1、自動控制理論精品課程26/4/200950/電氣學院電氣學院第五章 頻率特性法第五章 頻率特性法 在工程實際中，人們常運用頻率特性法來分析和設計控制系統的性能。 頻率特性法是一種圖解分析法，主要是通過系統的開環頻率特性的圖形來分析閉環系統的性能，因而可避免繁瑣復雜的運算。來分析和設計控制系統的性能。第一節 頻率特性的基本概念第二節 典型環節與系統的頻率特性第三節 用實驗法確定系統的傳遞函數第五節 頻率特性與系統性能的關系第六節 頻率特性法分析系統性能舉例第四節 用頻率特性法分析系統穩定性第七節 MATLAB用于頻域分析第五章 頻率特性法第一節 頻率特性的基本概

2、念 頻率分析法的數學模型是頻率特性。通過對系統頻率特性的分析來分析和設計控制系統的性能。一、頻率特性的定義二、頻率特性的幾何表示法第五章 頻率特性法G(S)R(s)C(s) 系統結構圖如圖系統結構圖如圖: 一 頻率特性的定義設系統傳遞函數為設系統傳遞函數為 第一節 頻率特性的基本概念 特征方程的根特征方程的根G(s)=(s-s1)(s-s2)(s-sn)U(s)C(s)=G(s)R(s)R(s)=As2+ 2r(t)=Asin t=(s-s1)(s-s2)(s-sn)U(s)As2+ 2=A1s+jBissini=1+A2s-j+拉氏反拉氏反變換得變換得: c(t)=A1 e-j tej t+

3、A2 ni=1esit+Bi 系統的穩態響應為系統的穩態響應為 cs(t)=limc(t) te-j tej t+A2 =A1 求待定系數求待定系數: A1=G(s)(s+js=-jAs2+ 2)=G(-j-2jA)同理同理: -jG(j )G(-j )=|G(j )|e根據根據 -2j-jG(j )A|G(j )|e=2jA|G(j )|ejG(j )G(j2jA)A2= -2jcs(t)=A|G(jejG(j) t+e-jG(j) t+)|G(jt+cs(t)=A|G(j )|sin) 系統正弦信號作用下的穩態輸出是與輸入同頻率的正弦信號，輸出與輸入的幅值之比為|G(j)|,穩態輸出與輸入

4、間的相位差為G(j)。 系統輸入輸出曲線系統輸入輸出曲線 r(t)t0c(t)AA G(j )r(t)=Asin tG(jt+cs(t)=A|G(j )|sin)G(j)定義頻率特性為定義頻率特性為: )G(j jG(j )=|G(j )|e)e j()=A( 幅頻特性：幅頻特性： )=|G(j )|A( 相頻特性：相頻特性： G(j ) ( )= 頻率頻率特性表征了系統輸入輸出之間的特性表征了系統輸入輸出之間的關系，故可由頻率特性來分析系統性能。關系，故可由頻率特性來分析系統性能。第一節 頻率特性的基本概念 頻率特性可表示為：頻率特性可表示為：)G(j )e j()=A( =P( )+jQ(

5、 )=tg-1 (Q(P( )+Q2()=A( P2( )第一節 頻率特性的基本概念 例 求圖所示RC電路的頻率特性，并求該 電路正弦信號作用下的穩態輸出響應。解解: 傳遞函數為傳遞函數為 G(s)=Ts+11T=RC頻率特性頻率特性 電路的穩態輸出電路的穩態輸出: +-ucur+-CiRur(t)=Asin tT+11)=G(j j =1+(T)2-j11+( T)2TT)t-tg-1 A sin( cs(t)= 1+( T)2幅頻特性和相頻特性幅頻特性和相頻特性 )=|G(j )|A( =1+( T)21G(j ) ( )=T =-tg-1 第一節 頻率特性的基本概念 0-80-60-40

