1、2010年高考數(shù)學(xué)真題之?dāng)?shù)列匯編1 （2010年高考山東卷理科22）(本小題滿分14分)已知函數(shù).()當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（）設(shè)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)取值范圍.【解析】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)變換思想，以及綜合運(yùn)用知識(shí)解決新情境、新問題的能力。解：（）因?yàn)椋?，令 ，當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù) 在上單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增；時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由于，,此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減；時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：（）因?yàn)閍=，由（）知，=1，=3，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，

2、函數(shù)單調(diào)遞增，所以在（0，2）上的最小值為。由于“對(duì)任意，存在，使”等價(jià)于“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）又=，所以當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋藭r(shí)與（*）矛盾當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瑯优c（*）矛盾當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋獠坏仁?-4b，可得綜上，b的取值范圍是。【命題意圖】本題將導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)、不等式知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問題，考查了同學(xué)們分類討論的數(shù)學(xué)思想以及解不等式的能力；考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力。（1）直接利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值、利用二次函數(shù)知識(shí)或分離常數(shù)法求出在閉區(qū)

3、間1,2上的最大值，然后解不等式求參數(shù)。2（2010年高考福建卷理科20）（本小題滿分14分）（）已知函數(shù)，。（i）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ii）證明：若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，曲線C與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，曲線C與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，線段（）對(duì)于一般的三次函數(shù)（）（ii）的正確命題，并予以證明。【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想。【解析】（）（i）由得=，當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為。（ii）曲線C與其在點(diǎn)處的切線方程為得，即，解得，

4、進(jìn)而有，用代替，重復(fù)上述計(jì)算過程，可得和，又，所以因此有。（）記函數(shù)的圖象為曲線，類似于（）（ii）的正確命題為：若對(duì)任意不等式的實(shí)數(shù)，曲線與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，曲線C與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，線段證明如下：因?yàn)槠揭谱儞Q不改變面積的大小，故可將曲線的對(duì)稱中心平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，因而不妨設(shè)，類似（i）（ii）的計(jì)算可得，故。3.（21）(2010年高考天津卷理科21)（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=xe-x（xR）.() 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；()已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，證明當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>g(x) ()如果且證

5、明【命題意圖】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力。【解析】（）解：f令f(x)=0,解得x=1當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表X()1()f(x)+0-f(x)極大值所以f(x)在()內(nèi)是增函數(shù)，在()內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=（）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是當(dāng)x>1時(shí)，2x-2>0,從而(x)>0,從而函數(shù)F（x）在1,+)是增函數(shù)。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即

6、f(x)>g(x).)證明：（1）若（2）若根據(jù)（1）（2）得由（）可知，>,則=，所以>,從而>.因?yàn)椋裕钟桑ǎ┛芍瘮?shù)f(x)在區(qū)間（-，1）內(nèi)事增函數(shù)，所以>,即>2.4.(2010年高考數(shù)學(xué)湖北卷理科17）（本小題滿分12分）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度（單位：cm）滿足關(guān)系：，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和（）求的值及的表達(dá)式；

7、（）隔熱層修建多厚對(duì)，總費(fèi)用達(dá)到最小，并求最小值5. (2010年高考數(shù)學(xué)湖北卷理科21）(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=ax+c(a0)的圖象在點(diǎn)（1,f(1)）處的切線方程為y=x-1.()用a表示出b,c;()若f(x)x在1,上恒成立，求a的取值范圍；()證明：1+(n+1)+)(n1).6.(2010年高考湖南卷理科20)（本小題滿分13分）已知函數(shù)（）證明：當(dāng)（）若對(duì)滿足題設(shè)條件的任意b,c，不等式恒成立，求M的最小值。7.（2010年高考安徽卷理科17）（本小題滿分12分） 設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)。 ()求的單調(diào)區(qū)間與極值；()求證：當(dāng)且時(shí)，。8.（2010年高考全國(guó)卷I理科20）

8、(本小題滿分12分)（注意：在試題卷上作答無(wú)效）已知函數(shù).（）若，求的取值范圍；（）證明： .【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識(shí),通過運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決函數(shù)、不等式問題,考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力以及計(jì)算能力，同時(shí)也考查了函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.【解析】20.解：（），,題設(shè)等價(jià)于.令，則當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，是的最大值點(diǎn)，綜上，的取值范圍是.()有（）知，即.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以9（2010年高考四川卷理科22）（本小題滿分14分）設(shè)（且），g(x)是f(x)的反函數(shù).（）設(shè)關(guān)于的方程求在區(qū)間2，6上有實(shí)數(shù)解，求t的取值范圍；（）當(dāng)ae（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，證

9、明：；（）當(dāng)0a時(shí)，試比較與4的大小，并說(shuō)明理由.10（2010年高考江蘇卷試題20）（本小題滿分16分）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為。如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù)，其中對(duì)任意的都有>0，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì)。(1)設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)。(i)求證：函數(shù)具有性質(zhì)； (ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設(shè)為實(shí)數(shù)，且，若|<|，求的取值范圍。解析本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分。（1）(i)時(shí)，恒成立，函數(shù)具有性質(zhì)；(ii)（方法一）設(shè)，與的符號(hào)相同。當(dāng)時(shí)，故此時(shí)在

