1、 第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 引入：在上冊書中，我們學(xué)習(xí)了一元函數(shù)微積分學(xué)，所討論的對象都只有一個(gè)自變量的函數(shù)，而在實(shí)際應(yīng)用中，研究的問題往往要涉及多方面的因素，反映在數(shù)量上就是一個(gè)變量要依賴幾個(gè)自變量，即數(shù)學(xué)上的多元函數(shù)，從這節(jié)課開始，我們進(jìn)入多元函數(shù)微積分學(xué)的學(xué)習(xí)階段.先來學(xué)習(xí)多元函數(shù)微分學(xué) 由于從一元函數(shù)到二元函數(shù)，單與多的差異已能充分體現(xiàn)，我們由二元函數(shù)入手來研究多元函數(shù)微分學(xué)，然后把相關(guān)概念及性質(zhì)推廣到三元、四元直至元函數(shù)上去 第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念 一、平面點(diǎn)集的相關(guān)概念 1. 平面點(diǎn)集：具有性質(zhì)P 例如：，其中點(diǎn)表示點(diǎn) 2. 鄰域： (1). 鄰域： (2). 去心鄰域：

2、 3. 坐標(biāo)面上的點(diǎn)與平面點(diǎn)集的關(guān)系： (1). 內(nèi)點(diǎn)：若，使，則稱為的內(nèi)點(diǎn). (2). 外點(diǎn)：若，使，則稱為的外點(diǎn) (3). 邊界點(diǎn)：若，且，則稱為的邊界點(diǎn) 邊界：的邊界點(diǎn)的全體稱為它的邊界，記作. (4). 聚點(diǎn)：若，則稱為的聚點(diǎn) 導(dǎo)集：的聚點(diǎn)的全體稱為它的導(dǎo)集 注：1°. 若為的聚點(diǎn)，則可以屬于，也可以不屬于 2°. 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；外點(diǎn)一定不是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)也不總是聚點(diǎn)，如孤立的邊界點(diǎn). 例如：；. 4. 一些常用的平面點(diǎn)集： (1). 開集：若點(diǎn)集的點(diǎn)都是其內(nèi)點(diǎn)，則稱為開集 (2). 閉集：若點(diǎn)集的邊界，則稱為閉集. (開集加邊界 (3). 連通集：若中任何兩點(diǎn)都可

3、用屬于的折線連接，則稱為連通集. (4). 開區(qū)域：連通的開集稱為開區(qū)域，也稱為區(qū)域. (5). 閉區(qū)域：開區(qū)域加上其邊界稱為閉區(qū)域 例如：為區(qū)域. 為閉區(qū)域. (6). 有界集：若，使，則稱為有界集. (7). 無界集：若，使，則稱為無界集 二、維空間：對取定的自然數(shù)，稱元數(shù)組的全體為維空間，記為. 注：前述的鄰域、區(qū)域等相關(guān)概念可推廣到維空間. 三、多元函數(shù)的概念 1. ，或，其中 因 映 自 變 變 量 射 量 定義域：D 值 域： 注：可推廣：元函數(shù)：，. 例: 1. ， 2. ， 2. 幾何表示：函數(shù)對應(yīng)空間直角坐標(biāo)系中的一張曲面:. 四、二元函數(shù)的極限 1.定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

4、點(diǎn)若，為 ，滿足，則稱為當(dāng) ，稱之為的二重極限 例1. 設(shè)證明：，要使不等式 ，求證 成立，只須取， 于是，總有 ，即 例2. 不存在，其中 證明：當(dāng)沿直線趨于時(shí)，總有 ， 隨著的不同而趨于不同的值，故極限不存在 例3. 求極限 五、二元函數(shù)的連續(xù)性 1. 二元函數(shù)的連續(xù)性:設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，點(diǎn)為D的聚點(diǎn)，且 ，則稱在點(diǎn)連續(xù) 2. 二元函數(shù)的間斷點(diǎn): 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，點(diǎn)為D的聚點(diǎn)，若在點(diǎn)不連續(xù)，則稱為的間斷點(diǎn). 注：間斷點(diǎn)可能是函數(shù)有定義的孤立點(diǎn)或無定義的點(diǎn). 3. 性質(zhì)：設(shè)D為有界閉區(qū)域 (1). 有界性：， ，有 (2). 最值性：，使得，有 (3). 介值性：，使得. 4. 二元連

