1、用導(dǎo)數(shù)求切線方程的四種Prepared on 22 November 2020用導(dǎo)數(shù)求切線方程的四種類型浙江 曾安雄求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于 求出切點P(x°, %)及斜率，其求法為：設(shè)P(x0, y0)是曲線y = /(x)上的一點，則 以尸的切點的切線方程為：y-y0=f,(x0)(x-x0).若曲線y = f(x)在點尸(小，/(X。) 的切線平行于y軸(即導(dǎo)數(shù)不存在)時，由切線定義知，切線方程為x = M .下面例析四種常見的類型及解法.類型一：已知切點，求曲線的切線方程此類題較為簡單，只須求出曲線的導(dǎo)數(shù)/(元)，并代入點斜式方程即可.

2、例1曲線 =/-3/ + 1在點(1, 1)處的切線方程為()A . y = 3x-4B . y = -3x + 2C . y = -4x + 3D . y = 4x - 5解：由廣(x) = 3V-6x貝IJ在點(1,-1)處斜率氏=/=3,故所求的切線方程為gp y = -3x+2,因而選 B .類型二：已知斜率，求曲線的切線方程此類題可利用斜率求出切點，再用點斜式方程加以解決.例2與直線2x-y + 4 =。的平行的拋物線)，=%2的切線方程是()A . 2x -y + 3 = 0B . 2x-y-3 = 0C . 2x - y +1 = 0D . 2x y -1 = 0解：設(shè)尸(為治)

3、為切點，則切點的斜率為)I-=2%=2 .Ao = 1 .由此得到切點(1，1) .故切線方程為l = 2(x-1),即2x-y-1 = 0,故選D評注：此題所給的曲線是拋物線，故也可利用法加以解決，即設(shè)切線方 程為y = 2x + /代入)，= /,得2x- = 0,又因為 =(),得 =-1,故選D .類型三：已知過曲線上一點，求切線方程過曲線上一點的切線，該點未必是切點，故應(yīng)先設(shè)切點，再求切點，即用 待定切點法.例3求過曲線)，=上的點(1,-1)的切線方程.解：設(shè)想產(chǎn)(知%)為切點,則切線的斜率為力i=3寸一2 .,切線方程為 V- % = (3x02 - 2)(a -x0).y -

4、(x03 - 2x0) = (3x02 - 2)(x-x0).又知切線過點(L-1),把它代入上述方程，得-1 (x03 2x0) = (3x02 2)(1 x0).解得與=1,或-故所求切線方程為y (l-2) = (3 241),或y-卜(+ 1) = (1-21+ ；),即 工一)2 = 0,或5x + 4y-l=0 .評注：可以發(fā)現(xiàn)直線5x + 4y-1=0并不以(1,7)為切點，實際上是經(jīng)過了點 (1，-1)且以；-為切點的直線.這說明過曲線上一點的切線，該點未必是切 點，解決此類問題可用待定切點法.類型四：已知過曲線外一點，求切線方程此類題可先設(shè)切點，再求切點，即用待定切點法來求解

5、.例4求過點0)且與曲線y = !相切的直線方程.X解：設(shè)P(%)為切點，則切線的斜率為"-=-1.Ao，切線方程為-%=-7(刀-玉3即.V-!« =-二(xr。).X。X。 X。又已知切線過點(2,0),把它代入上述方程，得-_L = -上(2-%).解得 = 1，y0 = =11 即+)1-2 = 0 .X。評注：點(20)實際上是曲線外的一點，但在解答過程中卻無需判斷它的確切位置，充分反映出待定切點法的高效性.例5已知函數(shù)y = x=3x,過點40,16)作曲線y = /(x)的切線，求此切線方 程.解：曲線方程為)，=/一3凡 點A(0J6)不在曲線上.設(shè)切點為知

