1、2019年普通高等學校招生全國統一考試（江蘇卷）數學I注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1 .本試卷共4頁，均為非選擇題（第1題第20題，共20題）。本卷滿分為160分，考試時 間為120分鐘。考試結束后，請將本試卷和答題卡一片交回。2 .答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡 的規定位置。3 .請認真核對監考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符。4 .作答試題，必須用毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答 一律無效。5 .如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗。參考公式：

2、21n _2_1n樣本數據x1, x2，xn的方差s- x x ,其中x xi.n i 1n i 1柱體的體積V Sh,其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.1錐體的體積V 1Sh,其中S是錐體的底面積，h是錐體的高.3一、填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應位 置上. 1 .已知集合 A 1,0,1,6, B x|x 0,x R,則 AI B .2 .已知復數（a 2i）（1 i）的實部為0,其中i為虛數單位，則實數 a的值是 .3 .下圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值是 .4 .函數y 、7 6x x2的定義域是 .5 .已知一組數據 6, 7, 8

3、, 8, 9, 10,則該組數據的方差是.6 .從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是.27 .在平面直角坐標系 xOy中，若雙曲線x2 % 1(b 0)經過點(3, 4),則該雙曲線的 b漸近線方程是.8 .已知數列an( n N )是等差數列，Sn是其前n項和.若a2a5 a8 0, S9 27 ,則Sg的值是 .9 .如圖，長方體 ABCD A1B1C1D1的體積是120, E為CC1的中點，則三棱錐 E-BCD勺體積是 .4 .10 .在平面直角坐標系 xOy中，P是曲線y x (x 0)上的一個動點，則點P到直線x+y=0 x

4、的距離的最小值是.11 .在平面直角坐標系 xOy中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點 A處的切線經過點(-e,-1)(e為自然對數的底數)，則點A的坐標是 .unr uuurAB AC12 .如圖，在ZXABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA AD與CE交于點O .若unr uur AB6AO EC ,則CB的值是 . AC13 .已知 一tan2,則sin 2- 的值是 .tan 34414 .設f (x),g(x)是定義在R上的兩個周期函數，f(x)的周期為4, g(x)的周期為2,且 k(x 2),0 x 1f(x)是奇函數.當 x (0,2時，f(x) Ji_(x

5、1)2 , g(x) 1 ,1x2 2其中k>0.若在區間(0, 9上，關于x的方程f(x) g(x)有8個不同的實數根，則 k的取值范圍是.、解答題：本大題共 6小題，共計90分.請在答題卡指定區域 內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15 .(本小題滿分14分)在ABC43,角 A, B, C的對邊分別為 a, b, c.(1)右 a=3c,b= J2 , cosB=,求 c 的值;3/、什 sin A(2)若 acosB，求 sin(B )的值.2b216 .(本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱 ABO ABC中，D, E分別為BC AC的中點，AB=BC求證：(1)

6、 AB/平面DEC;(2) BE!CE.17.(本小題滿分14分)22如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C x2 % 1(a b 0)的焦點為F1( - 1、0), a bF2 (1,0).過F2作x軸的垂線l ,在x軸的上方，l與圓F2:(x 1)2y24a2交于點A,與橢圓C交于點D.連結AF并延長交圓F2于點B,連結BE交橢圓C于點E,連結DF.已知DF= 5 .2(1)求橢圓C的標準方程；(2)求點E的坐標.18.(本小題滿分16分)如圖，一個湖的邊界是圓心為 O的圓，湖的一側有一條直線型公路l,湖上有橋AB(AB是圓O的直徑).規劃在公路 l上選兩個點P、Q,并修建兩段直線型道路