6、-200()12345TTTTTRC電路的頻率特性曲線 1A00.2A0.4A0.6A0.8AA()12345TTTTT第一節 頻率特性的基本概念 0ReIm=0二 頻率特性的幾何表示法 頻域分析法是一種圖解分析法，常見的頻率特性曲線有以下兩種。 1幅相頻率特性曲線 幅相頻率特性曲線又幅相頻率特性曲線又稱奈魁斯特曲線稱奈魁斯特曲線 幅相頻率特性曲線 也稱極坐標圖也稱極坐標圖第一節 頻率特性的基本概念 -20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-400-202040-1800-901100.11100.12對數頻率特性曲線 對數頻率特性曲線又稱伯德圖對數頻率特性曲線又稱伯德圖. 對數

7、幅頻特性十倍頻程十倍頻程縱坐標表示為：橫坐標表示為： dB L( )=20lgA( ) lg -101dec 為方便只表示L( )=20lgA()單位為單位為 dB 斜率斜率 對數相頻特性對數相頻特性) ( 第一節 頻率特性的基本概念 第五章 頻率特性法第二節 典型環節與系統頻率特性 頻率特性法是一種圖解分析法，它是通頻率特性法是一種圖解分析法，它是通過系統的頻率特性來分析系統的性能過系統的頻率特性來分析系統的性能,因而可因而可避免繁雜的求解運算。與其他方法比較避免繁雜的求解運算。與其他方法比較,它具它具有一些明顯的優點有一些明顯的優點.一、典型環節的頻率特性二、控制系統開環頻率特性一 典型環

8、節的頻率特性1比例環節0KReIm (1) 奈氏圖 G(s)=K第二節 典型環節與系統的頻率特性=K)G(j K)= A( 0o ( )= (2) 伯德圖 對數幅頻特性：對數幅頻特性：=20lgKL( )=20lgA()20lgK010.1dB L( )對數相頻特性：對數相頻特性：=0o)=tg-1 (Q(P( )010.1) ( 2積分環節 (1) 奈氏圖奈氏圖 ReIm0=0G(s)=1s1j)=G(j 1)= A( -90o ( )= (2) 伯德圖伯德圖 對數幅頻特性：對數幅頻特性： =-20lgL( )=20lgA() 對數相頻特性：對數相頻特性：10.1100-9010.110-2

9、0dB/dec-90o ( )=1L( )=-20lg1=0dB=0.1 L( )=-20lg0.1=20dB) ( dB L( )020-20第二節 典型環節與系統的頻率特性 3微分環節 (1) 奈氏圖奈氏圖 G(s)=s)= A( 90o ( )=j)=G(j ReIm0=0 (2) 伯德圖伯德圖 對數幅頻特性對數幅頻特性： L( )=20lgA() =20lg 對數相頻特性：對數相頻特性：10.11010.11020dB/dec90o ( )=1L( )=20lg1 =0dB=0.1 L( )=20lg0.1=-20dB) ( dB L( )020-20090第二節 典型環節與系統的頻率

10、特性4慣性環節G(s)=1Ts+11T+1j)=G(j T)211+( )= A( T -tg-1 ( )=(1) 奈氏圖奈氏圖 根據根據幅頻特性和相頻特性幅頻特性和相頻特性求出特殊求出特殊點，然后將它們平滑連接起來。點，然后將它們平滑連接起來。取特殊點：取特殊點： =0)=1 A( 0o ( )=-90o ( )=-0)= A( 1=T)=0.707 A( -45o ( )=繪制奈氏圖近似方法繪制奈氏圖近似方法: ReIm0=011=T-450.707可以證明：可以證明： 慣性環節的奈氏圖是以(1/2,jo)為圓心，以1/2為半徑的半圓。第二節 典型環節與系統的頻率特性(2) 伯德圖對數幅頻