5、續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) (1). 和、差、積仍連續(xù)； (2). 商 (分母不為零) 連續(xù)； (3). 復(fù)合函數(shù)連續(xù). 5. 二元初等函數(shù)及其連續(xù)性 (1). 二元初等函數(shù)：由二元多項(xiàng)式和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合所構(gòu)成的、并用一個(gè)式子表示的二元函數(shù)稱為二元初等函數(shù). (2). . 例4. ，則 解：令 例5. . . (分子有理化) 第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù) 引入：在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們研究了一元函數(shù)的變化率導(dǎo)數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)研究了函數(shù)的性態(tài).對于多元函數(shù)，我們也要討論它的變化率，但由于多元函數(shù)的自變量不止一個(gè)，所以多元函數(shù)的變化率要比一元函數(shù)的變化率復(fù)雜得多.我們還是以二元函數(shù)為例來研究多元

6、函數(shù)的變化率，先把二元函數(shù)中某一自變量暫時(shí)固定，再討論二元函數(shù)關(guān)于另一個(gè)自變量的變化率，這就是數(shù)學(xué)上的偏導(dǎo)數(shù). 一、偏導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念 1. 偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，把暫時(shí)固定在，而 處有增量時(shí)，相應(yīng)地有增量.若極 存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處對的 ； 或 注: 1°. . 2°. . 2. 偏導(dǎo)函數(shù)：若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)處對或偏導(dǎo)數(shù)存在，則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù), 或；或. 注：可推廣：三元函數(shù)在點(diǎn)處對的偏導(dǎo)數(shù)定義為 例1. 求在處的偏導(dǎo)數(shù). ，. 例2. 求的偏導(dǎo)數(shù). ，. 例3. 求的偏導(dǎo)數(shù). ，. . 3. 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 (1). 偏導(dǎo)數(shù)是曲線在點(diǎn)處

7、的切線關(guān)于軸的斜率 (2). 偏導(dǎo)數(shù)是曲線在點(diǎn)處的切線關(guān)于軸的斜率. 4. 函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系：函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)之間無必然的蘊(yùn)含關(guān)系. (1). 函數(shù)在點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在，但它在點(diǎn)卻未必連續(xù) 例如：函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，即 ， . 不存在，故在點(diǎn)不連續(xù) (2). 函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，但它在點(diǎn)處卻未必存在偏導(dǎo)數(shù) 例如：函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，但它在點(diǎn)對及的偏導(dǎo)數(shù)都不存在，這是因?yàn)椋?， ， 即在點(diǎn)對及的偏導(dǎo)數(shù)都不存在. 二、高階導(dǎo)數(shù) 1.二階偏導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)對及的偏導(dǎo)數(shù)及對及的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù) 記作：； ；(二階純偏導(dǎo)數(shù)) ；. (二階混合偏導(dǎo)數(shù)) (二階純偏導(dǎo)數(shù) 注

8、：1°. 一般地，二元函數(shù)的階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為它的階偏導(dǎo)數(shù) 2°. 二階以及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù). 3°. 二元函數(shù)的階偏導(dǎo)數(shù)至多有個(gè). 例4. 設(shè)，求它的二階偏導(dǎo)數(shù). ； ； ；. 總結(jié)：從這一例題，我們看到：，即兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等，與求導(dǎo)順序無 關(guān).那是不是每個(gè)二元函數(shù)都有這樣的相等的二階混合偏導(dǎo)數(shù)呢？我們說不是的，例如： ，在點(diǎn)， 有，事實(shí)上， ； 而 ， ， 于是， ， ， 即 那么滿足什么條件得二元函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān)呢？有下面的定理： 2. 二階混合偏導(dǎo)數(shù)的性質(zhì) 定理：若函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)與在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則它們在