7、PB QA規劃要求：線段PB QA上的所有點到點 O的距離均不小于圓 O的半徑.已知點 A B到直 線l的距離分別為 AC和BD(G D為垂足)，測得 A田10, AC=6, BD=12 (單位：百米).(1)若道路PB與橋AB垂直，求道路 PB的長；(2)在規劃要求下，P和Q中能否有一個點選在 D處？并說明理由；(3)對規劃要求下，若道路 PB和QA勺長度均為d (單位：百米).求當d最小時，P、Q兩點間的距離.19 .(本小題滿分16分)設函數 f(x) (x a)(x b)(x c), a,b,c R、f'(x)為 f (x)的導函數.(1)若 a=b=c, f (4) =8,求

8、 a 的值；(2)若awb, b=c,且f (x)和f'(x)的零點均在集合 3,1,3中，求f (x)的極小 值；4(3)若a 0,0 b, 1,c 1 ,且f (x)的極大值為 M求證：Me.2720 .(本小滿分 16分)定義首項為1且公比為正數的等比數列為“ W數列”.(1)已知等比數列an(n N )滿足：a2a4 a5,a3 4a2 4a4 0 ,求證：數列an 為“ W數列”；122(2)已知數列bn滿足：b1 1 ，其中S為數列bn的前n項和.Sn bn bn 1求數列bn的通項公式；設m為正整數，右存在數列 cn(n N ),對任意正整數 k,當kwm時，都有ck蒯b

9、k ck 1成立，求m的最大值.數學n(附加題)21 .【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題， 并在相應的答題區域內作答 .若 多做，則按作答的前兩小題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.選彳4-2:矩陣與變換(本小題滿分10分)-一 3 1已知矩陣A2 2(1)求 A：(2)求矩陣A的特征值.B.選彳4-4 :坐標系與參數方程(本小題滿分10分)在極坐標系中，已知兩點 a 3,_ ,b J2,直線l的方程為sin -3.424(1)求A, B兩點間的距離；(2)求點B到直線l的距離.C.選彳4-5:不等式選講(本小題滿分10分)設x R ,解不等式|x|+|2

10、 x 1|>2.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區域內作答，解 答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22.(本小題滿分 10 分)設(1 x)n a0 a1x a2x2 L anxn,n 4,n N* .已知a32a2a4 .(1)求n的值；(2)設(1 肉 a b73,其中a,b N* ,求a2 3b2的值.23.(本小題滿分10分)在平面直角坐標系xO井，設點集An (0,0),(1,0),(2,0),(n,0)Bn(0,1),(n,1),Cn (0,2),(1 ,2),(2,2), L ,(n,2), n N .令Mn An U Bn U C

11、n .從集合M中任取兩個不同的點，用隨機變量X表示它們之間的距離.(1)當n=1時，求X勺概率分布;2019年普通高等學校招生全國統一考試（江蘇卷）數學I答案一、填空題：本題考查基礎知識、基本運算和基本思想方法一 一51.1,64. 1,75.-311. （e, 1）12. .3.每小題5分，共計70分.7. y2x13避.1014.二、解答題15.本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數關系、誘導公式等基礎知識，考查運算求解能力.滿分14分.解：（1）因為a 3c,b2,cos由余弦定理cos B2,2c b/日，得2ac(3c)2 c2 (V2)2 ,即 c22 3c c '

12、（2）因為snAa由正弦定理asin Acos B2bb /日,得sin BcosB2bsin Bb,所以 cosB 2sin B .從而cos2 B(2sinB)2,即2 、 cos B.2244 1 cos B ,故 cos B 一5因為sin B0,所以cosB2sin B因此sin B16 .本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.滿分14分.證明：（1）因為D, E分別為BG AC的中點，所以ED/ AB在直三棱柱 ABC-ABG中，AB/ AB,所以AB / ED又因為ED?平面DEC, AB 平面DEC,所以AB /平

13、面DEC(2)因為AB=BC E為AC的中點，所以 BE!AC因為三棱柱ABC-ABC是直棱柱，所以 CC，平面ABC又因為BE?平面ABC所以CC，BE因為 CC?平面 AACC，AC?平面 AACC, CCA AC=C,所以BEL平面AACC因為CE?平面AACQ所以BE!CE17 .本小題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質、直線與圓及橢圓的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、分析問題能力和運算求解能力.滿分14分.解：(1)設橢圓C的焦距為2c.因為 Fi( 1, 0), F2(1 , 0),所以 FiF2=2, c=1.5.又因為DF=5, AE,x軸，所以2dE=