11、特性：對數幅頻特性： 轉折頻率轉折頻率-20dB/decT110TdB L( )T)211+( )=20lgL( 1T( T)21=0dB20lg1 L( ) ( T)2120lg T1L( )=-20lg T 1/T頻段，可頻段，可用用-20dB/dec漸近漸近線近似代替線近似代替兩漸近線相交點的為兩漸近線相交點的為轉折頻率轉折頻率=1/T。 漸近線漸近線漸近線漸近線漸近線產生的漸近線產生的最最 大誤差值為：大誤差值為：21L=20lg =-3.03dB 精確曲線為精確曲線為精確曲線精確曲線相頻特性曲線：相頻特性曲線：T -tg-1 ( )=0-45-90) ( =00o ( )=1=T-9

12、0o ( )=-45o ( )=第二節 典型環節與系統的頻率特性 5一階微分環節G(s)=1+Ts(1) 奈氏圖奈氏圖 1=0=1)= A( 0o ( )=)= A( 90o ( )=T)21+( )= A( T tg-1 ( )=T+1j)=G(j ReIm0=0第二節 典型環節與系統的頻率特性(2) 伯德圖伯德圖 一階微分環節的頻率特性與慣性環節成反比 , 所以它們的伯德圖對稱于橫軸。20dB/decT110TdB L( )-20020) ( 對數幅頻特性：對數幅頻特性： T)21+( )=20lg L(漸近線漸近線相頻特性曲線：相頻特性曲線：T tg-1 ( )= 450 90=00o

13、( )=1=T45o ( )=90o ( )=第二節 典型環節與系統的頻率特性 6振蕩環節 n=(1- 21 )222n )2+( G(s)=nn s2+2 s+n22nn n22)=G(j - 2+j2 )2(nn n22)=A( - 2)2+(2 (1) 奈氏圖奈氏圖1=01)= A( 0o ( )=ReIm0-90o ( )=21)= A( =n=0)= A( -180o ( )= =0=0 =n 將特殊點平滑連接起來，可得近似幅相頻率特性曲線。=0.4 幅相頻率特性曲線因值的不同而異。=0.6=0.8n n22 - 2 ( )=-tg-1第二節 典型環節與系統的頻率特性(2) 伯德圖伯

14、德圖 對數幅頻特性：對數幅頻特性： )2(nn n22 - 2)2+(2 )=20lg L(nn=0dBL( )20lg1dB L( )n(2L( )20lg) n=-40lgn-20020-40n10 精確曲線與漸近線精確曲線與漸近線之間存在的誤差與之間存在的誤差與值有關，值有關，較小，幅值出現了峰值。較小，幅值出現了峰值。d=0) dA( 可求得可求得Mr=11- 2 2 r =1-2 2 n諧振頻率諧振頻率諧振峰值諧振峰值精確曲線精確曲線=0.1=0.3=0.5相頻特性曲線：相頻特性曲線：0-90-180) ( n n22 - 2 ( )=-tg-1=00o ( )=-90o ( )=

15、n=-180o ( )=不同，相頻特性曲線不同，相頻特性曲線的形狀有所不同：的形狀有所不同：=0.1=0.=0.-40dB/dec=0.7第二節 典型環節與系統的頻率特性7時滯環節奈氏圖是一奈氏圖是一 單位圓單位圓(1) 奈氏圖奈氏圖1=0G(s)=e- sjG(j )=e- ( )=-1)= A( ReIm0=01)= A( 0o ( )=1)= A( - ( )= (2) 伯德圖伯德圖L( )=20lg1=0dBdB L( )020 ( )=-) ( 0-100-200-300第二節 典型環節與系統的頻率特性 8非最小相位環節最小相位環節最小相位環節: 最小相位環節對數幅頻特性與對數相頻特

16、性之間存在著唯一的對應關系。對非最小相位環節來說，不存在這種關系。 開環傳遞函數中沒有開環傳遞函數中沒有s右半平面上右半平面上的極點和零點。的極點和零點。 開環傳遞函數中含有開環傳遞函數中含有s右半平面上右半平面上的極點或零點的極點或零點。非最小相位環節非最小相位環節:第二節 典型環節與系統的頻率特性以一階不穩定環節為例說明：以一階不穩定環節為例說明：=0-1=0(1) 奈氏圖奈氏圖 G(s)=1Ts-11T-1j)=G(j T)211+( )= A( -1T -tg-1 ( )=ReIm01)= A( -180o ( )=)=0 A( -90o ( )=(2) 伯德圖伯德圖 T)211+(