10、區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有，所以此時(shí)在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，圖像開口向上，對(duì)稱軸，而，對(duì)于，總有，故此時(shí)在區(qū)間上遞增；（方法二）當(dāng)時(shí)，對(duì)于， 所以，故此時(shí)在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，圖像開口向上，對(duì)稱軸，方程的兩根為：，而 當(dāng)時(shí)，故此時(shí)在區(qū)間上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上遞增； 當(dāng)時(shí)，在上遞減；在上遞增。(2)（方法一）由題意，得：又對(duì)任意的都有>0，所以對(duì)任意的都有，在上遞增。又。當(dāng)時(shí)，且，綜合以上討論，得：所求的取值范圍是（0，1）。（方法二）由題設(shè)知，的導(dǎo)函數(shù)，其中函數(shù)對(duì)于任意的都成立。所以，當(dāng)時(shí)，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增。當(dāng)時(shí)，有，得，同理可得，所以由的單調(diào)性知、，從而有

11、|<|，符合題設(shè)。當(dāng)時(shí)，于是由及的單調(diào)性知，所以|，與題設(shè)不符。當(dāng)時(shí)，同理可得，進(jìn)而得|，與題設(shè)不符。因此綜合、得所求的的取值范圍是（0，1）。11.(2010年全國(guó)高考寧夏卷21）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)。（1） 若，求的單調(diào)區(qū)間；（2） 若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍（21）解：（1）時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加（II）由（I）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故，從而當(dāng)，即時(shí)，而，于是當(dāng)時(shí)，.由可得.從而當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，而，于是當(dāng)時(shí)，.綜合得的取值范圍為.12（2010年高考陜西卷理科21）(本小題滿分14分)已知函數(shù)f（x）=，g（x）=alnx，aR。（1） 若曲線y=f(x)與

12、曲線y=g(x)相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；（2） 設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),當(dāng)h(x)存在最小之時(shí)，求其最小值（a）的解析式；（3） 對(duì)（2）中的（a），證明：當(dāng)a（0，+）時(shí)， （a）1.解 （1）f(x)=,g(x)=(x>0),由已知得 =alnx，=， 解德a=,x=e2,兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為（e2,e） 切線的斜率為k=f(e2)=,切線的方程為y-e=(x- e2).（1） 當(dāng)a.>0時(shí)，令h (x)=0,解得x=,所以當(dāng)0 < x< 時(shí) h (x)<0，h(x)在（0，）上遞減；當(dāng)x>時(shí)，h (x)>

13、0，h(x)在（0，）上遞增。所以x>是h(x)在（0， + ）上的唯一極致點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，從而也是h(x)的最小值點(diǎn)。所以 （a）=h()= 2a-aln=2（2）當(dāng)a     0時(shí)，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+）遞增，無(wú)最小值。故 h(x) 的最小值 （a）的解析式為2a(1-ln2a) (a>o)（3）由（2）知 （a）=2a(1-ln2a)則  1（a ）=-2ln2a，令 1（a ）=0 解得 a =1/2當(dāng) 0<a<1/2

14、時(shí)， 1（a ）>0，所以 （a ） 在(0,1/2) 上遞增當(dāng) a>1/2 時(shí)，  1（a ）<0，所以（a ） 在 (1/2,+)上遞減。所以（a ）在(0,+)處取得極大值（1/2 ）=1因?yàn)椋╝ ）在(0,+)上有且只有一個(gè)極致點(diǎn)，所以（1/2）=1也是（a）的最大值所當(dāng)a屬于 (0,+)時(shí)，總有（a）    113(2010年高考北京市理科18) (本小題共13分)已知函數(shù)()=In(1+)-+(0)。()當(dāng)=2時(shí)，求曲線=()在點(diǎn)(1，(1)處的切線方程；()求()的單調(diào)區(qū)間。（18）（共13分

15、）解：（I）當(dāng)時(shí)，由于，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為即（II），.當(dāng)時(shí)，.所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.故得單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，由，得，所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，故得單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，得，.所以沒在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是14（2010年高考江西卷理科19）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上的最大值為，求的值19（本小題滿分12分）解： 函數(shù)的定義域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，（2）當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為，因此 15（2

16、010年高考遼寧卷理科21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；（II）設(shè).如果對(duì)任意，求的取值范圍。16（2010年高考浙江卷理科22）(本題滿分14分)已知 a是給定的實(shí)常數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a2)(x+b)eX,b R,x=a是f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)。（1）求b的取值范圍；（2）設(shè)x1 ,x2 ,x3 是f(x)的3個(gè)極致點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)b，可找到x4 R ，使得 x1 ,x2 ,x3, x4的某種排列 ,（其中i1, i 2,I3, i4=1,2,3,4）依次成等差數(shù)列？若存在，求所有的b及相應(yīng)的 x4；若不存在，說(shuō)明理由。（22）本題主要考

17、查函數(shù)極值的概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識(shí)。滿分14分。（）解：f(x)=ex(x-a)令于是，假設(shè)（1） 當(dāng)x1=a 或x2=a時(shí)，則x=a不是f(x)的極值點(diǎn)，此時(shí)不合題意。（2） 當(dāng)x1a且x2a時(shí)，由于x=a是f(x)的極大值點(diǎn)，故x1<a<x2.即即此時(shí)或（2）當(dāng)時(shí)，則于是此時(shí)綜上所述，存在b滿足題意，當(dāng)b=-a-3時(shí)，17(2010年高考全國(guó)2卷理數(shù)22）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)（）證明：當(dāng)時(shí)，；（）設(shè)當(dāng)時(shí)，求a的取值范圍【命題意圖】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查考生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力及分類討論的思想，考查考生的計(jì)算能