9、D內(nèi)必相等，即 注：1°. 可推廣：高階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)順序無關(guān). 2°. 一般地，若二元函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則的階偏導(dǎo)數(shù)只有個(gè) 第三節(jié) 全微分 一、全微分的相關(guān)概念 1. 偏增量：稱為函數(shù)對的偏增量 稱為函數(shù)對的偏增量 2. 偏微分：稱與為對及的偏微分. 注：， 但在實(shí)際應(yīng)用中，往往要知道函數(shù)的全面的變化情況，即當(dāng)自變量有微小增量、時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)增量與自變量的增量、之間的依賴關(guān)系，這涉及到函數(shù)的全增量. 3. 全增量：稱為函數(shù)在點(diǎn) 、的全增量 一般來講，計(jì)算全增量是比較困難的，我們總希望像一元函數(shù)那樣，利用、的線性函數(shù)來近似代替函數(shù)的全增量，為此，引

10、入了全微分 4. 全微分：若函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，且在的全增 不依賴于、，可表示為，其中 而僅與、有關(guān)，則稱在點(diǎn)可微分，而稱 為在點(diǎn)的全微分，記作，即 若在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都可微分，則稱在D內(nèi)可微分. 注： 我們知道，當(dāng)一元函數(shù)在點(diǎn)的微分存在時(shí)，那么，當(dāng)二元函數(shù)在點(diǎn)的全微分存在時(shí)，、又為何值呢？下面討論二元函數(shù)可微分與連續(xù)、可微分與偏導(dǎo)數(shù)存在的關(guān)系，從中得到、的值. 二、二元函數(shù)可微分與偏導(dǎo)數(shù)存在、可微分與連續(xù)的關(guān)系 1函數(shù)可微分的必要條件 定理1.若函數(shù)在點(diǎn)可微分，則它在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 必定存在，且在點(diǎn)的全微分 證明：由于在點(diǎn)可微分，則有，其 ，當(dāng)時(shí)，有，從而 ， 即，同理可得，于是 特殊

11、地，令，有，從而有，同理令，有，從而有.于是有，也稱之為二元函數(shù)微分學(xué)的疊加原理 注：定理說明：函數(shù)可微分，一定可偏導(dǎo)，且全微分可用偏導(dǎo)數(shù)表示. 但反之未必，即偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)未必可微分 例如：在點(diǎn)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在， ，但在點(diǎn)卻不可微分 事實(shí)上，假設(shè)在點(diǎn)可微分，則， ，當(dāng)時(shí). 而 ，有 不存在，更談不上等于0，從而假設(shè) 不成立，即在點(diǎn)不可微分. 2. 函數(shù)可微分的必要條件 定理2若函數(shù)在點(diǎn)可微分，則它在點(diǎn)連續(xù) 證明：由于在點(diǎn)可微分，有，其中，于是有，.又的全增量為，從而 ， ，這說 在點(diǎn)連續(xù) 注：函數(shù)連續(xù)，未必可微分 例如：函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，但由于偏導(dǎo)數(shù)不存在，從而不可微分. 3. 函數(shù)可微分的

12、充分條件 定理3若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與在點(diǎn)都連續(xù)，則 可微分 注：反之未必 例如：在點(diǎn)可微分，但 在點(diǎn)都不連續(xù) (1).先說明在點(diǎn)可微分. 設(shè)， 因?yàn)?， ， 令 ， 由于 ，其中，于是 ，由全微分的定義知在 微分 (2). 再說明偏導(dǎo)數(shù)及在點(diǎn)不連續(xù). 易知 , 從而在點(diǎn) 不連續(xù) 同理可知 在點(diǎn)也不連續(xù). 例1. 計(jì)算函數(shù)的全微分. 解： . 例2. 計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)處的全微分. ，有 ，所以 例3. 計(jì)算解： 的全微分. . 第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、一元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形 定理1.若函數(shù)及在點(diǎn)都可導(dǎo)，函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn) .(全導(dǎo)數(shù)公式) 復(fù)合而成的函數(shù)注：可推

13、廣：，在點(diǎn) . 二、多元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形 定理2. 若函數(shù)及在點(diǎn)具有對及的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù) 對應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存 ；. 注：可推廣：由，復(fù)合而成的函 在點(diǎn)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且 ；. 三、其它情形 1. 函數(shù)在點(diǎn)對及的偏導(dǎo)數(shù)都存在，函數(shù)及在點(diǎn)可導(dǎo) 在點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn) 存在，且 ； . 2. 函數(shù)在點(diǎn)具有對及的偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且 ； . 例1. 設(shè)，而，求 及. ； . 例2.設(shè) ，而 及. ； . 例3. 設(shè)，而，求求導(dǎo)數(shù) . 四、全微分形式不變性:若函數(shù) . 若函數(shù)及也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的

