1、觀察一一歸納一猜想一一找規律給出幾個具體的、特殊的數、式或圖形，要求找出其中的變化規律，從而猜想出一般性的結論的思路是實施特殊向一般的簡化；具體方法和步驟是：（1） 通過對幾個特例的分析，尋找規律并且歸納;（2） 猜想符合規律的一般性結論；（3）驗證或證明結論是否正確，下面通過舉例來說明這些問題一、數字類基本技巧（一）標出序列號：例如，觀察下列各式數：0, 3, 8,15, 24,。我們把有關的量放在一起加以比較：給出的數：0, 3 , 8, 15 , 24 ,。序列號：1 , 2, 3,4,5,。2容易發現，已知數的每一項，都等于它的序列號的平方減1。因此，第 n 項是n-1（二）公因式法：

2、 每位數分成最小公因式相乘，然后再找規律，看是不是與n,或 2n、3n 有關。2例如：1 , 9, 25, 49,（81 ） , （121 ）,的第 n 項為（2 n一1）,1 , 2 , 3 , 4 , 5.。,從中可以看出 n=2 時，正好是 2X2-1 的平方,n=3 時，正好是 2X3-1 的平方，以 此類推。（三）增副A: 2、9、28、65?增幅是 7、19、37.,增幅的增幅是 12、183答案與 3 有關且是 n 的 3 次幕，即:n +1B : 2、4、& 16.增幅是 2、4、8.答案與 2 的乘方有關即：丫（四）有的可對每位數同時減去第一位數，成為第二位開始的新數

3、列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位數與位置的關系。再在找出的規律上加上第一位數，恢復到原來。例：2、5、10、17、26，同時減去 2 后得到新數列：0、3、8、15、24,序列號：1、2、3、4、5,從順序號中可以看出當 n=1 時，得 1*1-1 得 0，當 n=2 時，2*2-1 得 3, 3*3-1=8 ,2 2以此類推，得到第 n 個數為n-1。再看原數列是同時減 2 得到的新數列，則在n -1的基礎上加 2，得到原數列第 n（五）有的可對每位數同時加上，或乘以，或除以第一位數，成為新數列，然后，在再找出規律，并恢復到原?解題例題：2, 5, 8,()例題 5:12, 15

4、, 18,(), 24, 27來。例：4, 16, 36, 64,?,144, 196,？同除以 4 后可得新數列是同除以 4 得到的新數列，24*100 =40000（一）等差數列1、 4、9、16（第一百個數）2，很顯然是位置數的平方，得到新數列第n 項即 n，原數列2n 的公式后再乘以 4 即，4n,則求出第一百個數為A.20B.21C.22D.23(二)等比數列例題 1:2, 1,1/2,()。A.0B.1/4C.1/8D.-1例題 2:2, 8,32, 128,()。(三)平方數列1、 完全平方數列：正序：1 , 4, 9, 16, 25逆序：100, 81, 64, 49, 362

5、、 一個數的平方是第二個數。1) 直接得出：2, 4, 16, ( 256 )解析：前一個數的平方等于第二個數，答案為256。2) 一個數的平方加減一個數等于第二個數：1 , 2, 5, 26, (677)前一個數的平方加 1 等于第二個數，答案為677。3、 隱含完全平方數列：1) 通過加減一個常數歸成完全平方數列：0, 3, 8, 15, 24, ( 35 )前一個數加 1 分別得到 1, 4, 9, 16, 25,分別為 1 , 2, 3, 4, 5 的平方，答案 352) 相隔加減，得到一個平方數列：例：65, 35, 17, ( 3 ), 1A.15B.13C.9D.3解析：不難感覺

