1、化歸與轉化思想在解中學數學習題時的重要性大理一中雷蕾摘 要： “數學是使人變聰明的一門學科”. 數學思想方法是數學的靈魂,是數學精神和科學世界觀的重要組成部分, 而化歸與轉化思想又是數學思想的核心和精髓, 真正的數學高手過招, 比拼的往往就是數學思想. 本文根據前人的研究成果 , 首先概述了化歸與轉化思想的含義、聯系、 區別 , 使用化歸與轉化思想所遵循的原則、及化歸與轉化的幾種常見形式；然后結合自己的實習經驗探討怎樣實施化歸與轉化思想在教學中的滲透, 最后通過例題分析淺談自身學習化歸與轉化思想的經驗.關鍵詞： 數學思想；化歸與轉化；化歸與轉化思想；化歸思想；轉化思想1 引言數學思想方法是數學

2、知識在更高層次上的抽象和概括, 它蘊涵于知識的發生、 發展和應用的過程, 是知識轉化為能力的橋梁, 是在研究和解決數學問題的過程中所采用的手段、途徑和方式. 數學思想和數學方法是密不可分的. 化歸與轉化思想方法是最基本、最常用的兩大數學思想方法之一.1.1 化歸與轉化的含義轉化思想是指在研究和解決數學學問題時由一種教學對象轉化為另一種數學對象時所采用的數學方法的指導思想. 轉化有等價轉化和非等價轉化.化歸是“轉化歸結”的簡稱 , 是轉化的一種. 簡單的化歸思想就是把那些陌生的或不易解決的問題轉化成熟悉、易解決的問題的思想, 即把數學中待解決或未解決的問題, 通過觀察、分析、聯想、類比等思維過程

3、, 遵循簡單化、熟悉化、具體化、和諧化的原則選擇恰當的方法進行變換、轉化, 歸結到某個或某些已經解決或比較容易解決的問題是上去, 最終解決原問題的解決問題的思想 , 稱為化歸思想.兩者基本上是同一個東西, 只是側重點有一些細微的差異而已. 化歸是把未解決問題轉化歸結到已經解決的問題上去, 而轉化一般是把較難解決的問題轉化為相對比較容易解決的問題上去. 化歸是找到我們研究的問題是屬于哪一類型,屬于哪一個知識范圍. 轉化是我們找到解題的思路之后所進行的有目的的一項工作.化歸與轉化思想是解決數學問題的基本且典型的數學思想. 解題的過程實際上就是化歸與轉化的過程. 幾乎所有問題的解決都離不開化歸與轉化

4、, 我認為運用化歸與轉化的思想, 有這樣的三個問題必須明確：(1) 化歸的對象：解題中需要變更的部分；(2) 化歸的目標：把化歸的對象化為熟知的問題, 規范性的問題；(3)化歸的途徑1 :從未知到熟知，從多元到少元，從空間到平面,從高維 道低維，從復雜到簡單.數學的解題過程，就是從未知向已知、從復雜到簡單的化 歸轉換過程.它不僅需要有敏銳的洞察力和觀察力，更需要有豐富的知識儲備.1.2 化歸與轉化在解題時應遵循的原則(1)熟悉化原則 將陌生的問題轉化為熟悉的問題，以便于我們運用熟知的知 識、經驗和問題來解決待解決的問題2 ;(2)簡單化原則 將復雜的問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達

5、 到解決復雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據；(3)和諧化原則 通過化歸問題的條件或結論，使其表現形式更符合數與形內 部所表示的和諧的形式，或者轉化命題，使其推演有利于運用某種數學方法或其 方法符合人們的思維規律.和諧統一性原則是化歸與轉化思想的一項重要原則；(4)回歸原則 無論怎么化歸與轉化，無論轉化為什么新的問題，都是手段，不 是目的.最終的目的是解決原始問題.因而,最后都要回歸到原始問題上來；(5)具體化原則 化歸的方向一般應由抽象到具體，即分析問題和解決問題時 應著力將問題向較具體的問題轉化，以使其中的數量關系更易把握，如盡可能將 抽象的式用具體的形來表示；將抽象的語言描述用具體