6、(為o),則點M的坐標滿足%=k-3% .r(x0) = 3(v-l),故切線的方程為y -%=3(V-l)(x-x0).點 4046)在切線上，則有 16-(而3_3%) = 3(%2_1)(07。).化簡得= -8,解得-。 = -2 .所以，切點為M(-2-2),切線方程為9x-y + 16 = 0 .評注：此類題的解題思路是，先判斷點A是否在曲線上，若點4在曲線上，化為類型一或類型三；若點A不在曲線上，應(yīng)先設(shè)出切點并求出切點.2、求圓錠曲線的切線在初中數(shù)學(xué)中，曲線的切線沒有一般的定義。例如，圓的切線定義為與圓 只有一個交點的直線，但把這一定義用到其他曲線上就不行了。如直線丁 =。與 拋

7、物線)，= /只有一個交點，y =。是)，= /的切線，但工=0與拋物線，= /也 只有一個交點，但、=。卻不是 =/的切線，由此可見，用“一個交點”來定義 切線并不能用于所有曲線。而學(xué)了微積分的知識后，就可以給出曲線切線的一 般定義了。切線的定義：設(shè)外是曲線y = /(x)上一定點，團是該曲線上的一動點，從 而有割線見川，令?沿著曲線無限趨近于阿)，則割線W的極限位置就是曲線 丁 = /(幻在恤的切線(如果極限存在的話)。這一定義與初等數(shù)學(xué)中圓的切線定義是一致的(用于討論圓的切線時)， 用這一定義也容易證明丁 =。是y = V的切線，而x =。不是)，= /的切線，這一 切線定義可用于任何曲

8、線y = f(x)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y = fM在點x的切線斜率。故運用上述切線的 一般定義和結(jié)論，可以處理與切線有關(guān)的許多問題。例6求曲線y =在x = 2時的切線方程。解：7. X二當(dāng) x = 2 時，' = -2又.當(dāng) x = 2 時，y = n2，當(dāng)x = 2時，所求的切線方程為：即 x-2y-2 + 2n2 = 0反思：由此可見，用微積分法解此類問題是多么的簡單容易，可是在初等 數(shù)學(xué)中，曲線)，= /(©的切線定義都難得給出，更別說討論與)，= /«的切線 有關(guān)的問題了。例7已知函數(shù)/(x) = a/ +/-3工在工=±1處取得極值，過點A

9、(。，16)作曲線)，= /(x)的切線，求此切線方程。解：由例4,曲線方程為例x) = d-3x,點力(0,16)不在曲線上。設(shè)切點為A/*。,)，。),則點用的坐標滿足光=即3 -3%, 由于/(%) = 3(%2 -1),故切線的方程為y- )= 3(x： -l)(x -%).注意到點 4(0,16)在切線上,有 16 - 3%) = 3(% - 1)(0-%)化簡得 X： = -8 ,解得 / =-2 . 因此,切點為M(2,2),切線方程為9x y + 16 = 0.29例10：設(shè)P（x0,y。）是雙曲線七一二=1上一點，求過P點的切線方程。 tr a.解；考慮上半支雙曲線的方程為b

10、 / , 2， bxy=-'a-+x-, y ,a則P（x0,y。）處的切線斜率為/ ,= Xbx（）aa2+Xo切線方程為yy0= Jx。 （Xx。） ay/a2+x02 b? x="x_x。） a-y。即 斗_竺=b2 a2當(dāng)P在下半支時，也可得到同樣的方程。要點：1 .導(dǎo)數(shù)是如何定義2.如何求曲線y = /。）在點（Q3） 處的切線方程與法線方程。第三章導(dǎo)數(shù)與微分§導(dǎo)數(shù)的概念由于機器制造，遠洋航海，天象觀測等大量實際問題給數(shù)學(xué)家 提出了許多課題。其中求曲邊梯形面積的研究導(dǎo)致了積分學(xué)的產(chǎn)生，而求變速運大值和寂爾蜜Newton遮求曲線上一 龔導(dǎo)致了微分學(xué)3 Lei