14、JdF； F1F22 J(1)2 22因止匕2a=DF+D桎=4,從而a=2.由 b2=a2- c2,彳導 b2=3.22因此，橢圓C的標準方程為L上 1.432 y_31 , a=2,(2)解法x2由(1)知，橢圓C: 一4因為AFx軸，所以點A的橫坐標為1.將x=1代入圓F2的方程(x-1) 2+y2=16,解得y=±4.因為點A在x軸上方，所以A(1 , 4).又 Fi(-1,0),所以直線 AF： y=2x+2.由y (x2x 21)2 y2,得 5x2166x11125 '解得x11一代入5一，1112_,八3因此 B(1 12).又 F2(1, 0),所以直線 B

15、F2： y -(x 1).554y 3(x 1)1342由 22 ，得7x 6x 13 0 ,解得x士匕143又因為E是線段BB與橢圓的交點，所以 x 1 .333將 x 1 代入 y (x 1),得 y .因此 E( 1,-).422解法二：由(1)知，橢圓C: - -y- 1.如圖，連結EF.43因為 BF=2a, EF+EE=2a,所以 EF=EB 從而/ BFE=/ B.因為EA=EB,所以/ A=/B,所以/ A=/ BFE,從而 EF / F2A因為AFx軸，所以EFx軸.x 13因為 F(1 , 0),由 x2 y2 ，得 y 3.一二 1243一, 一 ,，_、，_3又因為E是

16、線段BE與橢圓的交點，所以 y -.2一3因此 E( 1,-).218.本小題主要考查三角函數的應用、解方程、直線與圓等基礎知識，考查直觀想象和數學建模及運用數學知識分析和解決實際問題的能力.滿分16分.解：解法一：(1)過A作AE BD ,垂足為E由已知條件得，四邊形 ACDE矩形,DE BE AC 6, AE CD 8.'因為PBL AB，所以 cos PBD sin ABE 1012一 15.所以PBBDcos PBD 45因此道路PB勺長為15 （百米）.（2）若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BU的點（除B, E）到點O勺距離均小 于圓O勺半徑，所以 選在說不滿足規劃要

17、求.若 QSD處，連結 AD 由（1）知 AD VAE2ED 10 ,AD2 AB2 BD27從而cos BAD AD一AB一匕 0 ,所以/ BA西銳角. 2AD AB 25所以線段ADk存在點到點 O勺距離小于圓 O勺半徑.因此，C選在皿也不滿足規劃要求.綜上，可口 Q勻不能選在 皿.（3）先討論點P勺位置.當/ OBP90時，線段PBh存在點到點 O勺距離小于圓 O勺半徑，點 符合規劃要求；當/ OB庚90°時，對線段PBh任意一點F, OF> OB即線段PBh所有點到點 O勺距離均不 小于圓O勺半徑，點留合規劃要求.設P1為l上一點，且PB AB,由（1）知，PB=15

18、, . 3此時 PD FB sin PBD PB cos EBA 15 - 9；5當/ OBP90 時，在 /XPEB 中，PB 印 15.由上可知，d>15.再討論點Q勺位置.由（2）知，要使得 QA> 15,點QR有位于點C的右側，才能符合規劃要求 .當QAd5時, CQ ，QA2 AC2 由52 62 3J21.此時，線段QAh所有點到點O勺距離均不小于 圓O的半徑.綜上，當PB± AB,點Q&于點 以側，且CR3J21時，d最小，此時P, Q兩點間的距離PQ=P>C>CQ：17+3', 21.因此，d最小時，P, C兩點間的距離為17+