6、的式或形表示，以使問題中的各種概念以及概念之間的相互關系具體明確；(6)標準形式化原則 將待解問題在形式上向該類問題的標準形式化歸，標準 形式是指已經建立起來的數學模式；(7)低層次原則 解決數學問題時，應盡量將高維空間的待解問題化歸成低維 空間的問題，高次數的問題化歸成低次數的問題，多元問題化歸為少元問題解決， 這是因為低層次問題比高層次問題更直觀，更簡單.1.3化歸與轉化的幾種常見策略1.3.1 陌生向熟悉的轉化3函數f x =的最大值是(1 x(1 x).A、4 B、5C、3D、45443分析該題學生比較陌生，我們應該“化生為熟”.首先討論分母1 x(1 x)的取值范圍1 x(1 x)x

7、2x 11233x2441 x(1 x) 3-,所以f x的最大值是4,故應選(D )31.3.2 數形結合把函數、方程、不等式等代數形式中的量與量的關系，同幾何圖 形的位置關系相結合，以形論數以數論形.著名的數學家華羅庚教授曾在一首詩 中寫道：數形結合百般好，兩家分離萬事休.這一句話道出了數形結合的重要性.例2如果實數x,y滿足（x 2）2 y23,那么的最大值是（）.xA. -B. C.D. 32321分析 由于方程（x 2）2y2 3表示的曲線以A（2,0）為圓心，以為半徑的圓（如圖1所示），滿足方程的x,y是圓上的點P（x,y）;而y是坐標原點（0,0）與圓 x上各點連線的斜率，所以題

8、目可轉化為求原點（0,0）與圓上各點連線的斜率的最大值.結合圖像，易知直線y kx與圓（x 2）2 y2 3相切的時候，直線OP的斜率 k就是所求斜率的最大值.圖12解 | AP | -.3,1 OP | 2 POA 一 3tan POA g,即所求y的最大值是V3 ,故選D.x1.3.3 特殊和一般之間的轉化例3求證5099 99!（一般到特殊）分析 本題直接證明顯然不易，若將其看作特殊形式，觀察可知，一般性的結2 n 1論為： U n! n N,n 1 ,這個結論一旦證明了，原題自然獲解.2證明 先證一般性的結論：當n 1,n!時，有:U、，方不 n,7!2 n2即 n-n! n N,n

9、1成立.所以，當n 99時，有5099 99!.21.3.4 正難則反易原則(反證法)當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲解3 ;2222例 4 設二個方程 x 4mx 4m 2m 3 0, x (2m 1)x m 0,2m 1 x 2mx m 1 0,中至少有一個萬程有實數根，求m的取值沱圍.分析 題設中給了三個方程，并且其中至少有一個方程有實數根，要求m的取 值范圍，可以根據題意將滿足條件的情況分別討論，以求出相應的m的取值范圍， 最后加以歸納、總結.但是，通過進一步分析，我們卻發現“三個方程中至少有一 個方程有實數根”具體應分為七種情況加以討論，其

10、中步驟的煩瑣可想而知，因此 可否換一個角度來思考呢？如從“三個方程中至少有一個方程有實數根”的反面 考慮，即“三個方程都沒有實數根”時求出m的取值范圍，然后再從實數中排除它， 就是所要求的取值范圍.解(1)當m 1時，方程m 1 x2 2mx m 1 0化為一次方程2x 0,它有一個實數根x 0,故m 1符合題意.(2)當m 1時，若三個方程都沒有實數根，則有：1 16m2 4(4m2 2m 3) 02 (2m 1)2 4m2 022lA 3 4m 4 m 10解得-*<m< - ° .從m 1的實數中除去-<m< -,即得m°或m。，且242424

