1、實驗三 一元函數積分學l實驗目的：加深理解定積分的概念，深入理解積分實驗目的：加深理解定積分的概念，深入理解積分理論中理論中分割分割、近似近似、求和求和、取極限取極限的思想方法，初的思想方法，初步了解定積分的近似計算方法步了解定積分的近似計算方法定積分的概念l由定義計算定積分由定義計算定積分l在定積分的定義中，劃分積分區間的方法與在每個在定積分的定義中，劃分積分區間的方法與在每個小區間上取的點小區間上取的點 都是任意的，如果當分劃的每都是任意的，如果當分劃的每個小區間長度的最大值個小區間長度的最大值 趨于趨于0時，它的黎曼和存時，它的黎曼和存在極限，此極限值即為我們所定義的一個函數在一在極限，

2、此極限值即為我們所定義的一個函數在一個指定區間上的定積分。個指定區間上的定積分。i實驗1 利用定義計算積分l下面的程序在區間下面的程序在區間0,1中插入中插入n-1個分點（可以均個分點（可以均勻的產生，也可以借助隨機數產生），在一定意義勻的產生，也可以借助隨機數產生），在一定意義下取得了任意分點與任意的下取得了任意分點與任意的 計算計算 l即可求得即可求得 的近似值的近似值l提高精度的方法是增加分點。提高精度的方法是增加分點。iniif1)(niiixf10)(lim近似生成隨機區間分點近似生成隨機區間分點實驗1 利用定義計算積分Clearf,x;fx_:=x2;a=0;b=1;n=20;Ar

3、rayx,641;x0=a;Fork=1,k=6,k+,xn=b;s=0; Doxi=(i+Random )*(b-a)/n,i,1,n-1; Fori=0,in,i+,delxi=xi+1-xi; c=xi+delxi*Random; s=s+fc*delxi; Printn=,n, s=,s; n=n*2指定區間指定區間a,b及初始區間數及初始區間數預先生成能保存最多區間分點的數組預先生成能保存最多區間分點的數組每個小區間的長度每個小區間的長度每個小區間內隨機取值每個小區間內隨機取值累加求和，注意保存和的累加求和，注意保存和的變量要進行初始化變量要進行初始化分點加密，再計算分點加密，再計算

4、分劃細分分劃細分k次次實驗1 利用定義計算積分l由于分割的任意性及由于分割的任意性及 的任意性，即使的任意性，即使n固定，每固定，每次運行所得的結果也可能不同次運行所得的結果也可能不同l相同的相同的n計算多次時數據都不完全相同，但它們之計算多次時數據都不完全相同，但它們之間的差異不大。間的差異不大。l練習練習1 利用定義計算利用定義計算i02Sinxx從圖形觀察積分和與定積分的關系l定積分定積分 在幾何上表示由曲線在幾何上表示由曲線y=f(x)，直線，直線x=a,x=b及及x軸所圍成的曲邊梯形的面積軸所圍成的曲邊梯形的面積l積分和積分和 在幾何上表示在幾何上表示n個小矩形的面積個小矩形的面積和

5、，其中第和，其中第i個小矩形的高為個小矩形的高為 ，寬為，寬為l實驗實驗2 從圖形上觀察從圖形上觀察 的的積分和積分和與定積分與定積分的關系的關系badxxf)(niiixf1)()(ifix20sinxdx從圖形觀察積分和與定積分的關系l解解 設曲邊梯形由設曲邊梯形由y=sinx，y=0，x=Pi/2為界。為界。l采用分劃的方法，用小區間上矩形的面積來逼近曲采用分劃的方法，用小區間上矩形的面積來逼近曲邊梯形的面積。邊梯形的面積。l當分劃越來越細時，得到的小矩形面積之和與曲邊當分劃越來越細時，得到的小矩形面積之和與曲邊梯形的面積梯形的面積S之間的差越來越小。當每個小區間縮之間的差越來越小。當每

6、個小區間縮向一點時，誤差的極限為向一點時，誤差的極限為0Cleari,n,a,b;Clearf,c,d,x,s;regularpartitiona_,b_,n_:=P=Blocki,TableNa+(b-a)*i/n,i,0,n;randompartitiona_,b_,n_:=P=UnionTableRandomReal,Na,Nb,n-1,Na,Nb;sf_,c_,d_,x_,choice_:=Ifc=xIdentity; two=Blocki,x,PlotReleaseTablesf,UnionNPi,UnionNPi+1,x,choice,i,LengthP-1,x,MinNP-0.1

7、,MaxNP+0.1,PlotRange-All,PlotPoints-50,DisplayFunction-Identity; Blockx,Showtwo,one,PlotLabel-ToStringLengthP-1分劃分劃 最大分劃最大分劃 ToStringNNormPIfChopearf,P,choice=0,無誤差無誤差,誤差誤差ToStringearf,P,choice,PlotRange-All,DisplayFunction-$DisplayFunction);DoviewapproxSin,regularpartition0,Pi,2n,0.5,n,2,6;viewappr

