1、2022高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第七章 立體幾何初步【知識(shí)圖解】【方法點(diǎn)撥】立體幾何研究的是現(xiàn)實(shí)空間，認(rèn)識(shí)空間圖形，可以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力。空間的元素是點(diǎn)、線、面、體，對于線線、線面、面面的位置關(guān)系著重研究它們之間的平行與垂直關(guān)系，幾何體著重研究棱柱、棱錐和球。在復(fù)習(xí)時(shí)我們要以下幾點(diǎn)：1注意提高空間想象能力。在復(fù)習(xí)過程中要注意：將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形，并明確已知元素之間的位置關(guān)系及度量關(guān)系；借助圖形來反映并思考未知的空間形狀與位置關(guān)系；能從復(fù)雜圖形中邏輯的分析出基本圖形和位置關(guān)系，并借助直觀感覺展開聯(lián)想與猜想，進(jìn)行推理與計(jì)算。2歸納總結(jié)，分

2、門別類。從知識(shí)上可以分為：平面的基本性質(zhì)、線線、線面、面面的平行與垂直、空間中角與距離的計(jì)算。3抓主線，攻重點(diǎn)。針對一些重點(diǎn)內(nèi)容加以訓(xùn)練，平行和垂直是位置關(guān)系的核心，而線面垂直又是核心的核心，角與距離的計(jì)算已經(jīng)降低要求。4復(fù)習(xí)中要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)與提煉。立體幾何中蘊(yùn)含著豐富的思想方法，如：將空間問題轉(zhuǎn)化成平面圖形來解決、線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化、空間位置關(guān)系的判斷及角與距離的求解轉(zhuǎn)化成空間向量的運(yùn)算。第1課 空間幾何體【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1觀察認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)；2能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易

3、組合）的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二側(cè)法畫出它們的直觀圖；3通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式；4.了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式。【基礎(chǔ)練習(xí)】1一個(gè)凸多面體有8個(gè)頂點(diǎn)，如果它是棱錐，那么它有 14 條棱， 8 個(gè)面；如果它是棱柱，那么它有 12 條棱 6 個(gè)面。2.（1）如圖，在正四面體ABCD中，E、F、G分別是三角形ADC、ABD、BCD的中心，則EFG在該正四面體各個(gè)面上的射影所有可能的序號(hào)是 。（2）如圖，E、F分別為正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的

4、面上的射影可能是圖的 （要求：把可能的圖的序號(hào)都填上）.【范例導(dǎo)析】例1下列命題中，假命題是 （1）（3） 。（選出所有可能的答案）（1）有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形的多面體是棱柱（2）四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形（3）有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)（4）若一個(gè)幾何體的三視圖都是矩形，則這個(gè)幾何體是長方體分析：準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解決概念題的關(guān)鍵。（1）中將兩個(gè)斜棱柱對接在一起就是反例。（3）中是不是棱臺(tái)還要看側(cè)棱的延長線是否交于一點(diǎn)。例2是正ABC的斜二測畫法的水平放置圖形的直觀圖，若的面積為，那么ABC的面積為_。解析：。點(diǎn)

5、評(píng)：該題屬于斜二測畫法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于建立實(shí)物圖元素與直觀圖元素之間的對應(yīng)關(guān)系。特別底和高的對應(yīng)關(guān)系。例3（1）畫出下列幾何體的三視圖（2）（2）某物體的三視圖如下，試判斷該幾何體的形狀分析：三視圖是從三個(gè)不同的方向看同一物體得到的三個(gè)視圖。解析：（1）這兩個(gè)幾何體的三視圖分別如下：（2）該幾何體為一個(gè)正四棱錐。點(diǎn)評(píng)：畫三視圖之前，應(yīng)把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，選擇一個(gè)合適的主視方向。一般先畫主視圖，其次畫俯視圖，最后畫左視圖。畫的時(shí)候把輪廓線要畫出來，被遮住的輪廓線要畫成虛線。物體上每一組成部分的三視圖都應(yīng)符合三條投射規(guī)律。主視圖反映物體的主要形狀特征，主要體現(xiàn)物體的長和高，不反映物體的寬。