11、m 1.綜上所述，得m0或m 1.241.3.5空間向平面的轉化4在數學解題中，對立體幾何問題常常需要化歸到熟知 的平面幾何問題，化歸的手段主要有平移、旋轉、展開、射影和截面等.例 5 設長方體 ABCD AB1clD1 的三條棱 A1A a, A1B1 b, AD1 c, M ,N,P,Q分別是ABi, ADi,BC,CD的中點.求 AMN和CPQ的重心間的距離離轉化為平面距離.解 設長方體的對角面ACi分別與平面 AMN , CPQ交于AE,GF，則AE,CiF分別是 AMN和 CPQ的中線,如圖2(a).設 AMN , CPQ的重心分別為G,H .于是空間的問題轉化為平面AC1的問題.如

12、圖2(b),只要求出矩形AA1C1C中，G, H的距離即可.設G,H在AC ,C1c上的射影是G1, H1 ,G2, H 2，則_114-G2 H 2A1Aa,G1Hl AC CH1 G1A AC CF .3332214122因為 AC Jb c , CF-AC.于是GM AC 4CFAC -AC -AC勺 b 61設y x 2'則原萬程轉化為2y2 5y 2 0,求出y代入所設即可求出x .x 1 c2,所以43333GHG2H 22 G1Hl2 1a2 4b2 4c2 .31.3.6高次與低次的轉化(因式分解)在解高次方程時，一般都是設法將未知數的次數降低，以達到便于求解的目的.例

13、 6 解方程 2(x2 6x 1)2 5(x2 6x 1)(x2 1) 2(x2 1)2 0.分析 這是一個高次方程，直接展開求解是相當復雜的，若采取換元法，則可 把高次方程轉化為低次方程.2 2解 因為x 1 0,則原方程可化為：2(工')5 *w 2 0x 1x 1例7已知f(x)為定義在實數R上的奇函數,且f(x)在0,+ oo)上是增函數.當0 時，是否存在這樣的實數 m,使f(cos2 3) f (4m 2mcos ) f (0)對所有的0,-均成立？若存在，求出所有適合條件的實數 m；若不存在，請說 明理由.分析由奇偶性及單調性一 f(x)單調性一，關于cos的不等式一一元

14、二次不 等式包成立一函數最值一 m的范圍.解 由f(x)是R上的奇函數可得f(0)=0.又在0,+ 8)上是增函數，故f(x)在R上為增函數.由題設條件可得f (cos23) f (4m 2mcos ) 0.又由f(x)為奇函數，可得f(cos2 3) f(2mcos 4m). . f(x)在R上為增函數，. cos2 3 2mcos 4m,即 cos2mcos 2m 2 0.令cos t, 0-,0 t 1.于是問題轉化為：對一切0&t &1,不等式12-mt+2m-2 > 0包成立.一 t2 22又. t-2 (t 2)4 4 272 , m 4 272 .t 2t

15、2存在實數m滿足題設的條件m 4 2.2.1.3.8函數與方程例8 (1997年理科24題)設二次函數f(x) =a x2十bx十c(a>0),方程f(x)1 一x=0 的兩個根？兩足 0<x1<x2<一.(1)當 x (0, x1)時，證明：x f (x) x1 ; (2)設函數f(x)的圖像關于直線xXo對稱，證明Xo分析 本例要分清函數f(x)與方程f(x) x 0是兩個不同的條件，x x0是函數f(x)的對稱軸，Xi,X2則是方程f(x) x 0的根，它們之間的聯系通過a , b, c隱蔽地給出，因而充分利用二次函數的性質，引進輔助函數g(x) f (x) x

16、, 凸現已知條件的聯系，是解題的關鍵.證明 令g(x) f(x) x,因為Xi, X2是方程f (x) x 0的根，所以不妨設g(x) a(xXi)(xX2).當 x (0, a)時，由于Xix2, ； (xx)(xx2)0.1.3.7命題的等價轉化又 a 0, g(x) a(x x1)(x x2) 0,即 x f(x)，而:x1 f (x) x1 x x f (x) x1 x g(x)x(x a(x x)(x x2)(xix)1 a(x x2)1 又 0 xx1x2a x1 x 0, 1 a(x x2) ax 1 ax2 1 ax20,得x1 f (x) 0.f (x) x1 即 x f (

