1、1北京市東城區北京市東城區 20201 17-20187-2018 學年度第二學期高三綜合練習學年度第二學期高三綜合練習高三數學（理科）2018.42018.4本試卷共 4 頁，150 分。考試時長 120 分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共 40 分）一、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）若集合 |31Axx ， |1Bx x 或2x ，則AB （A） |32xx （B） |31xx （C） |11xx （D） |12xx（2）復數i1 iz 在復

2、平面上對應的點位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）已知, a bR，且ab，則下列不等式一定成立的是（A）220ab（B）coscos0ab（C）110ab（D）0abee（4）在平面直角坐標系xOy中，角以Ox為始邊，終邊與單位圓交于點3 4( , )5 5，則tan()的值為（A）43（B）34（C）43（D）34（5）設拋物線24yx上一點P到y軸的距離是2，則P到該拋物線焦點的距離是（A）1（B）2（C）3（D）4（6）故宮博物院五一期間同時舉辦“戲曲文化展” 、 “明代御窯瓷器展” 、 “歷代青綠山水畫展” 、 “趙孟頫書畫展”. 某同學決定在五一當天的

3、上、下午各參觀其中的一個，且至少參觀一個畫展，則不同的參觀方案共有:（A）6 種（B）8 種（C）10 種（D）12 種（7）設na是公差為d的等差數列，nS為其前n項和，則“0d ”是“ nS為遞增數列”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件2（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（8）某次數學測試共有 4 道題目，若某考生答對的題大于全部題的一半，則稱他為“學習能手” ，對于某個題目，如果答對該題的“學習能手”不到全部“學習能手”的一半，則稱該題為“難題”.已知這次測試共有 5 個“學習能手” ，則“難題”的個數最多為（A）4（B）3（C）2（D）1第二部分（非選擇題共 11

4、0 分）二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分。（ 9 ） 在ABC中， 角,A B C所對的邊分別為, ,a b c. 若222acbac， 則B=（10）在極坐標系中， 圓2 cos的圓心到直線sin1的距離為（11）若, x y滿足410,xyxyx則2zxy的最大值為（12）某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積為_.（13）設平面向量, ,a b c為非零向量能夠說明“若鬃a b = a c，則b= c”是假命題的一組向量, ,a b c的坐標依次為（14）單位圓的內接正(3)n n 邊形的面積記為( )f n，則(3)f_；下面是關于( )f n的描述:2( )s

5、in2nf nn；( )f n的 最 大 值 為； ( )(1)f nf n； ( )(2 )2 ( )f nfnf n.其中正確結論的序號為_.（注：請寫出所有正確結論的序號）3三、解答題共 6 小題，共 80 分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（15） （本小題 13 分）已知函數22( )sin2sin coscosf xxxxx.() 求( )f x的最小正周期；() 求( )f x在0,2上的最大值和最小值.4（16） （本小題 13 分）從高一年級隨機選取 100 名學生， 對他們的期中考試的數學和語文成績進行分析， 成績如圖所示.（）從這 100 名學生中隨機選取一人，

6、求該生數學和語文成績均低于 60 分的概率；（） 從語文成績大于 80 分的學生中隨機選取兩人， 記這兩人中數學成績高于 80 分的人數為x，求x的分布列和數學期望( )Ex；（）試判斷這 100 名學生數學成績的方差a與語文成績的方差b的大小.（只需寫出結論）5（17） （本小題 14 分）如圖 1，在邊長為 2 的正方形ABCD中，P為CD中點，分別將PAD，PBC沿PA，PB所在直線折疊，使點C與點D重合于點O，如圖 2. 在三棱錐POAB中，E為PB的中點（）求證：POAB；（）求直線PB與平面POA所成角的正弦值；（）求二面角PAOE的大小.圖 1圖 2（18） （本小題 13 分）