6、而俯視圖和主視圖共同反映物體的長要相等。左視圖和 俯視圖共同反映物體的寬要相等。據(jù)此就不難得出該幾何體的形狀。【反饋演練】1一個(gè)圓柱的側(cè)面積展開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是。2如圖，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則=。解析：水面高度升高r，則圓柱體積增加R2·r。恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積，因此有r3=R2r。故。答案為。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識(shí)以及計(jì)算能力和分析、解決問題的能力。3在ABC中，AB=2，BC=1.5，ABC=120°（如圖所示），若將ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則

7、所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是。4空間四邊形中，分別是邊上的點(diǎn)，且為平行四邊形，則四邊形的周長的取值范圍是_。5三棱錐中，其余棱長均為1。（1）求證：；（2）求三棱錐的體積的最大值。解：（1）取中點(diǎn)，與均為正三角形， 平面。 (2)當(dāng)平面時(shí)，三棱錐的高為，此時(shí)6已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，它被過底面中心O1且平行于母線AB的平面所截，若截面與圓錐側(cè)面的交線是焦參數(shù)（焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離）為p的拋物線.（1）求圓錐的母線與底面所成的角；（2）求圓錐的全面積 解: （1）設(shè)圓錐的底面半徑為R，母線長為l，由題意得：,即,所以母線和底面所成的角為(2)設(shè)截面與圓錐側(cè)面的交線為MON，其中O為截面與AC的交點(diǎn)

8、，則OO1/AB且在截面MON內(nèi)，以O(shè)O1所在有向直線為y軸，O為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，則O為拋物線的頂點(diǎn)，所以拋物線方程為x2=2py，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（R，R），代入方程得：R2=2p（R），得：R=2p，l=2R=4p.圓錐的全面積為.說明：將立體幾何與解析幾何相鏈接, 頗具新意, 預(yù)示了高考命題的新動(dòng)向. 第2課 平面的性質(zhì)與直線的位置關(guān)系【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1掌握平面的基本性質(zhì)，能夠畫出空間兩條直線的各種位置關(guān)系，能夠根據(jù)圖形想象它們之間的位置關(guān)系。2掌握兩條直線之間的平行與垂直的有關(guān)問題，并能進(jìn)行解決和證明相關(guān)問題。3理解反證法證明的思路，會(huì)用反證法進(jìn)行相關(guān)問題的證明。【基礎(chǔ)練習(xí)】1 下面是一些命

9、題的敘述語,其中命題和敘述方法都正確的是 （3） 。（1）， （2），（3）， （4），2下列推斷中，錯(cuò)誤的是 （4） 。（1） （2），A,B,C不共線重合（3） （4）3判斷下列命題的真假，真的打“”，假的打“×”（1）空間三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面 （ ）（2）兩個(gè)平面若有不同的三個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面重合（ ）（3）兩條直線可以確定一個(gè)平面（ ）（4）若四點(diǎn)不共面，那么每三個(gè)點(diǎn)一定不共線（ ）（5）兩條相交直線可以確定一個(gè)平面（ ）（6）三條平行直線可以確定三個(gè)平面（ ）（7）一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面（ ）（8）兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面（ ）××&#

10、215;×××4如右圖，點(diǎn)E是正方體的棱的中點(diǎn)，則過點(diǎn)E與直線和都相交的直線的條數(shù)是： 1 條5完成下列證明，已知直線a、b、c不共面，它們相交于點(diǎn)P，AÎa，DÎa，BÎb，EÎc求證：BD和AE是異面直線證明：假設(shè)_ 共面于g，則點(diǎn)A、E、B、D都在平面_ _內(nèi) QAÎa，DÎa，_Ì. QPÎa，PÎ_.QPÎb，BÎb，PÎc，EÎc _ _Ìg， _Ìg，這與_矛盾 BD、AE_答案：假設(shè)BD、AE共面于g

11、，則點(diǎn)A、E、B、D都在平面 g 內(nèi)。AÎa，DÎa， a Ìg. PÎa，PÎ g .PÎb，BÎb，PÎc，EÎc. b Ìg，c Ìg，這與a、b、c不共面矛盾BD、AE是異面直線翰林【范例導(dǎo)析】例1已知，從平面外一點(diǎn)引向量，（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）平面平面分析 ：證明四點(diǎn)共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理證明，也可以轉(zhuǎn)化為直線共面的條件即幾何證法。解：法一：（1）四邊形是平行四邊形，共面；（2），又，所以，平面平面法二：（1） 同理 又 共面；（2）由（1）知：，從而