19、3后（百米）解法二：(1)如圖，過。乍OHL 1,垂足為H.以6坐標原點，直線 O的y軸，建立平面直角坐標系.因為Bt=12, AC=6,所以OH9,直線1的方程為y=9,點A, B的縱坐標分別為3,-3.因為AB圓O勺直彳至,AB=10,所以圓O勺方程為x2+y2=25.3從而A (4, 3) , B (-4, -3),直線AB勺斜率為-.4一. 4因為PBL AB,所以直線PB勺斜率為 -,3，、一425直線PB勺方程為y -x 5.33所以 P (-13, 9) , PB & 13 4)2 (9 3)215.因此道路PB勺長為15 (百米).(2)若PB叫，取線段BDE一點E (

20、-4, 0),則EQ=4<5,所以 砒在皿不滿足規劃要 求.若Q在D處，連結AD由(1)知D (-4, 9),又A (4, 3),一 .一3 一，所以線段AD y 3 x 6( 4軟X 4).4在線段ADh取點M (3, 15),因為OM J32 竺32 42 5,4.4所以線段ADh存在點到點 O勺距離小于圓O勺半徑.因此0在皿也不滿足規劃要求.綜上，可口 Q勻不能選在 皿.(3)先討論點P勺位置.當/ OBP90時，線段PBh存在點到點 O勺距離小于圓 O勺半徑，點 符合規劃要求；當/OB陞90。時，對線段PBh任意一點F, O匡OB即線段PBh所有點到點 O勺距離均不 小于圓O勺半

21、徑，點留合規劃要求.設 P1 為 1 上一點，且 PB AB ,由(1)知，PB=15,此時 P (-13, 9);當/ OBP90 時，在 /XPEB 中，PB 印 15.由上可知，d>15.再討論點Q勺位置.由(2)知，要使得QQ15,點QR有位于點C勺右側，才能符合規劃要求.當Q/=15時，設Q (a, 9),由 AQ J(a 4)2 (9 3)2 15(a 4),得 a=4 3揚，所以 Q(4 3/21, 9),此時，線段QAt所有點到點O勺距離均不小于圓 O勺半徑.綜上，當P (-13, 9) , Q (4 3歷，9)時，d最小，此時P, Q兩點間的距離PQ 4 3.21 (

22、13) 17 3、21.因此，d最小時，P, Q兩點間的距離為17 3俯 (百米).19,本小題主要考查利用導數研究函數的性質，考查綜合運用數學思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力.滿分 16分.解：(1)因為 a b c,所以 f(x) (x a)(x b)(x c) (x a)3.因為f (4) 8 ,所以(4 a)3 8 ,解得a 2.(2)因為b c ,所以 f (x) (x a)(x b)2 x3 (a 2b)x2 b(2a b)x ab2,2a b一. 2a b從而 f'(x) 3(x b) x 2-ab .令 f'(x) 0 ,得 x b或 x 芻一b .332

23、a b 因為a,b,2ab,都在集合 3,1,3中，且a b,32a b所以 2a_b 1,a 3,b3.3此時 f(x) (x 3)(x 3)2, f'(x) 3(x 3)(x 1).令f'(x) 0,得x 3或x 1 .列表如下:x(,3)3(3,1)1(1,)f'(x)+0一0+f(x)Z極大值極小值Z所以f(x)的極小值為f(1) (1 3)(1 3)232 .(3)因為 a 0, c 1 ,所以 f(x) x(x b)(x 1) x3 (b 1)x2 bx,f'(x) 3x2 2(b 1)x b .因為 0 b 1 ,所以 4(b 1)x1b 13x1

24、2(b 1)x1b - 12b (2b 1)2 3 0,則f'(x)有2個不同的零點，設為 X1,x2 K x2由 f'(x) 0,得 xibib2bi32 b2 b 1b(b 1)922 b2 b 1 (b 1)27b(b 1)927 bF3_2b(b 1) 2(b 1) (b 1)272727(.b(b1) 1)3b(b 1)24 .因此M272727解法二：427因為0 b 1 ,所以x1(0,1).當 x (0,1)時，f(x)x(x b)(x 1) x(x 1)2.列表如下:x(,x1)x1x1，x2x2(x2 ,)f'(x)+0一0+f(x)Z極大值極小值Z

