1、淮北師范大學信息學院 2015 屆學士學位論文關于高等數學考研題型的研究系、專 業 數學系、數學與應用數學 研 究 方 向 高等數學 學 生 姓 名 謝建雄 學 號 201118045089 指導教師姓名 葉永升 指導教師職稱 教授 2015年5月22日淮北師范大學信息學院畢業論文（設計）誠信承諾書本人鄭重承諾所呈交的畢業論文（設計） ，是在指導教師 的指導下嚴格按照學院和系有關規定完成的。本人在畢業論文（設計）中引用他人的觀點和參考資料均加以注釋和說明。本人承諾在畢業論文（設計）選題和研究過程中沒有抄襲他人的研究成果和偽造相關數據等行為，若有抄襲行為，由本人承擔一切責任。 承諾人： 2011

2、年級 數學與應用數學專業 簽 名： 2015年5月22日關于高等數學考研題型的研究摘要高等數學在考研中的所占的份額，無論是數一數二數三，均超過百分之五十，其在考研中的地位非常重要，所以對于高等數學在考研中題型的研究就成了必要，本論文針對歷年考研數一，數二，數三試卷中出現的題型做出一些分析，特別是對其中的重難點題目做出了細致的分析研究，旨在能夠更好的發揮高等數學作為一門重要的學科它所應當發揮的考核的作用 關鍵詞：題型；分析；考研Research on Higher Mathematics Examination QuestionsABSTRACTThe status of higher math

3、ematics in one's deceased father grind and important，So for the higher mathematics topic of study in one's deceased father grind has become necessaryIn this paper，according to one's deceased father grind for a calendar year，the number two，number three papers in the topic to make some ana

4、lysisEspecially for the difficult point questions has made the detailed analysis and research，to better play to the higher mathematics as an important subject which should play the role of evaluation Keywords: topic；Analysis；One's deceased father grind目錄一、引言1二、關于高等數學考研題型的研究1（一）關于極限與連續的考研題型1（二）關于

5、微分學的考研題型4（三）關于積分學的考研題型6（四）關于微分方程的考研題型9（五）關于級數的考研題型11（六）關于空間解析幾何的考研題型12三、結論12參考文獻13致謝14一、引言考研人群主要面對的是高校大學生，考研可以說是眾多考生大學學習的延伸和進一步深造的臺階，同時也將高等數學這門復雜且綜合性學科擺在了尤為關鍵的位置上考研數學分類為數一、數二、數三，難易程度逐次遞減像數學這樣思維邏輯縝密的學科所呈現的不僅僅是客觀存在的各種理論知識，更是一種綜合應用解決問題的能力技巧我們需要在學習以及教學過程中增強活學活用的意識，這對提高考研分數十分重要微積分作為高等數學的基本內容貫穿其始末，而且關于微積分

6、的考研試題題型千變萬化，考生往往感到無從下手因此許多學者對這塊問題進行了深入研究，如考研數學的常考知識點：極限與連續、多元函數偏導數的計算、重積分的計算、微分方程的通解與特解、級數問題證明等等本文歸納了高等數學各章節中關于考研的重要知識點，并列舉了相關例題進行綜合講解，使得這些知識點能被考生們利用和熟知二、關于高等數學考研題型的研究（一）關于極限與連續的考研題型函數是高等數學討論的主要對象，它以極限理論為基礎，在研究函數時我們是通過函數值的變化來看函數的性質極限與函數的連續性定理是高等數學的基礎，如何求函數極限以及判定其連續性是本節重點考研中極限的主要考點有求不定型極限、若干項和或積的極限、變

7、積分限的函數的極限，而關于函數連續性的題目大多是判斷其是否有間斷點下面我們舉例說明.1、求極限定義1 設為數列，為定數若對任意實數，總存在正整數，使得當時有，則稱數列收斂域，定數稱為數列的極限，記作例1（2004年真題）當時，求極限分析容易看出本題屬于“”型未定式極限我們可利用當的等價無窮小因子來代換，以及，由此我們可以得出結果解 小結 通過等價無窮小因子替換化簡求極限是一個十分有效的方法，但要注意的是在乘除法中可用等價無窮小因子替換，在加減法中一定不可以用等價無窮小替換，如中時，分子中不能替換成此外不定型極限計算形式還有型、型、型、型、型、型等，計算這些不定型極限應注意：（1）一般不定型極限

8、最后都會轉化為型、型、型，所以首先要確定不定型的類型（2）計算方法常采用等價無窮小代替、馬克勞林公式、洛必達法則等（3）計算過程中要熟練運用等價無窮小的替換公式，如：時，；例2（2008年真題）求極限分析時，作等價無窮小替換，要注意的是中的不可替換成解，作變量替換得，由洛必達法則得 小結 洛必達法則是求型和型極限的重要方法，其他形式可以轉換成這兩種形式，然后再使用洛必達法則此題中有乘除顯然可以先進行等價無窮小替換，即，這樣就轉化成型使用過程中一定要嚴格按照法則要求及條件，歷年考研真題中常出現用洛必達法則計算的題型，考生們要多加留心，切不可生搬硬套，因為很多題目是要經過轉換才能使用2、函數連續與