12、可證同理可證，所以，平面平面點(diǎn)評(píng)：熟練掌握定理是證明的關(guān)鍵，要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用。例2已知空間四邊形ABCD.(1)求證：對角線AC與BD是異面直線;(2)若ACBD,E,F,G,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),試判斷四邊形EFGH的形狀;(3)若ABBCCDDA,作出異面直線AC與BD的公垂線段.翰林匯分析：證明兩條直線異面通常采用反證法。證明：(1)（反證法）假設(shè)AC與BD不是異面直線，則AC與BD共面，所以A、B、C、D四點(diǎn)共面這與空間四邊形ABCD的定義矛盾所以對角線AC與BD是異面直線 (2)解：E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),EF/AC,且EF=AC.同理HG/AC,且HG=A

13、C.EF平行且相等HG,EFGH是平行四邊形.又F,G分別為BC,CD的中點(diǎn),FG/BD,EFG是異面直線AC與BD所成的角.ACBD,EFG=90o.EFGH是矩形.(3)作法取BD中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)F,連EF,則EF即為所求.點(diǎn)評(píng)：在空間四邊形中我們通常會(huì)遇到上述類似的問題，取中點(diǎn)往往是很有效的方法，特別是遇到等腰三角形的時(shí)候。例3如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方體的棱和棱上的點(diǎn)，且，求證：四邊形是平行四邊形簡證：由可以證得所以 又可以由正方體的性質(zhì)證明所以四邊形是平行四邊形例4：如圖，已知平面，且是垂足（）求證：平面；（）若，試判斷平面與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：（）因?yàn)椋酝碛郑?/p>

14、平面（）平面平面。證明如下：設(shè)與平面的交點(diǎn)為，連結(jié)、因?yàn)槠矫妫裕允嵌娼堑钠矫娼怯郑裕丛谄矫嫠倪呅沃校怨势矫嫫矫妗痉答佈菥殹?判斷題（對的打“”，錯(cuò)的打“×”） （1）垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條（ ） （2）兩線段AB、CD不在同一平面內(nèi)，如果AC=BD，AD=BC，則ABCD（ ） （3）在正方體中，相鄰兩側(cè)面的一對異面的對角線所成的角為60º（ ） （4）四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對邊垂直（ ）答案：（1）× （2）× （3） （4）× 2定點(diǎn)P不在ABC所在平面內(nèi)，過P作平面，使ABC的三個(gè)頂

15、點(diǎn)到的距離相等，這樣的平面共有 4 個(gè)。3給出以下四個(gè)命題：（1）若空間四點(diǎn)不共面，則其中無三點(diǎn)共線；（2）若直線上有一點(diǎn)在平面外，則該直線在平面外；（3）若直線a,b,c中，a與b共面且b與c共面，則a與c共面；（4）兩兩相交的三條直線共面。其中所有正確命題的序號(hào)是 (1)(2) 。4如圖，已知（A,B不重合）過A在平面內(nèi)作直線AC，過B在平面內(nèi)作直線BD。求證：AC和BD是異面直線。證明：（反證法）若AC和BD不是異面直線，設(shè)確定平面，則由題意可知：平面和都過AC和AC外一點(diǎn)B，所以兩平面重合。同理可證平面和也重合，所以平面和也重合。這與已知條件平面和相交矛盾。所以AC和BD是異面直線。第

16、3課 空間中的平行關(guān)系【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1掌握直線和平面平行、兩個(gè)平面平行的判定定理和性質(zhì)定理。2明確定義與定理的不同，定義是可逆的，既是判定也是性質(zhì)，而判定定理與性質(zhì)定理多是不可逆的。3要能靈活的對“線線平行”、“線面平行”和“面面平行”進(jìn)行轉(zhuǎn)化。【基礎(chǔ)練習(xí)】1若為異面直線，直線ca，則c與b的位置關(guān)系是 異面或相交。 2給出下列四個(gè)命題:垂直于同一直線的兩條直線互相平行. 垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行.若直線與同一平面所成的角相等,則互相平行.若直線是異面直線,則與都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題的個(gè)數(shù)是 4 個(gè)。3對于任意的直線l與平面a,在平面a內(nèi)必有直線m,使m與l 垂直 。4.