7、6已知橢圓22221(0)xyCabab：的離心率為32，且過點 A(2，0)() 求橢圓C的方程；() 設 M，N 是橢圓C上不同于點A的兩點，且直線 AM，AN 的斜率之積等于14. 試問直線 MN 是否過定點？若是，求出該點的坐標；若不是，請說明理由（19） （本小題 14 分）已知函數( )e(1)xf xa x.（I）若曲線( )yf x在(0,(0)f處的切線斜率為 0，求a的值；（II）若( )0f x 恒成立，求a的取值范圍；（III）證明：當0a 時，曲線( ) (0)yf xx總在曲線2lnyx的上方.（20） （本小題 13 分）在(2)nn n個實數組成的n行n列的數表

8、中，ija表示第i行第j列的數，記12iiiinraaa(1)in，12(1)jjjnjcaaajn.若 1,0,1ija (1,)i jn. 且1212,nnr rr c cc兩兩不等， 則稱此表為 “n階H表” .記1212, , , ,nnnHr rr c cc.（I）請寫出一個“2 階H表” ；（II）對任意一個“n階H表” ，若整數, n n ，且nH，求證：為偶數；（III）求證：不存在“5 階H表”.7北京市東城區北京市東城區 20201 17-20187-2018 學年度第二學期高三綜合練習（一）學年度第二學期高三綜合練習（一）高三數學參考答案及評分標準高三數學參考答案及評分標

9、準 （理科）（理科）一、選擇題（共一、選擇題（共 8 8 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，共分，共 4040 分）分）（1）B（2）B（3）D（4）A（5）C（6）C（7）D（8）D二、填空題（共二、填空題（共 6 6 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，共分，共 3030 分）分）（9）3（10）1（11）6（12）122 3（13）(1,0), (0,1),(0,-1)（答案不唯一）（14）3 34；三、解答題（共三、解答題（共 6 6 小題，共小題，共 8080 分）分）（15） （共 13 分）解： （）因為22( )sin2sin coscosf xxxxxxxxxxx2co

10、s2sin)sin(coscossin2222sin(2)4x.所以( )f x的最小正周期為22 .7 分() 因為02xp.所以32444xppp-.當242xpp-=，即38xp=時，( )f x取得最大值2；當244xpp-= -，即0 x =時，( )f x取得最小值1-.所以( )f x在0,2上的最大值為2，最小值為1-.13 分（16） （共 13 分）解： （I）由圖知，在被選取的 100 名學生中，數學和語文成績均低于 60 分的有 9 人，所以從 100 名學生中隨機選取一人，該生數學和語文成績均低于 60 分的概率為90.09100.3 分8（）由圖知，語文成績大于 8

11、0 分的學生優 10 人，這 10 人中數學成績高于 80 分的有 4人，所以x的所有可能取值為 0，1，2.262101(0)3CPCx=,11462108(1)15C CPCx=,242102(2)15CPCx=，所以x的分布列為x012p13815215故x的數學期望1824( )012315155Ex=+ +=.10 分（）由圖判斷，ab.13 分（17） （共 14 分）證明： （）在正方形ABCD中，P為CD中點，PDAD,PCBC，所以在三棱錐POAB中，POOA，POOB.因為OAOBO，所以PO 平面OAB.因為AB 平面OAB,所以POAB.4 分（）取 AB 中點 F，連

12、接 OF，取 AO 中點 M，連接 BM.過點 O 作 AB 的平行線 OG.因為 PO平面 OAB，所以 POOF，POOG.因為 OAOB，F 為 AB 的中點，所以 OFAB. 所以 OFOG.如圖所示，建立空間直角坐標系 Oxyz.A(1， 3，0)，B(1， 3，0)，P(0，0，1)，M(12，32，0)因為 BOBA，M 為 OA 的中點，所以 BMOA.因為 PO平面 OAB，PO平面 POA，所以平面 POA平面 OAB.因為平面 POA平面 OABOA，BM平面 OAB，所以 BM平面 POA.因為BMuuur(32，32，0)所以平面 POA 的法向量 m(3，1，0).