8、oxSin,randompartition0,Pi,16,1;DoviewapproxArcTan,randompartition0,Pi,2n,1,n,2,6;Cleari,n,a,b;Clearf,c,d,x,s;regularpartitiona_,b_,n_:=P=Blocki,TableNa+ (b-a)*i/n,i,0,n;randompartitiona_,b_,n_:=P=UnionTableRandomReal,Na,Nb,n-1,Na,Nb;sf_,c_,d_,x_,choice_:=Ifc=x Identity; two=Blocki,x,PlotReleaseTable

9、sf,UnionNPi,UnionNPi+1,x,choice,i,LengthP-1,x,MinNP-0.1,MaxNP+0.1,PlotRange- All,PlotPoints-50,DisplayFunction-Identity;均勻分劃下黎曼和與定積分值之誤差均勻分劃下黎曼和與定積分值之誤差非均勻分劃下黎曼和與定積分值之誤差非均勻分劃下黎曼和與定積分值之誤差圖形顯示圖形顯示DoviewapproxSin,regularpartition0,Pi,2n,0.5,n,2,6;viewapproxSin,randompartition0,Pi,16,1;DoviewapproxArcTa

10、n,randompartition0,Pi,2n,1,n,2,6;l在區間在區間0,Pi上圖示均勻分劃下上圖示均勻分劃下Sinx的黎曼和，從的黎曼和，從4個區間細分到個區間細分到64個區間個區間l在區間在區間0,Pi上圖示非均勻分劃下上圖示非均勻分劃下Sinx的黎曼和，的黎曼和，16個子區間個子區間l在區間在區間0,Pi上圖示非均勻分劃下上圖示非均勻分劃下ArcTanx的黎曼和，的黎曼和，從從4個區間細分到個區間細分到64個區間個區間3.1.2 從圖形觀察積分和與定積分的關系0.511.522.530.20.40.60.814閪劃跅釥閪劃4.3018誤趷0.0523443N=40.511.52

11、2.530.20.40.60.818閪劃跅釥閪劃5.60886誤趷0.01290910.511.522.530.20.40.60.8116閪劃跅釥閪劃7.59444誤趷0.00321638N=16N=80.511.522.530.20.40.60.8132閪劃跅釥閪劃10.5006誤趷0.0008034160.511.522.530.20.40.60.8164閪劃跅釥閪劃14.6803誤趷0.000200812N=64N=323.1.2 從圖形觀察積分和與定積分的關系l練習練習2 從圖形上觀察從圖形上觀察0412x2x3.1.3 用定義計算定積分的簡化l設函數設函數f(x)在每個小區間在每個小

12、區間xi-1,xi上有最值，分別記上有最值，分別記為為Mi(最大值最大值)和和mi(最小值最小值)，則有，則有l定義上積分定義上積分 下積分下積分l若用積分和近似積分值，其產生的誤差不超過上、若用積分和近似積分值，其產生的誤差不超過上、下積分和之差。下積分和之差。l當當 時，時， 和和 的極限存在且相等，則的極限存在且相等，則S的極的極限即定積分也存在，且等于上積分或下積分的極限限即定積分也存在，且等于上積分或下積分的極限iiiiiixMxfxm)(niiixMS1_niiixMS10SS3.1.3 用定義計算定積分的簡化l實驗實驗3 利用上積分和、下積分和計算利用上積分和、下積分和計算l函數

13、函數f(x)=3x2 在區間在區間0,1上是單調增加的，故在上是單調增加的，故在每個小區間每個小區間xi-1,xi上，最大值上，最大值Mi=f(xi) ，最小值，最小值mi=f(xi-1)，于是，于是l實驗結果表明，只要分割點充分多，上和與下和實驗結果表明，只要分割點充分多，上和與下和 的差可任意小的差可任意小1023dxx2/ )(SSniiiniiixxfxxfSS111)( )(Clearf,x,a,b;fx_:=3 x2;a=0;b=1;n=0;g1=Plotfx,x,a,b,PlotStyle-RGBColor1,0,0;Forj=3,j=100,j*=2;n=j;tt1=;tt2=

14、;supper=0;slower=0; Fori=0,in,i+,x1=a+(b-a)*i/n;x2=x1+(b-a)/n; supper=supper+fx2/n;slower=slower+fx1/n; tt1=Appendtt1,GraphicsRGBColor0,0,1,Rectanglex1,0,x2,fx2; tt2=Appendtt2,GraphicsRGBColor0,1,0,Rectanglex1,fx1,x2,0; a0=upper-slower=ToStringNsupper-slower; a1=approximation isToString(supper+slowe

15、r)/2.; aa=a0a1; g2=GraphicsTextaa,0.5,3.1; Showg1,g2,tt1,tt2,DisplayFunction-$DisplayFunction;Clearf,x,a,b;fx_:=3*x2;a=0;b=1;n=500;Forj=10,j1000,j*=2;n=j;supper=0;slower=0; Fori=0,in,i+,x1=a+(b-a)*i/n;x2=x1+(b-a)/n; supper=supper+fx2/n;slower=slower+fx1/n; Printwhen the number of sub-interval is=,n,