6、到隱含一個平方數列。進一步思考發現規律是：65 等于 8 的平方加 1, 35 等于 6 的平方減 1 , 17 等于 4 的平方加 1,再觀察時發現：奇位置數時都是加1,偶位置數時都是減 1,所以下一個數應該是 2 的平方減 1 等于 3,答案是 D。* (四)立方數列立方數列與平方數列類似。例題 1 : 1 , 8, 27 , 64 , ( 125 )解析：數列中前四項為1 , 2 , 3 , 4 的立方，顯然答案為5 的立方，為 125。例題 2: 0 , 7 , 26 , 63 , ( 124 )解析：前四項分別為1 , 2 , 3 , 4 的立方減 1,答案為 5 的立方減 1,為

7、124。(五)、加法數列數列中前兩個數的和等于后面第三個數：n1+n2=n3例題 1:1, 1 , 2, 3, 5, (8 )。A8 B7C9 D10解析：第一項與第二項之和等于第三項，第二項與第三項之和等于第四項，第三項與第四項之和等于第五項，按此規律 3 +5=8 答案為 A。例題 2:4 , 5 , ( 9 ) , 14 , 23 , 37A 6 B 7 C 8 D 9解析：與例一相同答案為D例題 3:22 , 35 , 56 ,90 , ( 145 ) 99 年考題A 162 B 156 C 148 D 145解析：22 +35 -仁 56 , 35+ 56-仁 90 , 56+ 90

8、 -仁 145 ,答案為 D(六)、減法數列前兩個數的差等于后面第三個數：n1-n 2=n3例題 1 :6 , 3 , 3 , ( 0 ) , 3 , -3A 0B 1 C 2 D 3解析：6-3=3 , 3-3=0 , 3-0=3 , 0-3=-3 答案是 A。(提醒您別忘了：空缺項在中間，從兩邊找規律”)(七)、乘法數列1、前兩個數的乘積等于第三個數例 1：1 , 2, 2, 4, 8, 32, ( 256)前兩個數的乘積等于第三個數，答案是256。例題 2:2，12，36，80，() (2007 年考題)A.100B.125C.150D.175解析：2X1 , 3 總，4X9,5X16

9、自然下一項應該為 6X25= 150 選 C,此題還可以變形為：12324,425.,以此類推，得出nE1)2、兩數相乘的積呈現規律：等差，等比，平方等數列。例題 2:3/2 , 2/3, 3/4, 1/3, 3/8 ( A ) (99 年海關考題)A 1/6B 2/9C 4/3 D 4/9解析：3/2 2/3=1 2/3X/4=1/2 3/4X3=1/4 1/3X8=1/8 3/8X1/16 答案是 A。(八) 、除法數列與乘法數列相類似，一般也分為如下兩種形式：1、兩數相除等于第三數。2、兩數相除的商呈現規律：順序，等差，等比，平方等。(九) 、質數數列由質數從小到大的排列：2, 3, 5

10、, 7, 11, 13, 17, 19-(十)、循環數列幾個數按一定的次序循環出現的數列。例：3, 4, 5, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 3, 4以上數列只是一些常用的基本數列，考題中的數列是在以上數列基礎之上構造而成的，下面我們主要分析以下近幾年考題中經常出現的幾種數列形式。1、二級數列這里所謂的二級數列是指數列中前后兩個數的和、差、積或商構成一個我們熟悉的某種數列形式。例 1 : 2612 2030( 42 )A.38B.42C.48D.56解析：后一個數與前個數的差分別為：4, 6, 8,差應該是 12,所以答案應該是 B。例 2: 20 2225 30 37()A.39B.4

11、5C.48D.51解析：后一個數與前一個數的差分別為：2, 3,應該是 11 ,所以答案應該是 Co例 3: 25112032( 47)A.43B.45C.47D.49解析：后一個數與前一個數的差分別為：3, 6,32 的差應該是 15,所以答案應該是 Co例 4: 4 5 71119( 35 )A.27B.31C.35D.41解析：后一個數與前一個數的差分別為：1 , 2,應該是 16,所以答案應該是 C0例 5: 347 16( 43 )10 這顯然是一個等差數列，因而要選的答案與30 的5, 7 這是一個質數數列，因而要選的答案與37 的差9, 12 這顯然是一個等差數列，因而要選的答案