14、全微 有稱此性質(zhì)為全微分形式不變性. ， . 與，其中，. 例4. 解：由于， 而 ， 于是，即 ， 比較兩端、dy ， . 第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 一、隱函數(shù)：稱對應(yīng)關(guān)系不明顯，而是隱含在方程(方程組)中的函數(shù)(函數(shù)組)為由方程(方程組)確定的隱函數(shù)(隱函數(shù)組 注：并不是每一個(gè)方程都能確定一個(gè)隱函數(shù)，例如：. 二、隱函數(shù)存在定理 1.由一個(gè)方程確定的隱函數(shù) 定理1.若函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)的函 數(shù)，滿足 . 注：若的二階偏導(dǎo)數(shù)也連續(xù)，則有 定理2. 若函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 ，則方程在點(diǎn) 且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)

15、，滿足 例1. 設(shè)，求及 ，. 解：令，則， . . 例2.設(shè)，求 解：設(shè)，則， . ，從而 2.由方程組確定的隱函數(shù)組 定理3. 若函數(shù)與在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有對各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，且函數(shù)行列式 在點(diǎn)不等于零，則方程組在點(diǎn) 確定唯一一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)組，且 ， ； ， 例3. 設(shè)， 、和. 解：設(shè)方程組，兩端對求導(dǎo)得： 或， 在 的條件下，有 ， 同理可得 ，. ； 第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 1. 一元向量值函數(shù)的定義： ，(數(shù)集)，. 注：1°. 在R3中， 2°. 向量值函數(shù)稱為曲線的向量方程 2. 一元向量值函數(shù)的

16、極限：設(shè)向量值函數(shù)在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，若存在常向量，：滿足，總有，則稱為當(dāng) 時(shí)的極限，記作 注：存在、都存在 . 3. 一元向量值函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)向量值函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義， ，則稱向量值函數(shù)在點(diǎn)連續(xù) 注：在點(diǎn)連續(xù)、點(diǎn)連續(xù) 4.一元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(導(dǎo)向量)：設(shè)向量值函數(shù)在點(diǎn) 存在，則稱此極限值為在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或?qū)蛄浚涀?. 注：1°. 在點(diǎn)可導(dǎo)、點(diǎn)都可導(dǎo) 2°. 是向量值函數(shù) 曲線在點(diǎn)處的一個(gè)切向量,其指向與的增長方向一致 例1.設(shè)，求 解： . 例2.設(shè)空間曲線的向量方程為，求曲線在點(diǎn)相應(yīng)的點(diǎn)處的單位切向量 解：由于，有，進(jìn)而，于 為指向與的增長方向一致的

17、單位切向量 為指向與的增長方向相反的單位切向量 二、空間曲線的切線與法平面 1. 參數(shù)式情形：設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為，假設(shè)、以及 在上可導(dǎo)，且三個(gè)導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零 (1). 切線：曲線上的一點(diǎn)處的切線方程為：應(yīng)點(diǎn) 推導(dǎo)：由于曲線的參數(shù)方程為，記向量值函數(shù)， ，參數(shù)對 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知：向量即為曲線在其上的 處的一個(gè)切向量，從而曲線在其上的點(diǎn)處的切線方程為： . (2). 法平面：通過曲線上的點(diǎn)而與曲線在點(diǎn)處的切線垂直的平面方程稱為曲線在點(diǎn)處的法平面，方程為.其中法向量為 2. 特殊式情形：設(shè)空間曲線的方程為，且、在點(diǎn) 的方程可改寫為，為參數(shù)，從而曲線在點(diǎn) 程分別為： (1). . (2).