11、bniz期徹線，求函蓼的極 圾篇,分%鬟忐導(dǎo)生。數(shù)的概率，并明確給出計算導(dǎo)數(shù)的步驟，而且建立了有關(guān)積分與微 分是互%逆運算的完整理論。導(dǎo)數(shù)的概念1 . 平均變化率 設(shè)在點x = a處自變量改變Ar（ArW。），函數(shù) y = /（x）相應(yīng)地改變紂=/（4 +私）-/（），則平均變化率是Aj _f（a + Sx）-f（a） *AxZkv圖不難看出，平均變化率的幾何解釋是連續(xù)曲線上兩點的割線的斜率(小f0如何)2 .瞬時變化率當(dāng)物體做變速直線運動時，它的速度隨時間而確定，此時平均變化率a表示時刻從"至心。+4這一段時間內(nèi)的平均速度心若設(shè)路程s是時間，的函數(shù)s = "),則'

12、;竺=/()一兒),當(dāng)7很小時，可以用；近似地表示物體在 Ar Ar時刻。的速度，加愈小，近似的程度就愈好。當(dāng)A/-0時，如果極限1114 Mm 的也© 存在，則稱此極限為物體在時刻的瞬時XTU X XT" Af速度，即=同竺=勒/仇+")一/(幻a。Z 'I。 A/例1.已知自由落體的運動方程為s = ；g汽求(1)：落體從/。到 1。+這段時間內(nèi)的平均速度V. (2)：落體在=/。時的瞬時速度。角羊 (1 ) V s=-gt2, 25(4) = 500，+ Ar) = -g(r0 +Ar).心= g + Jg)+平均速度 了 =卞=g+<84.

13、A/ 2(2)：落體在/ ="時的瞬時速度。瞬時速度 v 1,_, = lim = Jim | gt03.切線的斜率設(shè)有一連續(xù)函數(shù)y = /U),則平均變化率包是指曲線，= /(%)上的Ax兩點的割線的斜率。即割線尸。的斜率是Ay _ /（ +Atj當(dāng)Ar f0時，顯然 處的切線即切？ 值（如果存在）lim 斜率。例2.求曲線y = d在點P（l,l）處的切線斜率和切線方程.解：先計算從點P（l,l）到鄰近任意點Q（l+Ar J（l + -）的平均變化率），（1 + 刈-刖_（1 + 詞-13AxzktAx=3&' + 33）"）二 + 3板 + 3）2.

14、Ax故曲線"X3查點P（l,l）處的切線斜率胴應(yīng)為m = lim = lim 3 + 3Ax+（Ax）2 =3.A D Af Av-»O而過點P（L 1）的切線方程為l = 3（x-l）.即y = 3x-2.思考題如果上題中改為求過點尸92）的切線，此時要驗證點是否在 曲線上。然后求出切點（孔,），。），再用點斜式求出切線方程，此時 個能有左、右兩條切線。對一般曲線），='）,既使點尸（。乃）在曲線 上，如果求在點尸處的切線，則切線可能有1條、2條、3條。由上面的例題可以看出，平均變化率的極限可以給出不同的解釋。一個是作為變速直線運動在某一時刻的瞬時速度，一個是看作

15、曲線 上某一點的切線的斜率。其實這個量lim包或lim/一八"）（其中- Ax f x-ax = + Ar）在各個不同領(lǐng)域中可以有許多不同的解釋。數(shù)學(xué)上給它一個特殊的名稱，叫做函數(shù),，=/«在點 ' =。處的導(dǎo)數(shù)。4.導(dǎo)數(shù)的定義定義 設(shè)函數(shù)），= /（、）在點血的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點% 處取得改變量sQo）時，函數(shù),，=/（"取得相應(yīng)的改變量 ），= /&+-）-/卜）.如果當(dāng)-0時，改變量的比 絲 的極限存 Ax在,即存在，則稱此極限值為函數(shù)），= /（、）在點X,處的導(dǎo)數(shù)（或叫微商）。 記作）,y'Q乳或5”是X從X至。+位的

