1、概率是隨機事件發生可能性大小的度量 事件發生的可能性越大, 概率就 研究隨機現象研究隨機現象, ,不僅關心試驗中會出不僅關心試驗中會出現哪些事件現哪些事件, ,更重要的是想知道事件出現的更重要的是想知道事件出現的可能性大小可能性大小, ,也就是事件的也就是事件的概率概率. .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 事件發生的可能性最大是百分之百, 此時概率為1.0P(A)1我們用P(A)表示事件A發生的概率,則 事件發生的可能性最小是零, 此時概率為0.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 nkAfn)(定義4.1 事件A在n次重復試驗中出現k次, 則比值k/n稱為事件A在n次重復試驗中出現的頻率,

2、 記為fn(A). 即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義4.2: 當試驗次數n增大時, fn(A) 逐漸趨向一個穩定值. 可將此穩定值記作P(A), 作為事件A的概率. 歷史上曾有人做過試驗, 試圖證明拋擲勻質硬幣時, 出現正反面的機會均等. 實驗者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pearson 24000 12012 0.5005機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 若某實驗E滿足(1) 有限性: 樣本

3、空間有有限多個基本事件(2) 等可能性:每個基本事件的出現是等可 能的則稱它為古典概型, 也叫等可能概型.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2 3479108615機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如, 一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球. 將球編號為110. 把球攪勻, 蒙上眼睛, 從中任取一球. 10個球中的任一個被取出的機會是相等的, 均為1/10. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 記 A=摸到2號球 P(A)=? P(A)=1/10記 B=摸到紅球 P(B)=? P(B)=6/10 21324 5 6這里實際上是從“比例” 轉化為“概率”稱此概率為古典概率. 這種確定

4、概率的方法稱為古典方法.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義4.3 若古典概型E樣本空間 中含有n個基本事件，事件A包含m個基本事件，則稱 為基本事件A發生的概率，記作P(A)，即nm基本事件的總數包含的基本事件的個數事件AnmAP)(0113. 010000113)(nmAP例7 社會福利獎券一期共發行10000張，其中有1張特等獎，2張一等獎,10張二等獎，100張三等獎，其余不得獎.問購買一張獎券中獎的概率是多少？解：n=10000，設A=抽到任何一張中獎券，m=1+2+10+100=113，則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ! 666 An! 5 ! 25522AAm31! 6

5、! 5 ! 2)(nmAp例8 6個人排成一排，求某 2 人排在一起的概率.解：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 練一練從一副撲克牌的52張中任意抽出2張，求都是黑桃的概率。252Cn 213Cm(252213CCnmAp解：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 （1） 非負性1)(0AP（2）規范性0)(, 1)(PP（3）互補性)(1)(APAP 事件互斥時的加法公式 事件相容時的加法公式 ()( )( )P ABP AP B()( )( )()P ABP AP BP ABABAABB機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 （4） 可加性 三個事件和的概率為 P(A+

6、B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC) -P(AC) + P(ABC)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 niiiniAPAP11)()(U推廣1：有限可加性設A1, A2, ,An 是兩兩互不相容的n個事件, 即AiAj, (ij), 則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 推廣2：可列可加性設A1, A2, , 是一列兩兩互不相容的事件, 即AiAj, (ij), i, j1, 2, , 有11)()(UiiiiAPAP機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 將一顆骰子拋擲4次, 問至少出一次“6”點的概率是多少?令事件A=至少出一次“6”點A發生出1次“6”點 出2

7、次“6”點出3次“6”點 出4次“6”點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 直接計算A的概率較麻煩!0.518=)(1)(APAP于是 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 A=4次拋擲中都未出“6”點的概率. 我們先來計算A的對立事件482. 0129662566665555)(AP例：在拋擲骰子的試驗中，求出現的點數為奇數或大于3的概率。解設A=出現的點數為奇數， B=出現的點數大于3則A+B=出現的點數為奇數或大于3機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 而A發生恰好出現1,3,5B發生恰好出現4,5,6A，B同時發生恰好出現563)(AP63)(BP61)(ABP65616363)()()(

8、)(ABPBPAPBAP由加法公式練習1. 某市有甲、乙、丙三種報紙, 訂每種報紙的人數分別占全體市民人數的30%, 其中有10%的人同時定甲、乙兩種報紙. 沒有人同時訂甲丙或乙丙報紙.求從該市任選一人, 他至少訂有一種報紙的概率.()( )( )( )()()()()30% 3 10% 0 0080%P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC 解 設A、B、C分別表示選到的人訂了甲、 乙、丙報機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 練習2. 甲、乙兩人在同樣的條件下進行射擊，擊中目標的概率分別為0.9和0.8，兩人同時擊中的概率為0.72.求至少一人擊中目標的概率和兩人都未擊

9、中目標的概率. 解 設 A、B分別表示甲、乙擊中目標，72. 0)(, 8 . 0)(, 9 . 0)(ABPBPAP從而98. 072. 08 . 09 . 0)()()()(BAPBpAPBAP02. 098. 01)(1)()(BAPBAPBAP04. 0)(410039911CCCAP例：根據統計數據，某廠產品的次品率為0.01，在某月生產的100件產品中任取4件進行檢驗，發現有一件次品。問這段時間的生產是否正常？解設A=恰有1件次品這個概率很小,稱為小概率事件小概率事件。小概率原理：小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發生機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 設樣本空間 是有界區域, 它的體積記為 （一維體積是長度，二維體積是面積，三維體積是普通體積），向均勻投擲一隨機點，并滿足以下要求：)(L（1）隨機點等可能的落入 內任何位置，不會落到區域外；（2）隨機點落入 的任何區域的可能性與該區域的體積成比例, 而與這部分區域的位置和形狀無關.)()()(LALAP)(AL若 的m維體積為 ，事件A的m維體積為 ，則稱)(L幾何概率為A的幾何概率。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解 設x、y分別表示甲乙兩人的到達時刻, 則tTtTyxA例 (約會問題)甲