17、 已知a、b、c是三條不重合的直線，、r是三個(gè)不重合的平面，下面六個(gè)命題：ac，bcab；ar，brab；c，c；r，r；ac，ca；ar，ra其中正確的命題是 。 【范例導(dǎo)析】例1如圖，在四面體ABCD中，截面EFGH是平行四邊形求證：AB平面EFG證明 ：面EFGH是截面點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在BC，BD，DA，AC上EH 面ABC，GF 面ABD，由已知，EHGFEH面ABD又 EH 面BAC，面ABC面ABD=ABEHABAB面EFG例2 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，并且CM=DN.求證:MN平面AA1B1B.分析：“線線平

18、行”、“線面平行”、“面面平行”是可以互相轉(zhuǎn)化的。本題可以采用任何一種轉(zhuǎn)化方式。簡證：法1：把證“線面平行”轉(zhuǎn)化為證“線線平行”。即在平面ABB1A1內(nèi)找一條直線與MN平行，如圖所示作平行線即可。法2：把證“線面平行”轉(zhuǎn)化為證“線線平行”。連CN并延長交直線BA于點(diǎn)P，連B1P，就是所找直線，然后再設(shè)法證明MNB1P.法3：把證“線面平行”轉(zhuǎn)化為證“面面平行”。過M作MQ/BB1交BC于B1，連NQ,則平面MNQ與平面ABB1A1平行，從而證得MN平面ABB1A1.點(diǎn)評(píng)：證明線面或面面平行的時(shí)候一定要注意相互的轉(zhuǎn)化，非常靈活。【反饋演練】1對于平面和共面的直線、下列命題中真命題是（3）。（1）

19、若則 （2）若則（3）若則 （4）若、與所成的角相等，則2. 設(shè)a、b是兩條異面直線，那么下列四個(gè)命題中的假命題是 （2） 。（1）經(jīng)過直線a有且只有一個(gè)平面平行于直線b（2）經(jīng)過直線a有且只有一個(gè)平面垂直于直線b（3）存在分別經(jīng)過直線a和b的兩個(gè)互相平行的平面（4）存在分別經(jīng)過直線a和b的兩個(gè)互相垂直的平面3關(guān)于直線a、b、l及平面M、N，下列命題中正確的是（4） 。（1）若aM，bM，則ab （2）若aM，ba，則bM（3）若aM，bM，且la，lb，則lM （4）若aM，aN，則MN4“任意的，均有”是“任意，均有”的 充要條件 。5.在正方體AC1中，過A1C且平行于AB的截面是 面A

20、1B1CD .6在長方體ABCDA1B1C1D1中，經(jīng)過其對角線BD1的平面分別與棱AA1,CC1相交于E,F兩點(diǎn)，則四邊形EBFD!的形狀為 平行四邊形 。7. 已知為平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求證：平面證明 連交于，連，則為的中位線，平面，平面，平面 8如圖，已知是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若， 求異面直線與所成的角的大小略證：（1）取PD的中點(diǎn)H，連接AH， 為平行四邊形 (2): 連接AC并取其中點(diǎn)為O，連接OM、ON，則OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以就是異面直線與所成的角，由，得，OM=2，ON=所以，即異面

21、直線與成的角9兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AM=FN，求證：MN平面BCE。證法一：作MPBC，NQBE，P、Q為垂足，則MPAB，NQAB。MPNQ，又AM=NF，AC=BF，MC=NB，MCP=NBQ=45°RtMCPRtNBQMP=NQ，故四邊形MPQN為平行四邊形MNPQPQ平面BCE，MN在平面BCE外，MN平面BCE。證法二：如圖過M作MHAB于H，則MHBC，連結(jié)NH，由BF=AC，F(xiàn)N=AM，得 NH/AF/BE由MH/BC, NH/BE得:平面MNH/平面BCEMN平面BCE。第4課 空間中的垂直關(guān)系【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1掌握直線