18、法平面方程： 3. 一般式(隱函數(shù))情形：設(shè)曲線的方程為，為曲線 又設(shè)、 ，這時(shí)方程組在點(diǎn) 某一鄰域內(nèi)確定了一組隱函數(shù)，從而曲線的參數(shù)方程為， 于是切向量為 (1). . . (2). 法平面方程： 例3. 求曲線在點(diǎn)處的切線與法平面方程 解：在方程組兩端對求導(dǎo)，得 ，整理得， 于是， ，故切向量為 ； ，或，從而所求切線方程為：. 法平面方程為或 三、曲面的切平面與法線 1.定義 (1). 切平面：若曲面上通過點(diǎn)的一切曲線在點(diǎn) 面為曲面在點(diǎn)的切平面 (2). 法線：通過點(diǎn)且與切平面垂直的直線稱為曲面在點(diǎn)的法線. 2. 切平面與法線方程 (1). 一般式情形：設(shè)曲面的方程為，點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連

19、續(xù) 切平面方程：； . 推導(dǎo)：在曲面上過點(diǎn)任意引一條曲線，設(shè)其參數(shù)方程為，且函數(shù) 以及在都可導(dǎo)，有方程， 對應(yīng)點(diǎn) 兩端對求導(dǎo)，在處，有. 記.又為曲線在 處的切向量，由上式可知，即曲面上通過點(diǎn)的任意一條曲線的切向量都垂直于同一個(gè)向量，從而這些切線都在同一平面上，即曲面 的且平面存在，該切平面以向量為一法線向量 (2). 特殊式 (顯函數(shù)) 情形：曲面：，且函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù) 切平面方程： 法線方程：. 推導(dǎo)：記，有 ， 故有法向量 例4. 求球面在點(diǎn)處的且平面及法線方程 解：設(shè)，有，故所求切平面的法向量為， 于是所求切平面方程為：，即， 法線方程為：，即 例5. 求旋轉(zhuǎn)拋物面在點(diǎn)處的切平面即

20、法線方程 解：設(shè)，有，于是所求切平面的法向量為 從而所求切平面方程為，即， 法線方程為. 第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度 引入:由函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知：偏導(dǎo)數(shù)、只是函數(shù)過點(diǎn)沿平行坐標(biāo)軸法線的變化率.但在實(shí)際應(yīng)用中，往往要求我們知道函數(shù)在點(diǎn)沿任意確定的方向的變化率，以及沿什么方向函數(shù)的變化率最大，這就涉及到函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度. 一、方向?qū)?shù) 1. 定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義， 為過點(diǎn))上另一點(diǎn)，且.若極限的射線( 存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)沿 方向 注：若函數(shù)在點(diǎn)，則 的偏導(dǎo)數(shù)存在，且 若函數(shù)在點(diǎn)，則 的偏導(dǎo)數(shù)存在，且 2. 方向?qū)?shù)的存在性 定理：若函數(shù)在點(diǎn)可微分，則函數(shù)在點(diǎn)沿任意

21、方向的方向 ，其中、的方向余弦 注：1°. 可推廣：若函數(shù)在點(diǎn)可微分，則在點(diǎn) 的方向?qū)?shù)為 2°. 方向?qū)?shù)存在，函數(shù)未必可微分 例如：在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)都存在，但 點(diǎn)不可微分 事實(shí)上：由于 ，從而 沿方向的方向?qū)?shù)都存在 但在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都不存在，從而不可微分. 例1. 求函數(shù)在點(diǎn)處從點(diǎn)到方向的方向?qū)?shù) 解：由題可知方向就是向量的方向，有 又 ， . 例2.求在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)，其中 解：由題可知與方向同向的單位向量為， 又故所求方向?qū)?shù)為二、梯度 ， ， ， 1.梯度的定義：設(shè)函數(shù)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，對每一個(gè) ，稱向量為函數(shù)在點(diǎn) ，或，即. 注：可推

22、廣：. 2.梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系 (1).沿梯度方向，方向?qū)?shù)達(dá)到最大值； (2).梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值 推導(dǎo)：設(shè)，若函數(shù)在點(diǎn)則在點(diǎn)可微分，沿方向的 1. 當(dāng) 這說明函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向是在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向，它的模等于方向?qū)?shù)的最大值 2. 當(dāng)時(shí)，有與的方向相反，函數(shù)減小最快，在這個(gè)方向上的方向?qū)?shù)達(dá)到最小值，3. 當(dāng) 時(shí)，有與的方向正交，函數(shù)的變化率為零，即 例3. 求 解：令 ，有，于是 例4.設(shè)，求 (1). 在處增加最快的方向以及沿這個(gè)方向的方向?qū)?shù)； (2). 在處減少最快的方向以及沿這個(gè)方向的方向?qū)?shù)； (3). 在處變化率為零的方向 解：(