17、)=20lgL( -20dB/decT1dB L( )-200200-90-180) ( 第二節 典型環節與系統的頻率特性環節環節傳遞函數傳遞函數 斜率斜率dB/dec 特殊點特殊點()0o1s1Ts+11s2KL( )=0=1,L( )=20lgKT1=轉折轉折頻率頻率轉折轉折頻率頻率1 =轉折轉折頻率頻率=n-90o-180o0o-90o0o90o0o-180o比例比例積分積分重積分重積分慣性慣性比例微分比例微分振蕩振蕩常用典型環節伯德圖特征表 00, -20-20-400, 200, -40L( )=0=1,s2+2nns+22n1+ s第二節 典型環節與系統的頻率特性二、控制系統開環頻

18、率特性 頻率特性法的最大特點是根據系統的開環頻率特性曲線分析系統的閉環性能 , 這樣可以簡化分析過程。所以繪制系統的開環頻率特性曲線就顯得尤為重要。下面介紹開環系統的幅相頻率特性曲線和對數頻率特性曲線的繪制。第二節 典型環節與系統的頻率特性1系統開環幅相頻率特性曲線 系統開環傳遞函數一般是由典型環系統開環傳遞函數一般是由典型環節串聯而成的：節串聯而成的： 積分環節積分環節 的個數的個數時間常數時間常數系統的階次系統的階次開環增益開環增益nm幅頻特性幅頻特性: 相頻特性相頻特性: 近似繪制系統的奈氏圖近似繪制系統的奈氏圖: :先把特殊點找先把特殊點找出來，然后用平滑曲線將它們連接起來。出來，然后

19、用平滑曲線將它們連接起來。 Tj )21+( )= A( i )21+( mj=1Ki=1n- 90o+mn-j =1i =1 ( )=- tg-1 Tj tg-1 imG(s)=sj=1(Tjs+1)n- K(i=1is+1)第二節 典型環節與系統的頻率特性(1) 0型系統型系統= 0特殊點特殊點: 系統起點和終點系統起點和終點K=0n-m=2n-m=1n-m=3Tj )21+( )= A( i )21+( mj=1Ki=1nmnj =1i =1 ( )= tg-1 Tj tg-1 iReIm0=0)=K A( 0o ( )=0)= A( -(n-m)90o ( )=0=幅頻和相頻特性幅頻和

20、相頻特性: 第二節 典型環節與系統的頻率特性(2) 型系統型系統=1系統起點和終點系統起點和終點n-m=2n-m=1n-m=3=Tj )21+( )= A( i )21+( mj=1Ki=1n-190o+mn-1j =1i =1 ( )=- tg-1 Tj tg-1 iReIm0=0=幅頻和相頻特性幅頻和相頻特性: =1特殊點特殊點: =0)= A( -90o ( )=0)= A( -(n-m)90o ( )=第二節 典型環節與系統的頻率特性(3) II型系統型系統=2n-m=2n-m=1n-m=3系統起點和終點系統起點和終點=0=mTj )21+( )= A( i )21+( j=12Ki=

21、1n-2180o+mn-2j =1i =1 ( )=- tg-1 Tj tg-1 i幅頻和相頻特性幅頻和相頻特性: ReIm0=0=2特殊點特殊點: )= A( -180o ( )=0)= A( -(n-m)90o ( )=第二節 典型環節與系統的頻率特性 開環系統奈氏曲線起點和終點的綜合情況如圖:=1=0=3=2奈氏曲線的起點奈氏曲線的起點 奈氏曲線的終點奈氏曲線的終點n-m=2n-m=1n-m=3ReIm0ReIm0=第二節 典型環節與系統的頻率特性 例例 試繪制系統的奈氏圖。試繪制系統的奈氏圖。 系統的奈氏圖系統的奈氏圖解：解：n-m=2I型系統型系統G(s)=Ks(Ts+1)特殊點特殊