25、所以f(x)的極大值M f x1解法.32M f x1x1(b 1)xbx人11i)x(x 1)，x (0,1),則 g(x) 3x 3 (x 1).1令g'(x) 0,得x .列表如下:3x1 (0,3)13G1)g'(x)+0一g(x)Z極大值1. 14所以當X 時，g(X)取得極大值，且是最大值，故g(x)max g - 一3327所以當 x (0,1)時，f (x) g(x) & ,因此 M 272720.本小題主要考查等差和等比數列的定義、通項公式、性質等基礎知識，考查代數推理、轉化與化歸及綜合運用數學知識探究與解決問題的能力.滿分16分.解：(1)設等比數列

26、an的公比為q,所以ai*0, qw0.a2a4 %a；q4 a1q4a1 1由，得 2，解得1a3 4a2 4a1 0 a1q4alq 4al 0 q 2因此數列an為“ Mh數列”.122c(2)因為,所以bn 0 .Sn bn bn 1n122由b11Sb1 得 1 1 b；，則b22.J - 2 ,得 Snbnbn1Sn bn bn12(b01 bn)當n 2時，由bnSnSn 1 ,得 bnbnbn 12 bn 1 bnbn 1bn2 bnbn 1整理得 bn 1 bn 1 2bn .所以數列bn是首項和公差均為1的等差數列.、一 ,一 *因此，數列bn的通項公式為bn=n n N由

27、知，bk=k, k n .因為數列cn為“M-數列”，設公比為q,所以c=1, q>0.k 1k因為 CkWbkW Ck+1,所以 q k q ,其中 k=1, 2, 3,，m當k=1時，有q>1;ln kri1 In x2-xIn k當k=2, 3,，mf寸，有lnqkIn x設f (x) =一(x 1),則 f'(x) x令f'（x） 0,得*=3.列表如下:因為2ln8 ln966ln3，所以3r r ln3f(k)max f(3) 3取 q3/3,當 k=1, 2,4, 5時,ln kk，lnq ,即 k q , kx(1,e)e(e， +°

28、76;)f'(x)+0一f(x)極大值經檢驗知qk 1 k也成立.因此所求m勺最大值不小于5.若m£>6,分另1J取 k=3, 6,得3wq3,且 q5w6,從而 q15>243,且 q%216,所以q不存在.因此所求mm勺最大值小于6.綜上，所求ml勺最大值為5.數學n （附加題）參考答案21 .【選做題】A.選彳4-2:矩陣與變換本小題主要考查矩陣的運算、特征值等基礎知識，考查運算求解能力.滿分10分.解：（1）因為A所以A23 13 12 2 2 23312 3112115232221 221 10 6(2)矩陣A的特征多項式為f()令f( ) 0,解得A勺

29、特征值1 1, 2 4.B.選彳4-4:坐標系與參數方程本小題主要考查曲線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力.滿分 10分.解：(1)設極點為O在OA小，A (3, 4 ) , B (亞，)，由余弦定理，得 AB=.32 ( .2)2 2 3.2 cos( -), 5 .(2)因為直線l的方程為 sin( -) 3,4則直線l過點(372,-),傾斜角為 3又B(J2,),所以點 即直線l的距離為(3亞 J2) sin(- -) 2.242C.選彳4-5:不等式選講本小題主要考查解不等式等基礎知識，考查運算求解和推理論證能力.滿分10分.八，一八，八八一1解：當x<0時，原不等式可化為x 1 2x 2,解得x<：3，1 一，當0W xw 一時，原不等式可化為 x+1 - 2x>2,即x< - 1,無解; 2,1 一 _當x>一時，原不等式可化為 x+2x-1>2,解得x>1.2 一1 .、一綜上，原不等式的解集為 x|x-或x 1.322.【必做題】本小題主要考查二項式定理、組合數等基礎知識，考查分析問題能力與運算求