23、1). 在點(diǎn)處沿的方向增加最快，由于 ， 故所求方向可取為 (2). 在點(diǎn)處沿的方向減少最快，故所求方向可取 (3). 在點(diǎn)處沿垂直于的方向變化率為零，故所求方向?yàn)?或. 第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法 引入：在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們討論了一元函數(shù)的極值和最值問題，但在許多實(shí)際問題中，往往會遇到多元函數(shù)的極值和最值問題，我們以二元函數(shù)為例來討論多元函數(shù)的極值與最值問題 一、二元函數(shù)的極值與最值 1. 極值：二元函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榈膬?nèi)點(diǎn)，若存在 ，且，都有 ( 則稱在點(diǎn)稱為函數(shù)的極大值點(diǎn)(極小值點(diǎn)). 有極大值(極小值).點(diǎn)統(tǒng)稱極大值、極小值為極值；使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為函數(shù)的極值點(diǎn) 2. 最值

24、：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若存在，都 ( 則稱為在D上的最大值(最小值). 注：1°. 極值是一個(gè)局部概念，最值是一個(gè)整體概念. 2°. 極值與最值的關(guān)系：極值可以是最值，但最值未必是極值. 例1. 函數(shù)在點(diǎn)取得極小值，也是最小值. 例2. 函數(shù)在點(diǎn)取得極大值，也是最大值. 例3.函數(shù)在點(diǎn)既不取得極大值，也不取得極小值 由此可見，并不是每一個(gè)函數(shù)在其定義域上都有極值點(diǎn)，那么什么樣的點(diǎn)可能是函數(shù)的 點(diǎn)的必要條件和充分條件，從中得到這些問題的答案. 二、極值點(diǎn)的條件 定理1. 若函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn) ， 注：1. 稱使成立的點(diǎn)為的駐點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn) 2°. 可偏導(dǎo)函數(shù)的極

25、值點(diǎn)一定是其駐點(diǎn)，但反之未必 例如：函數(shù)，在點(diǎn)是其駐點(diǎn)，但在點(diǎn)卻不取得極值 那么什么樣的駐點(diǎn)才能是極值點(diǎn)呢？下面的極值點(diǎn)的充分條件回答這一問題，并給出求極值的方法 定理2. 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且具有一階以及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，令 ， 則在處是否取得極值的條件如下： (1). 時(shí)具有極值，且當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極小值. (2). 時(shí)沒有極值 (3). 時(shí)是否取得極值不定，需另行討論. 3.求極值的步驟 第一步：求偏導(dǎo)數(shù)，解方程組，得的所有駐點(diǎn) 第二步：對每一駐點(diǎn)，求二階偏導(dǎo)數(shù)的值、 第三步：考察的符號，判斷是否為極值，若是極值，判斷出是極大值還是極小值 例4.求函數(shù)的極值 解：解方程組，得駐點(diǎn)，. 又， (1). 在點(diǎn)處，且，故在 (2). 在點(diǎn)處，故不是極值. (3). 在點(diǎn)處，故不是極值 (4). 在點(diǎn)處，且，故在 值 例5. 求函數(shù)的極值 解：由方程組得兩個(gè)駐點(diǎn)， . 又； (1). 在點(diǎn)處， ， ，故在點(diǎn)取極小值 (2). 在點(diǎn)處，有 ，而在的某個(gè)鄰域內(nèi)既有大于0的值，也有小于0 ，而.故在取不到極值 注：可偏導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是其駐點(diǎn)，但函數(shù)的極值點(diǎn)也可以在其不可偏導(dǎo)點(diǎn)處取得， 例如：在取得極大值，但不是的駐點(diǎn). 三、函數(shù)最值的求法 在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們利用函數(shù)極值求函數(shù)的最值，這一方法仍然適用于多元函數(shù). 設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域D