1、第一節(jié) 中值定理教學(xué)目的：理解并會用羅爾定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。教學(xué)重點：羅爾定理、拉格朗日定理的應(yīng)用。教學(xué)過程： 一、羅爾定理定理1：若函數(shù)f(x) 滿足：（i）f(x) 在 a,b 上連續(xù)；（ii）f(x) 在（a,b）可導(dǎo)，（iii）f(a) =f(b), 則在（a,b）內(nèi)至少存在一點，使得f()=0.證明：由（i）知f(x)在a,b上連續(xù)，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此時，又有二種情況：（1） M=m，即f(x)在a,b上得最大值和最小值相等，從而知，此時f(x)為常數(shù)：f(x)M=m，0，因此，可知為（a,b）內(nèi)任一點，都有f()0。（2） M>m,此

2、時M和m之中，必有一個不等于f(a)或f(b)，不妨設(shè)Mf(a)（對mf(a)同理證明），這時必然在（a,b）內(nèi)存在一點，使得f()=M,即f(x)在點得最大值。下面來證明：f()=0首先由（ii）知f()是存在的，由定義知：f()= .(*)因為為最大值，對有 f(x) Mf(x)M0,當(dāng)x>時，有0當(dāng)x<時，有0。又因為（）的極限存在，知（）極限的左、右極限都存在，且都等于，即，然而，又有 和 。注 1：定理中的三個條件缺一不可，否則定理不一定成立，即指定理中的條件是充分的，但非必要。 2：羅爾定理中的點不一定唯一。事實上，從定理的證明過程中不難看出：若可導(dǎo)函數(shù)在點處取得最大值

3、或最小值，則有。 3：定理的幾何意義：設(shè)有一段弧的兩端點的高度相等，且弧長除兩端點外，處處都有不垂直于軸的一切線，到弧上至少有一點處的切線平行于軸。【例1】 設(shè)多項式的導(dǎo)函數(shù)沒有實根，證明最多只有一個實根。 二、 拉格朗日中值定理在羅爾定理中，第三個條件為(iii)，然而對一般的函數(shù)，此條不滿足，現(xiàn)將該條件去掉，但仍保留前兩個條件，這樣，結(jié)論相應(yīng)地要改變，這就是拉格朗日中值定理：定理2：若函數(shù)滿足：(i)在上連續(xù)；(ii)在上可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點，使得 。若此時，還有， 。可見羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個特殊情況，因而用羅爾中值定理來證明之。證明：上式又可寫為 (1)作一個輔助函數(shù)

4、： (2)顯然，在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且 ， 所以由羅爾中值定理，在內(nèi)至少存在一點,使得。 又 或 。注 1：拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣； 2：定理中的結(jié)論，可以寫成，此式也稱為拉格朗日公式，其中可寫成： (3)若令 (4) 3：若，定理中的條件相應(yīng)地改為：在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則結(jié)論為： 也可寫成 可見，不論哪個大，其拉格朗日公式總是一樣的。這時，為介于之間的一個數(shù)，(4)中的不論正負(fù)，只要滿足條件，(4)就成立。 4：設(shè)在點處有一個增量，得到點，在以和為端點的區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有 即 這準(zhǔn)確地表達了和這兩個增量間的關(guān)系，故該定理又稱為微分中值定理。 5：幾何意義：如果曲線在

5、除端點外的每一點都有不平行于軸的切線，則曲線上至少存在一點，該點的切線平行于兩端點的聯(lián)線。由定理還可得到下列結(jié)論：推論1：如果在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒為0，則在上是一個常數(shù)。證明：在中任取一點，然后再取一個異于的任一點，在以，為端點的區(qū)間 上，滿足：(i)連續(xù)；(ii)可導(dǎo)；從而在內(nèi)部存在一點，使得 又在上，從而在上， ， 所以 ， 可見，在上的每一點都有： （常數(shù)）。 三、 柯西中值定理定理3：若滿足：(i) 在上連續(xù)；(ii) 在內(nèi)可導(dǎo)；(iii)在內(nèi)恒不為0；(iv)；則在內(nèi)至少存在一點，使得 。證明：令，顯然，在上連續(xù)，且在內(nèi)可導(dǎo)，更進一步還有 ，事實上， 所以滿足羅爾定理的條件，故在內(nèi)至少存在一點，使得，又 因為， 注 1：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，事實上，令，就得到拉格朗日中值定理； 2：幾何意義：若用 （）表示曲線，則其幾何意義同前一個。【例1】 若函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，其中，證明在內(nèi)至少有一點，使得。【例2】 若，證明。證明：對，取， ， 不難驗證：滿足拉格朗日中值定理的條件，故在內(nèi)至少存在一點，使?jié)M足 ，即 由的任意性，知本題成立。注：條件“”可改為“”，結(jié)論仍成立。【例3】 證明：。【例4】 證明：若在上可導(dǎo)，且存在，則 。【例5】