17、x) x1 ;(2)由題意知x0 =.x1, x2是方程f (x) x 0的根，即x1, x22a是方程ax2 (b 1)x 2 0的根.則：x1x2b 1,x0 aba(x1x2)1111- x1(x22a 2a 2 2ax0xj21.3.9多元向一元的轉化（消元法）例9已知a1，a2,a3成等差數列& 0 , a2,a3,a4成等比數列，a3, a4,a5的倒數也成等差數列，問a1,a3,a5之間有什么關系？分析 題目中有5個元素a1,a2,a3, a4,a5,而解題目標是探討a1,a3,a5之間有什么關系，因此a2,a4對求解目標是多余的，需要從多元向少元化歸，即在解題時，設法把

18、a2,a4消去.a2由題設 a；2a4a1 a2a2a14,為消去a2 .，從方程組中解出a2 11a3 a5和a4必吟代入aa3a5a2a4得a；至3 2區.因為a3 0,則2 a3 a5a3aa3 8圖3a3 a5整理得a2 a1a5 .因止匕a,a3, a5成等比數列.1.3.10語言的轉化例10對任意函數f(x), x D,可按右圖構造一個數列 發生器，其工作原理如下：輸入數據xo D,經數列發生器 輸出xi f (xo);若xi D ,則數列發生器結束工作；若 Xi D ,則將xi反饋回輸入端，再輸出x2f (xi),并依此規律繼續下去.現定義f(x) 竺二，若輸入xo名，則由數x

19、i65列發生器產生數列4,請寫出4的所有項；(2)若要數列 發生器產生一個無窮的常數列，試求輸入的初始數據a的值； (3)若輸入xo時，產生的無窮數列4,滿足對任意正整數n均有xnxn i ；求xo的取值范圍.分析本題主要考查學生的閱讀審題，綜合理解及邏輯推理的能力.解題的關 鍵就是應用轉化思想將題意條件轉化為數學語言，函數求值的簡單運算、方程思 想的應用，解不等式及化歸轉化思想的應用.解(i) f(x)的定義域為D (, i) ( i,)iii數列xn只有二項，xi 一, x2 -, x3 i. i95(2)f(x) 4x2 x,即 X23X 2o.；Xi或 X 2.即 xo ix i或 2

20、 時，有 xn 4x2xn.故當 xoi 時，xni;當 xo2 時，xn 2 (n N ).xn i4x 2(3)解不等式x ，得X i或i X 2.要使X X2,則X2 ix i 4x 26或i Xi 2 .對于函數f (x) 空'4 6一, x i x i若 Xi i,x2 f(xi) 4, X3 f(X2) X2；若 1 Xi 2 時，X2 f(Xi) Xi 且 1 Xi 2.一 一 )八.'一 .*依次類推可得數列Xn的所有項均滿足：Xn Xni(n N ).綜上所述，Xi (i,2)，由 Xif(Xo)，得 Xo (i,2).1.3.11 合與分的轉化(分論討論)例

21、 ii 已知集合 Ma2,a i, 3, N a 3,2a i,a2 i,若M N 3,則a的值為().分析 該題結合集合的運算考查了分類討論思想，分類的標準結合集合的性質：無序性、互異性、確定性.解, M N 3,3 N a 3,2a i,a2 i .若 a 33, Ma=0,止匕時 M 0,i, 3, N 3, i,i,則：M N 3,i,故不符合集合元素的互異性.若2a i 3,則 a i,此時 M 0,i, 3, N 4, 3,2.若a2 i 3,此方程無實數解.1.3.12 復數與實數的轉化例i2已知復數z,解方程z 3i z i 3i .分析 設出復數的代數形式，利用復數相等的充要