22、點: =0=T)2K1+( )= A( T ( )=-90o-tg-1ReIm0=0=)= A( -90o ( )=-180o ( )=0)= A( 第二節 典型環節與系統的頻率特性 例 已知系統的開環傳遞函數,試畫出該系 統的開環幅相特性曲線。解：解： 1) T=00=K0型型，n=mG(s)=K(1+1+Ts s)T)21+( )= A( )21+( K ( )= tg-1 T tg-1 ReIm00o ( )=)=K A( )K A( 0o ( )= A( K T K T 0o ( )=0= 1) 0=0o ( )=)=K A( )K A( 0o ( )1即即20lgKg 0：系統穩定。

23、：系統穩定。 2） Kg 1即即20lgKg 0即：系統穩定。即：系統穩定。 2）0 Kg 1即即20lgKg 0時系統是穩定的時系統是穩定的 其中：其中： 11.()()gggKG jH j)()(180. 20ccjHjG 結論：為了得到滿意的性能：結論：為了得到滿意的性能： ：300600 h：6dB第五節 頻率特性與系統性能的關系一、開環頻率特性與系統性能的關系二、閉環頻率特性與時域指標的關系第五章 頻率特性法 常將開環頻率特性分成低、中、高三個頻段。一 、開環頻率特性與系統性能的關系-40dB/dec-40dB/dec-20dB/dec低頻段低頻段高頻段高頻段中頻段中頻段0第五節 頻

24、率特性與系統性能的關系dB L( )c12 三個頻段分別與系統性能有對應關系，下面具體討論。1低頻段低頻段由積分環節和比例環節構成：低頻段由積分環節和比例環節構成： G(s)=sK對數幅頻特性為：對數幅頻特性為：0KKK=0=1=2-20KG(j )= )(jL( )=20lgA( )K=20lg=20lgK-v20lg 根據分析可得如根據分析可得如圖所示的結果：圖所示的結果： 可知：可知： 曲線位置越高，K值越大；低頻段斜率越負，積分環節數越多。系統穩態性能越好。dB L( )第四節 頻率特性與系統性能的關系 2. 中頻段 穿越穿越頻率頻率c附近的區段為中頻段。附近的區段為中頻段。它它反映了

25、系統動態響應的平穩性和快速性。反映了系統動態響應的平穩性和快速性。 (1) 穿越頻率穿越頻率c與動態性能的關系與動態性能的關系 可近似認為整個曲線是一條可近似認為整個曲線是一條斜率為斜率為 -20dB/dec的直線。的直線。設系統如圖設系統如圖:-20dB/dec0+20-20開環傳遞開環傳遞 函數：函數：G(s) sK閉環傳遞函數為：閉環傳遞函數為： ts3T穿越頻率穿越頻率c 反映了系統響應的快速性。反映了系統響應的快速性。s= css1+c(s)=c1s+11= c=3cdB L( )c第四節 頻率特性與系統性能的關系(2) 中頻段的斜率與動態性能的關系設系統如圖設系統如圖:-40dB/

26、dec0+20-20開環傳遞開環傳遞 函數：函數：G(s) s2K閉環傳遞閉環傳遞 函數為：函數為： 處于臨界處于臨界穩定狀態穩定狀態 中頻段斜率為-40dB/dec ，系統平穩性難以滿足要求。通常，中頻段斜率為-20dB/dec 。 可近似認為整個曲線是一條可近似認為整個曲線是一條斜率為斜率為 -40dB/dec的直線。的直線。s2= 2c1+(s)=s22cs22cs2+ = c2c2dB L( )c第四節 頻率特性與系統性能的關系3 高頻段 高頻段反映了系統對高頻干擾信號的抑制能力。高頻段的分貝值越低，系統的抗干擾能力越強。高頻段對應系統的小時間常數，對系統動態性能影響不大。一般一般 即