9、間斷連續性是函數重要性質，分為左連續和右連續由函數連續性定義知：設函數在點處有定義，若，則稱函數在點左連續；若，則稱函數在點右連續間斷點問題是數一數二以及數三都涉及的小知識點，選擇題中出題形式一般是讓我們判斷間斷點間斷點分為第一類間斷點和第二類間斷點，第一類間斷點又分為可去間斷點與跳躍間斷點，特點是函數在該點左右極限都存在若第一類間斷點左右極限相等即為可去間斷點，若第一類間斷點左右極限不相等即為跳躍間斷點第二類間斷點可分為無窮間斷點與震蕩間斷點等，特點是函數在該點至少有一側極限不存在定義2 設函數在點的某一鄰域內有定義，如果，那么稱函數在點連續例3 設其中在處可導，且，則是的連續的 第一類間斷

10、點 第二類間斷點 連續點或間斷點不能由此確定分析由已知知，因為，所以由上知在點處不連續，且在此點出左右極限存在，所以是的第一間斷點，即此題選擇（二）關于微分學的考研題型微分學是高等數學的重要組成部分，可分為一元函數微分學和多元函數微分學考研中的題型主要就是導數的計算，本文主要介紹多元函數偏導數的計算，還有求函數極值最值及單調性凹凸性判斷，特別重要的是幾大中值定理的應用，如：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、泰勒中值定理和柯西中值定理定義3設，若增量可表示為，則稱函數在點可微，稱為在點處相對于增量的微分1、一元函數微分學定理1（介值定理）設和為函數在有界區域上的最小值和最大值，則在上可取得上的任意

11、值 定理2（拉格朗日中值定理）如果函數滿足（1）在閉區間上連續；（2）在開區間內可導，那么在內至少有一點，使得等式成立例4 設函數在上連續，在內二階可導，且，證明：存在，使得分析通過對已知條件的解讀，可以看出要對使用推廣的積分中值定理，對使用介值定理證明令，則由拉格朗日中值定理得，由于在上連續，所以在此區間內存在最小值和最大值，則有，即，由介值定理得，存在使得，所以由羅爾定理得，存在，使得，那么存在，使得2、多元函數微分學這塊內容主要考的題型就是單純計算偏導或偏導和極值最值綜合在一起例5 設，其中二階連續可偏導，求解， 小結復合函數的偏導數計算都是遵循鏈式法則，即：設函數可微，其中，則有，類似

12、的公式可以推廣到其他多元復合函數例6設為二元函數的全微分，且，求函數在區域上的最值分析由函數全微分可以得到對的偏導，然后求出的表達式，再求出駐點便可以得出題目所要求的最值解易得由得，對偏導得，由得，則，所以，又因為，可得，所以對于，由得駐點，對于，令，由得因為，所以函數在區域上的最大值和最小值分別為和小結像這類條件最值問題常用到拉格朗日乘數法，條件極值的求解方法類似求解最值首先是求出所給區域內部的最值，即駐點和至少一個偏導數不存在的點處的函數值；然后求出所給區域邊界上的最值；最后比較這些數值（三）關于積分學的考研題型定積分和不定積分是積分學中的兩大基本問題，關于不定積分主要考計算，而定積分部分

13、不僅有計算，而且證明類試題也不少還有重積分，一般到二重積分，三重積分只有數一要求，考生們要把握好要求1、不定積分不定積分的計算思路是將被積表達式轉化為基本積分公式表里面的某個積分的被積表達式，然后套用此公式得出原函數.常用方法有分部積分法、換元法、三角函數變形等等例7（2002年真題）設，求不定積分分析首先令，將其帶入到不定積分中，然后進行解題解令，其中，則，故得 ，由有，帶入上式得原式2、定積分定積分的主要考點有定積分的計算、證明和應用，定積分和不定積分的計算方法類似，區別就是：不定積分是求導數的逆運算，定積分是一種和式的極限有關定積分的考研證明題大體包括：含定積分的等式與不等式證明、含定積

14、分的中值命題定積分的應用包括：幾何應用、物理應用、經濟應用其中物理應用僅數一數二要求，而經濟應用僅數三要求例8（2008年真題）設，求分析可以看出已知中表達式十分復雜，而且不能直接代入中，所以要先求出的表達式解令，得，故得小結這一題中的關鍵步驟就是求的表達式，然后利用積分公示表求出被積函數的原函數表達式此外還有分段函數的定積分計算和含參數的定積分若是分段函數，要注意的是分段函數在不同區間上的表達式的特點，再利用積分的區間可加性質進行計算；若定積分含參數，要注意的是參數不同可能要用不同的積分法計算，而且參數的取值范圍不能漏掉定理3（積分中值定理） 設函數在上連續，則在內至少有一點，使得 ，或例9