13、BPuur(1， 3，1)設直線 BP 與平面 POA 所成角為，9則15sincos5BPBPBPa= =uuruuruurmm,m.所以直線 BP 與平面 POA 所成角的正弦值為155.10 分（）由()知13 1,222E，13 1,222OE ，1, 3,0OA .設平面OAE的法向量為n，則有0,0.OAOE nn即30,30.xyxyz 令1y ，則3x ，2 3z . 即3, 1,2 3n.所以21cos,2 42m nm nmn.由題知二面角 PAOE 為銳角，所以它的大小為3p.14 分（18） （共 13 分）解： （I）由已知有222,3.2aaba解得2,1.ab橢圓

14、 C 的方程為2214xy.4 分（II）若直線 MN 斜率存在，設直線 MN 方程為ykxn.由22,1,4ykxnxy消去y，得222(14)8440kxknxn.當0 ，設1122( ,),(,)M x yN xy，則12281 4knxxk .，21224414nx xk.由12121224AMANyykkxx 以及11ykxn，22ykxn整理，得221212(1 4)(42)()(44)0kx xnkxxn.10將，代入上式，整理，得220nkn，解得0n 或2nk .當0n 時，直線ykxn過(0,0)；當2nk 時，直線ykxn過(2,0)（舍）.若直線 MN 斜率不存在，則直

15、線,AM AN斜率互為相反數.不妨設11,22AMANkk ，于是直線1:(2)2AMyx 與橢圓交于(0,1)M，由對稱性可知直線AN與橢圓交于(0, 1)N.所以直線 MN 也過(0,0).綜上，直線 MN 過定點(0,0).13 分19） （共 14 分）解： （I）函數( )e(1)xf xa x的定義域為R.因為( )e(1)xf xa x，所以( )exfxa.由(0)10fa 得1a . 4 分（II）( )e(R)xfxa x.當0a 時，令( )0fx 得lnxa.lnxa時，( )0fx ；lnxa時，( )0fx .( )f x在(,ln )a上單調遞減，在(ln ,+

16、)a上單調遞增.所以當lnxa時，( )f x有最小值(ln )(1 ln )lnfaaaaaa .“( )0f x 恒成立”等價于“( )f x最小值大于等于 0” ，即ln0aa.因為0a ，所以01a.當0a 時，( )e0 xf x 符合題意；當0a 時，取011xa ，則111101()e( 11)e10aaf xaa ，不符合題意.綜上，若( )0f x 對xR恒成立，則a的取值范圍為0,1.9 分（III） 當0a 時， 令( )( )(2ln )eln2(0)xh xf xxxx， 可求1( )exh xx.11因為121( )e1002h，(1)e 10h ，且1( )exh

17、 xx在(0,)上單調遞增，所以在（0，+ ）上存在唯一的0 x，使得0001()e0 xh xx，即001exx，且0112x.當x變化時，( )h x與( )h x在（0，+ ）上的情況如下：x0(0,)x0 x0(,)x ( )h x0( )h x極小則當0 xx時，( )h x存在最小值0()h x,且000001()eln22xh xxxx.因為01( ,1)2x ，所以0000011()2220h xxxxx.所以當0a 時，( )2ln (0)f xx x所以當0a 時，曲線( ) (0)yf xx總在曲線2lnyx的上方. 14 分（20） （共 13 分）解： （I）3 分（

18、II）對任意一個“n階H表” ，ir表示第i行所有數的和，jc表示第j列所有數的和（1, i jn）.1niir與1njjc均表示數表中所有數的和，所以1niir1njjc.因為 1,0,1ija ，所以1212,nnr rr c cc只能取, n n內的整數.又因為1212,nnr rr c cc互不相等，, n n 且nH，所以1212 , ,1, 1,0,1,1, nnr rr c ccnnnn ，1110（答案不唯一）12所以1niir1njjc(1)( 1)0 1+(1)0nnnn .所以12niir 為偶數.8 分（III）假設存在一個“5階H表” ，則由（II）知55, 5,3, 3H ，且54H和54H 至少有一個成立，不妨設54H.設125,5rr ，則121,1(15)jjaaj ，于是3(15)jcj，因而可設34r ，313233341aaaa，350a.若 3 是某列的和，由于52c ，故只能是前四列某列的和，不妨設是第一列，即41511aa.現考慮3，只能是4r或5r，不妨設43r ，即424344451aaaa ，由234,c c c兩兩不等知525354,aaa兩兩不等， 不妨設5253541,0,1aaa ， 若551a 則5