12、與4, 8 這是一個等比數列，因而要選的答案與 19 的差31 的差應該是 32,所以答案應該是 Co例 9: (69 ), 36, 19, 10, 5, 2A.77B.69C.54D.48解析：相鄰兩個數的和構成一個完全平方數列，即：1+3=4=22, 6+10=16=42，貝 V 15+ ? =36=62呢，答案應該是 Bo- A23-BIT- C39-D.43-解析：后一個數與前一個數的差分別為：差應該是 27,所以答案應該是 D0例 6: 32 2723 20 18( 17 )A.14B.15C.16D.171, 3,9 這顯然也是一個等比數列，因而要選的答案與16 的解析：后一個數與

13、前一個數的差分別為:18 的差應該是-1，所以答案應該是 D。例 7:-5,-4,-3, -2 這顯然是一個等差數列，因而要選的答案與A.20解析: 的差應該是1， 4，8，13，16， 20，B.25C.27D.28后一個數與前一個數的差分別為：5，所以答案應該是 B。例 & 1，3，7，15，31， ( 63A.61B.62C.63D.64解析：后一個數與前一個數的差分別為:(25 )3,3, 4 這是一個循環數列，因而要選的答案2, 4,16 這顯然是一個等比數列，因而要選的答案與解析：前一個數與后一個數的差分別為：后面的數應該是 17*2-1=33，因而 33+36=69例 1

14、0:1, 2, 6, 15, 31, ( 56)3,答案應該是5,9,17 這個數列中前一個數的2 倍減 1 得后一個數，A.53B.56C.62D.87解析：后一個數與前一個數的差分別為: 與 31的差應該是 25,所以答案應該是 B。例 11 :1, 3, 18, 216, (5184 )1, 4,9,16 這顯然是一個完全平方數列，因而要選的答案A.1023B.1892C.243D.5184解析：后一個數與前一個數的比值分別為：3,的比值應該是 24,所以答案應該是 D : 216*24=5184。例 12:-21716 ( 28 )436,12 這顯然是一個等比數列，因而要選的答案與2

15、16A.25B.28 C.3l D.35解析：后一個數與前一個數的差值分別為:差值應該是 12,所以答案應該是 B。例 13:1 361015()3,6,9 這顯然是一個等差數列，因而要選的答案與16 的A.20B.21C.30D.25例 14:102, 96, 108, 84, 132, (36 ) , ( 228)解析：后項減前項分別得-6, 12, -24 , 48,是一個等比數列，則 48 后面的數應為-96, 132-96=36，再看-96 后面應是96X2=192 , 192+36=228 。1、設計類1111 1【例 1】在數學活動屮，小明為了求所示的圖形。1111+ + ,(1

16、)請你利用這個幾何圖形求 的值(結果用 n 表示)，設計如圖 a1的值為_。2三、動態類【例 3】右圖是一回形圖，其回形通道的寬與0B 的長均為 1，回形線與射線 0A 交于點 Ai,A氏,若從 0 點到 A1 點的回形線為第 1 圈(長為 7)，從 Ai點到 A 點的回形線為第 2 圈，”，依此類推。則第 10 圈的長為_。Ci【例 4】已知甲運動方式為：先豎直向上運動1 個單位長度后，再水平向右運動2 個單位長度；乙運動方式為：先豎直向下運動2 個單位長度后，再水平向左運動3 個單位長度。在平面直角坐標系內，現有一動點 P 第 1 次從原點 0 出發按甲方式運動到點P,第 2 次從點 P1