16、approximation is,(supper+slower)/2.,supper-slower=,Nsupper-slower;3.1.3 用定義計算定積分的簡化l當定積分存在時，所有任取的積分和當當定積分存在時，所有任取的積分和當0 時的時的極限都相同，此時可以選擇較簡單的劃分與簡單的極限都相同，此時可以選擇較簡單的劃分與簡單的 l一般地，將區間等分，且讓小區間的某端點作為一般地，將區間等分，且讓小區間的某端點作為 這樣積分和便成為這樣積分和便成為l或或iininabinabaf1) 1(ninabinabaf13.1.3 用定義計算定積分的簡化l實驗實驗4 用上兩式計算定積分用上兩式計

17、算定積分l因為被積函數因為被積函數f(x)=x在在0,M上單調增加，故上兩式上單調增加，故上兩式確定的分別是積分的下積分和與上積分和。確定的分別是積分的下積分和與上積分和。Mxdx0 3.1.3 用定義計算定積分的簡化Clearf, x; n = 1; k = 50000; a = 0.;fx_ = xn;ForM = 1, M RGBColor1,0,0g2=Plotf2x,x,0,3,PlotStyle-RGBColor0,0,1Showg1,g2dttexfxt012)(2)(2xxexfIntegratelIntegratef,x：計算不定積分：計算不定積分lIntegratef,x,

18、min,max：計算定積分：計算定積分lNIntegratef,x,a,b：求數值積分：求數值積分 3.2 定積分近似計算的梯形法l在數值計算中，用前面的兩個公式近似定積分的方在數值計算中，用前面的兩個公式近似定積分的方法稱為矩形法，這是因為這兩個式子在幾何上表示法稱為矩形法，這是因為這兩個式子在幾何上表示一些矩形面積的和（或者說在小區間上用常數近似一些矩形面積的和（或者說在小區間上用常數近似函數）。函數）。l可不可以將小區間上的函數近似認為是線性函數呢可不可以將小區間上的函數近似認為是線性函數呢l最簡單的方法是用連接函數在小區間兩個端點處的最簡單的方法是用連接函數在小區間兩個端點處的值的線段

19、構成的值的線段構成的梯形梯形的面積來的面積來近似曲邊梯形的面積近似曲邊梯形的面積3.2 定積分近似計算的梯形法l在近似計算中常用下式來計算定積分在近似計算中常用下式來計算定積分l它是它是 與與 的和的和nabnabiafbfafni1)(2)()(ninabinabaf1) 1(ninabinabaf13.2 定積分近似計算的梯形法l實驗實驗6 用梯形法近似計算定積分用梯形法近似計算定積分10dxex10110111121)21 (21neneeendxeninininininix3.2 定積分近似計算的梯形法fx_ := Expx; a = 0; b = 1; s0 = 1.; s1 = 0

20、; n = 20; m = 6;WhileAbss0 - s1 10(-m), s1 = s0; s0 = NSumfa + i*(b - a)/n*(b - a)/n, i, 0, n - 1 + Sumfa + i*(b - a)/n*(b - a)/n, i, 1, n/2.; n = n*2;Prints0=,s0l思考一下這里的思考一下這里的While循環的循環條件的含義。循環的循環條件的含義。3.2 定積分近似計算的梯形法l練習練習6 提高計算精度提高計算精度(加密分點加密分點)，根據結果歸納分，根據結果歸納分析析 與與e之間的關系之間的關系l練習練習7 用梯形法近似計算定積分用梯

21、形法近似計算定積分 ，分，分析結果與析結果與Pi的關系。的關系。10dxex10214dxx3.3 定積分的應用l實驗實驗7 平面曲線所圍成圖形的面積平面曲線所圍成圖形的面積l設設 和和l計算區間計算區間0,4上兩曲線所圍成的平面圖形的面積上兩曲線所圍成的平面圖形的面積xxexfcos)2(2)()2cos(4)(xxg實驗8 平面曲線所圍成圖形的面積Clearf,g;fx_=Exp-(x-2)2 CosPi x;gx_=4 Cosx-2;Plotfx,gx,x,0,4,PlotStyle-RGBColor1,0,0,RGBColor0,0,1;FindRootfx=gx,x,1.06FindRootfx=gx,x,2.93NIntegrategx-fx,x,1.06258,2.93742圖形顯示圖形顯示根據圖形使用根據圖形使用FindRoot函函數數(第六章介紹第六章介紹)計算兩曲線計算兩曲線的交點的交點使用使用NIntegrate函數函數(第九第九章介紹章介紹)計算兩條曲線間計算兩條曲線間所圍面積的數值積分所圍面積的數值積分3.3 定積分的應用l練習練習8 設設 和和 l計算兩曲線所圍成的平面圖形的面積計算兩曲線所圍成的平面圖形的面積1121811310/3)(2345xxxxxxf3256284)(23xxxxg3