22、與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，并能用它們證明和解決有關(guān)問題。2線面垂直是線線垂直與面面垂直的樞紐，要理清楚它們之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)互相轉(zhuǎn)化，善于利用轉(zhuǎn)化思想。【基礎(chǔ)練習(xí)】1“直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線”是“”的 必要 條件。2如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是 平行或相交 。3在正方體中，與正方體的一條對角線垂直的面對角線的條數(shù)是 6 。4兩個(gè)平面互相垂直，一條直線和其中一個(gè)平面平行，則這條直線和另一個(gè)平面的位置關(guān)系是平行、相交或在另一個(gè)平面內(nèi) 。5在正方體中，寫出過頂點(diǎn)A的一個(gè)平面_AB1D1_，使該平面與正方體的12條棱所在的直線所成的角均相等(注：填上

23、你認(rèn)為正確的一個(gè)平面即可，不必考慮所有可能的情況)。【范例導(dǎo)析】例1如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EFPB交PB于點(diǎn)F.（1）證明PA/平面EDB； （2）證明PB平面EFD.解析：本小題考查直線與平面平行,直線與平面垂直基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力和推理論證能力.證明：（1）連結(jié)AC,AC交BD于O,連結(jié)EO.底面ABCD是正方形,點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)在中,EO是中位線,PA / EO而平面EDB且平面EDB,所以,PA / 平面EDB（2）PD底面ABCD且底面ABCD,PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜邊PC的中

24、線,. 同樣由PD底面ABCD,得PDBC.底面ABCD是正方形,有DCBC,BC平面PDC.而平面PDC,. 由和推得平面PBC. 而平面PBC,又且,所以PB平面EFD.例2如圖，ABC 為正三角形，EC 平面ABC ，BD CE ，CE CA 2 BD ，M 是EA 的中點(diǎn)，求證：（1）DE DA ；（2）平面BDM 平面ECA ；（3）平面DEA 平面ECA。分析：（1）證明DE DA ，可以通過圖形分割，證明DEF DBA。（2）證明面面垂直的關(guān)鍵在于尋找平面內(nèi)一直線垂直于另一平面。由（1）知DM EA ，取AC 中點(diǎn)N ，連結(jié)MN 、NB ，易得四邊形MNBD 是矩形。從而證明DM

25、 平面ECA。證明：（1）如圖，取EC 中點(diǎn)F ，連結(jié)DF。 EC 平面ABC ，BD CE ，得DB 平面ABC 。 DB AB ，EC BC。 BD CE ，BD CE FC ，則四邊形FCBD 是矩形，DF EC。又BA BC DF ， RtDEF RtABD ，所以DE DA。（2）取AC 中點(diǎn)N ，連結(jié)MN 、NB ， M 是EA 的中點(diǎn)， MN EC。由BD EC ，且BD 平面ABC ，可得四邊形MNBD 是矩形，于是DM MN。 DE DA ，M 是EA 的中點(diǎn)， DM EA 又EA MN M ， DM 平面ECA ，而DM 平面BDM ，則平面ECA 平面BDM。（3） DM

26、 平面ECA ，DM 平面DEA ， 平面DEA 平面ECA。點(diǎn)評(píng)：面面垂直的問題常常轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直的問題解決。例3如圖，直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC BC 1，ACB 90°，AA1 ，D 是A1B1 中點(diǎn)（1） 求證C1D 平面A1B ；（2）當(dāng)點(diǎn)F 在BB1 上什么位置時(shí)，會(huì)使得AB1 平面C1DF ？并證明你的結(jié)論。分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要證明C1D 垂直交線A1B1 ，由直線與平面垂直判定定理可得C1D 平面A1B。（2）由（1）得C1D AB1 ，只要過D 作AB1 的垂線，它與BB1 的交點(diǎn)即為所求的F 點(diǎn)位置。證明：（1）如圖， ABCA1B1C1 是直三棱柱， A1C1 B1C1 1，且A1C1B1 90°。又 D 是A1B1 的中點(diǎn)， C1D A1B1 . AA1 平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， AA1 C1D ， C1D 平面AA1B1B。（2）解：作DE AB1 交AB1 于E ，延長DE 交BB1 于F ，連結(jié)C1F ，則AB1 平面C1DF ，點(diǎn)F 即為所求。 C1D 平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ， C1D AB