們長時間的系統審查之后才能最終確立其在數學界的地位。最終確立其在數學界的地位。S Sn n(n3) (n3) 的良好性質的良好性質 Sn是連通緊致無邊的光滑流形；是連通緊致無邊的光滑流形； Sn是是n維歐氏空間的一點緊致化；維歐氏空間的一點緊致化； Sn沒有能與其自身同胚的真子空間；沒有能與其自身同胚的真子空間； Sn具有良好的各向同性性質，例如，如果具有良好的各向同性性質，例如，如果M是是Sn的微分同胚于的微分同胚于Sn-1的正則子流形，那么的正則子流形，那么 （1）SnM恰有兩個連通分支，它們是同胚的，并以恰有兩個連通分支

31、，它們是同胚的，并以M為邊界；為邊界； （2）M在在Sn中的加寬同胚于中的加寬同胚于Sn-10,1。拓撲眼看高維空間拓撲眼看高維空間 根據現有的拓撲理論，選擇根據現有的拓撲理論，選擇S3作為描述三維空間的數學模型，只能基于以作為描述三維空間的數學模型，只能基于以往的經驗。即便如此，由于往的經驗。即便如此，由于S3具有的良好性質，我們對這樣的選擇是有信具有的良好性質，我們對這樣的選擇是有信心的。心的。 不僅如此，我們還愿意在自己的思想意識中，建構起能夠容納世間萬物，不僅如此，我們還愿意在自己的思想意識中，建構起能夠容納世間萬物，并能容納我們思維產物的更高維空間；作為這種空間的理想模型，并能容納我們思維產物的更高維空間；作為這種空間的理想模型，Sn應成應成為我們的最佳選擇。這不僅是因為為我