17、出發按乙方式運動到點P,第 3 次從點 P2出發再按甲方式運動到點 P3，第 4 次從點 P3出發再按乙方式運動到點P4, ”。依此運動規律，則經過 第 11 次運動后，動點P 所在位置 Pn 的坐標是 _ 。解析：【例 3】我們從簡單的情形出發，從中發現規律，第1 圈的長為 1+1+2+2+1 ,第 2 圈的長為2+3+4+4+2，第三圈的長為 3+5+6+6+3，第四圈的長為 4+7+8+8+4 ,歸納得到第10 圈的長為10+19+20+20+10 =79。(2)請你利用圖 b,再設計一個能求.1111-A=-1的值的幾何圖形。M1B【例 4】(一 3, 4)四、計算類【例 10】觀察下

18、列等式：la+2xl=lx(l+2) 2a+2x2=2x(2+2)示為_。解析：【例 10】八-上八+ J(x-l)(F+/ + x+l)=-l,根據前面的規律，(其中 n 為正整數)-: -?：；門：二，”則第 n 個等式可以表【例 11】 觀察下列各式:(xT)(+ x+l)=A3-1。？得：I): . 1, n 表示了自然數）析-五、圖形類【例 13】在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標都為整數的點稱為整點。觀察圖中每一個正方形（實線）四條邊上的整點的個數，請你猜測由里向外第10 個正方形（實線）四條邊上的整點共有_ 個解析：【例 13】第一個正方形的整點數為2X4-4 = 4，第二個正方

19、形的 正點數有 3X4 4= 8，第三個正方形的整點數為 4X4 4= 12 個，”故第10 個正方形的整點數為 11X4-4 = 40 ,例 14】“* ”代表甲種植物，“企”代表乙種植物，為美化環境，采用如圖所示方案種植。按此規律，第六個圖案中應種植乙種植物株 【例14】第一個圖案中以乙中植物有2X2= 4 個，第二個圖案中以乙中植物有3X3= 9 個，第三個圖案中以乙中植物有 4X4= 16 個，”故第六個圖案中以乙中植物有7X7= 49 個.培養思維的高度訓練敏銳的觀察、數字排列規律題1 觀察下列各算式：2 21+3=4=2 1+3+5=9=3， 1+3+5+7=16=4按此規律（1）

20、試猜 1+3+5+7+- +2005+2007 的值？想（2）推廣：1+3+5+7+9+ ?+ （2n-1）+ （2n +1）的和是多少 ？2、 下面數列后兩位應該填上什么數字呢？3 5 8 12 173、 請填出下面橫線上的數字。112358214、有一串數，它的排列規律是 什么？1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、聰明的你猜猜第 100 個數是5、有一串數字 36101521第 6 個是什么數？6、觀察下列一組數的排列：1、2、3、4、 3、 2、 1、 2、 3、 4、3、2、1、,，那么第 2005 個數是（A . 1 B . 2 C . 3 D47、100 個數排成一行，

21、其中任意三個相鄰數中，中間一個數都等于它前后兩個數的和，如果這100 個數的前兩個數依次為 1，0,那么這 100 個數中0”的個數為 _ 個.二、幾何圖形變化規律題1、 觀察下列球的排列規律（其中？是實心球，0是空心球）：從第 1 個球起到第 2004 個球止，共有實心球 _ 個.2、 觀察下列圖形排列規律（其中是三角形，是正方形，0是圓），口0厶口口0厶口0厶口口0口，若第一個圖形是正方形，則第2008 個圖形是 _ （填圖形名稱）？三、1、數、式計算規律題已知下列等式： 13= 12;213+ 23= 32;313+ 23+ 33= 62;413+ 23+ 33+ 43= 102;由此規律知，第個等式是2、觀察下面的兒個算式：1+2+仁 4 ,1+2+3+2+1=9 ,1+2+3+4+3+2+1=161+2+3+4+5+4+3+2+J仁 25 ,根據你所發現的規律，請你直接寫出下面式子的結果：1+2+3+ , +99+100+99+ , +3+2+1=_13、 1+2+3+ , +100 = ?經過研究，這個問題的一般性結論是1+2+3+, +n