27、即 L( )=20lg|G(j )|0|G(j )|1|G(j )|)|=(j |1+G(j )|G(j )|第四節 頻率特性與系統性能的關系4二階系統開環頻率特性與動態性 能的關系開環傳遞函數：開環傳遞函數： dB L( )020-20-20dB/decn2-40dB/dec0-90-180) ( 平穩性平穩性: :%快速性快速性: ts G(s)=2s(s+2)nn)=(jj n2G(j+2)n)=2A(2+(2)nn2)=-90o- tg-12n( cc第四節 頻率特性與系統性能的關系(1) 相位裕量相位裕量和超調量和超調量% % 之間的關系之間的關系得得 0 0.707近似為近似為0.

28、2 0.4 0.6 0.8 1.010203040506070800204060801001201400 % %)=2A(2+(2)nn2cc=1c42n2c2n4+4-=0 =tg-1-22+14 42cn-2=+14 422=tg-1 nc=180o-90o-tg-12 nc=180o+) ( c%=100%e-1-2=100 ) ( c越大，越大，% % 越小；越小； 反之亦然。反之亦然。與與、%之之 間的間的 關系曲線關系曲線 第四節 頻率特性與系統性能的關系根據：根據： 調節時間 ts 與c以及有關。不變時，穿越頻率c 越大，調節時間越短。得得得得 (2) c 、與與ts 之間的關系

29、之間的關系ts=3ncn-2=+14 42ts3=c-2+14 42tstg6c = =tg-12-2+14 42再根據：再根據： 第四節 頻率特性與系統性能的關系第五章總 結 開環傳遞開環傳遞 函數函數開環系統開環系統頻率特性頻率特性繪制頻率繪制頻率特性曲線特性曲線幅相頻率特性曲線幅相頻率特性曲線確定頻率指標確定頻率指標 頻率特性法是通過系統的開環頻率特性的頻域性能指標間接地表征系統瞬態響應的性能。系統性能的分析過程：對數頻率特性曲線對數頻率特性曲線判別系統穩定性判別系統穩定性c第四節 頻率特性與系統性能的關系主要內容主要內容 一、頻率特性的基本概念一、頻率特性的基本概念 r(t)=Asin

30、 tG(jt+cs(t)=A|G(j )|sin)頻率特性頻率特性: )G(j 幅頻特性：幅頻特性： )=|G(j )|A( 相頻特性：相頻特性： G(j ) ( )=二、典型環節的頻率特性二、典型環節的頻率特性 1. 奈氏圖奈氏圖 先把特殊點找出來，然后用先把特殊點找出來，然后用平滑曲線將它們連接起來。平滑曲線將它們連接起來。 2. 伯德圖伯德圖0o1s1Ts+1KL( )=0=1,L( )=20lgKT1=1 =n-90o0o-90o0o90o0o-180o00, -20-200, 200, -40s2+2nns+22n1+ s二、開環系統的頻率特性二、開環系統的頻率特性 1. 奈氏圖奈氏

31、圖 把特殊點找出來，然后用平滑曲把特殊點找出來，然后用平滑曲線將它們連接起來。線將它們連接起來。 2. 伯德圖伯德圖 將各環節的對數頻率特性曲線相加，將各環節的對數頻率特性曲線相加，即為開環系統的對數頻率特性曲線即為開環系統的對數頻率特性曲線。3. 根據根據伯德圖確定傳遞函數伯德圖確定傳遞函數三、三、奈奎斯特穩定判椐奈奎斯特穩定判椐 設有設有p 個不穩定極點個不穩定極點 當當=0 =0 p/2圈圈 閉環系統穩定閉環系統穩定 否則不穩定否則不穩定 曲線曲線逆時針方向繞逆時針方向繞(-1,j0)點點 )G(j )H(j 若系統開環傳遞函數中包含有若系統開環傳遞函數中包含有個積個積分環節分環節，將曲線逆時針方向修正，將曲線逆時針方向修正90o后，后，再使用奈氏判據。再使用