15、 設函數且單調遞減，對任意的，證明：分析證明，可以轉換成證明證明 ， 由積分中值定理知存在，使得，代入中得，故得小結定積分的證明是定積分部分的重點和難點，證明方法有很多，如：題中只給出函數連續，使用定積分的性質來解決；若函數既給出連續性有給出單調性，可通過構造輔助函數法來證明；若給出函數連續可導，可采用拉格朗日中值定理或牛頓萊布尼茨公式證明此題是關于不等式的證明，考研卷子中還會出些等式的證明，通常使用方法是換元法和分部積分法總之題型千變萬化但萬變不離其宗，熟練掌握積分性質及各種方法是解題之關鍵3、重積分二重積分是常考題型，三重積分只有數一要求，下面我們主要講解二重積分的計算例10（2003年真

16、題）計算二重積分，其中積分區域解作極坐標變換，則，有 ，令,則，解得，故得小結運用極坐標公式法計算二重積分可減少計算量，將問題簡單化如：在極坐標系中，若區域，則要熟悉圓域或圓域的一部分，以及由圓心在坐標軸上且過原點的圓所包含的區域的極坐標表示可以畫出圖形表示，這樣更能直觀看出積分區域 （四）關于微分方程的考研題型在考研試卷中，常微分方程試題大約占微積分試題總分的八分之一，差分方程只有數三考察，近年來差分方程的考察也逐漸淡化常微分方程可以分為齊次線性微分方程和非齊次線性微分方程，非齊次線性方程的求解包含了齊次線性微分方程的求解方法微分方程的解包含通解和特解，特解部分需要考生特別注意，因為通常都是

17、這里會出現錯誤例11（2007年真題）二階常系數非齊次線性微分方程的通解為_分析首先求出齊次部分的通解，然后根據特征方程的根設出特解表達式代入方程中求出特解，這樣微分方程通解便求出來了解由特征方程得特征根，所以微分方程的齊次部分的通解為因為非齊次項為，所以非齊次微分方程的特解可設為，代入原方程得，故原方程通解為，為任意常數例12（2007）微分方程的特解形式可設為 分析由特征方程得特征根然后分別考察方程和的特征解設方程的特解為，由于非齊次項中是特征根，故可設方程的特解為所以此題特解形式可設為小結二階常系數非齊次微分方程通解為，其中為任意常數，為的兩個線性無關的特解，是非齊次線性微分方程的一個特

18、解這里特解形式與形式有關，按照特征根及的形式的不同情況，選擇對應的含有特定系數的函數作為特解需要注意的是，當只包含正弦函數或余弦函數時，特解中也要包含正弦函數或余弦函數（五）關于級數的考研題型級數只對數一數三要求，數二是不考的級數的考查內容主要有：判別級數斂散性、函數展成冪級數、求冪級數的收斂域與和函數等我們可以用定義判別計算的斂散性，對于正項級數利用正項級數判別法則，對于交錯級數常用萊布尼茨法則對于冪級數的求和問題，考生要熟記特殊函數的冪級數展開形式，如：；，例12 判斷的收斂性分析這里主要使用比值審斂法解由可知級數是收斂的 要注意的是比值審斂法有限制，當收斂于時無法判斷級數收斂還是發散定理

19、4（逐項可導性）設的收斂半徑為，則當時，且收斂半徑不變定理5（逐項可積性）設的收斂半徑為，則當時，且收斂半徑不變例13求級數的和函數解由得級數收斂半徑為，因為時此級數發散，所以收斂域為 小結求冪級數的和函數實際上是函數展開成冪級數的逆過程，通常使用的工具有：逐項可積性與逐項可導性、常見函數的麥克勞林級數等此題是用分解法求數值級數的和，將分解為，這樣求就轉化成求和，接著利用逐項求導得出和函數（六）關于空間解析幾何的考研題型考研試題中的空間解析幾何只對數一要求，空間解析幾何與平面解析幾何的思想方法類似，但是要比平面幾何難度大主要考點有：求平面方程、直線方程、點到直線距離與異面直線間距離、旋轉曲面方程等例14一動點到平面的距離等于它與軸距離的兩倍，又點到的距離為，求動點的軌跡方程解設點坐標為，點到平面的距離計算得，到軸距離為，則有，即有，因為點到的距離為，所以，所以動點的軌跡方程為小結此類問題常用到距離公式及向量代數的工具，由所給約束條件確定動點的坐標所滿足的方程三、結論 高等數學是理工科類專業的一門重要的基礎課程，也是全國碩士研究生數學入學考試的重點科目通過對歷年考研題型的研究，我們可以看出關于高