22、條件，建立實數方程，化虛 為實，解方程組，可以求出復數.解設z X yi(x, y R),則方程可化為(x 3y) (y 3x)i i 3i .由復數相等,有y3y 3，解得5434z=53.i .44 i.3.i3常量與變量的轉化例13已知f(t) log2t, t 在,8.對于f值域內的所有實數m,不等式 x2 mx 4 2 m 4x，lB成立，x的取值范圍是.分析 根據已知條件，建立以參數為主元的不等式是一個轉化的數學思想，通過轉化就可利用一次函數 g(m)的單調性通過數形結合解決問題，體現了函數與 不等式之間的轉化關系.1解 V t V2,8 , f (t)萬,3,原題轉化為：m(x

23、2) (x 2) 0 包成立, 為m的一次函數.當x 2時，不等式不成立.2 1x 2.令 g(m) m(x 2) (x 2) , m 1,3,問題轉化為：1 1g(m)在 m 2,3上恒大于 0,則 gq) 0, g(3) 0,解得 x 2或 x 1.1.3.14等與不等的轉化相等與不等是數學解題中矛盾的兩方面，但是它們在一 定的條件下可以互相轉化，例如有些題目，表面看來似乎只具有相等的數量關系， 根據這些相等關系又難以解決問題，但若能挖掘其中的不等關系，建立不等式(組)去轉化，往往能獲得簡捷求解的效果.例14已知a, b都是實數，且aV1 b2 bV1 a2 1,求證：a2 b2 1.分析

24、利用均值不等式先得到一個不等關系，再結合已知中的相等關系尋求 a與b之間的關系.利用等與不等之間的辯證關系，相互轉化，往往可以使問題得 到有效解決.2 222解aTTV a,b“TV b_J, 22. a、1b2b.1a21.又 a/1bb1a21,a V1b2且 b V1 a2 ,即 a2 b21.1.3.15整體與局部的轉化例15函數f(x)滿足對任意x, y都有f(x) f(y) f(2),且當x<0時, 1 xy解 賦值易知f(x)為奇函數，且當x>0時，都有f (x) <0.11,、由于-且f (x)f(y)fd上)，故有:1 xyn2 3n 2 (n 1)(n 2

25、)1n 11n 11n-2(n所以局部處理通項逆用對應法則有f (Mn2 3n 2f(n1)1f (),整體處理n 2n 3n 2 (n 1)(n 2)不等式左端數列和有：f(1) f(l)f(2)L-一 1 、 恒有f ()n 2故所證不等式f (1n,一 1由題設0,n 2舄).0,則 f (1)3n 2)f (-)成立.22運用化歸思想的經驗(1)熟練、扎實地掌握基礎知識、基本技能和基本方法是化歸與轉化的基礎； 豐富的聯想、機敏細微的觀察、比較、類比是實現轉化的橋梁；培養訓練自己自 覺的化歸與轉化意識需要對定理、公式、法則有本質上的深刻理解和對典型習題 的總結和提煉，要積極主動有意識地去

26、發現事物之間的本質聯系.“抓基礎，重轉化”是學好中學數學的金鑰匙5 .(2)有目的的實施有效的化歸與轉化思想，既可以變更問題的條件，也可以變 更問題的結論，既可以變換問題的內部結構，又可以變換問題的外部形式，既可以 從代數的角度去認識問題，又可以從幾何的角度去解決問題.(3)注意緊盯化歸與轉化目標，保證化歸與轉化的有效性、規范性.化歸與轉 化作為一種思想方法，應包括化歸與轉化的對象、目標、途徑三個要素 .因此，化 歸思想方法的實施應有明確的對象、設計好目標、選擇好方法，而設計目標是問題的關鍵.在解題過程中，必須始終緊緊盯住化歸的目標，即應該始終考慮這樣的 問題：怎樣才能達到解原問題的目的.在這個大前提下實施的化歸才是卓有成效 的，盲目地選擇化歸的方向與方法必將走入死胡同.(4)轉化的等價性，確保邏輯上的正確.轉化包括等價轉化和非等價轉化，等 價轉化后的新問題與原問題實質是一樣的，不等價轉化則部