16、平均變化率，而r（x ）= lim包則稱函數(shù)在點Ax0o/工處的變化率。可見導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在一點處的局部性質(zhì)。如果一（X）在 點五處有導(dǎo)數(shù)，則稱/W在點/處可導(dǎo)，否則稱在點處不可 導(dǎo)。如果/（X）在某區(qū)間內(nèi)每一點都可導(dǎo)，則稱/（X）在他,切內(nèi)可 導(dǎo).設(shè)/（X）在（4,。）內(nèi)可導(dǎo)，則對于區(qū)間（凡萬）內(nèi)每一點X都對應(yīng)一個導(dǎo) 數(shù)值，因此就定義了 （/）內(nèi)的一個新函數(shù)，稱為導(dǎo)函數(shù)，簡稱為導(dǎo) 數(shù)，記作/a），了，務(wù) j-/W dx dx利用導(dǎo)數(shù)的符號，瞬時速度就是路程S對時間的導(dǎo)數(shù)，即X半. dt 而曲線y = f（x）在點x處的切線斜率應(yīng)為/而過點（X。,%）的 切線方程應(yīng)為f =r（%）do）.當(dāng)lim

17、包 是+ 8或-oo （此時極限不存在，故導(dǎo)數(shù)不存在）在幾何 AiO Ax上則表示曲線在點看處有一條垂直的切線。（所以“曲線函數(shù)在此點的導(dǎo)數(shù)不存在,則曲線在此點就沒有切線”的說法是錯誤的）。例3.求線性函數(shù)y = ax + b的導(dǎo)數(shù)。解求導(dǎo)數(shù)的步驟是：（D計算函數(shù)的相應(yīng)的改變量了 二 f(x + At)-/(x)=a(x + Ax)+b-cix + b = aSx .(2)計算改變量的比值包=，竺 Ax Ax(3)求極限 lim = lim a a. :.y' a.即Ay aio9 (cix + b) =a.例4求)，=_L的導(dǎo)數(shù)。X=/(x + Ar)-/(x) = !-1= = -

18、1x + Sx x + x) Axx(x + Aa)f r z rII nny = lim = lim - =- K|J例5.求y = C的導(dǎo)數(shù)，并算出Np.(T“型)o解 、，=而二-6，包=正亙?nèi)齔 仝 Ax，r Ay r Vx + Ar-VxV = lim = lim“to Ak ao Ax- V Ay- 3-。加(>/1,+放+ 6)=liman1 _ 1 yjx + AV + yx 2yx即=（/）、；”.因此）, 前面所采用的導(dǎo)數(shù)定義是如下形式11m /+刈一/(工0)33 Ar但有時為方便，也可以換一種形式：若記 Ar = /?, 則有=7'a)=盤/(%+/?)-

19、/(%)h另外一種形式是：若令 Ax = x _ x(), BP x = x0 + Ar ,貝 I有yf = J (%) = limTed J ' 0/ .一以下要點1.左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)2.分段點處導(dǎo)數(shù)要用定義求例6.用定義討論函數(shù)/3='sin：在點、=o處的nX = 0連續(xù)性與可導(dǎo)性。解lim /(%)= lim xsiii - = 0 = /(0),故知/(x)在x = 0處連續(xù)。因為在點 ktOktO %4=0處函數(shù)的改變量Av = /(0 + Ax)- /(0)= Zkvsin - - 0 = zkvsin . ArAx八.1a ,Aysinlim = lim- = l

20、im sin 一(不存在，上下振蕩)。Ax->0 M MtOAlO所以/W在X = O處不可導(dǎo)。此例說明力在幾處連續(xù)未必可導(dǎo)。*思考題討論 =? /(x)= x，sin7在點x=。處(1)連續(xù);n X = 0(2)可導(dǎo)；(3)連續(xù)。(答(1): n > 0; (2): n > 1; (3): n > 2)*例 設(shè)/(、) = <?”",儀0)=9<0)= 0,求/'(0).0解八。)5 g嘰皿士ux->0 x3x其中 lim 磯,“二切。)=*(0) = 0 ,而 cos < 1JU XX，八0)=勒處上幽cos =0.-1。

21、XX5.左，右導(dǎo)數(shù)的概念定義 設(shè)函數(shù)y = /(x)在i。的某鄰域內(nèi)有定義，如果lim八/"二/存在,則稱此極限值為函數(shù)尸/在見點處的左 ai)- zkr導(dǎo)數(shù)。記作九G°).如果Um 上士上曳存在，則稱此極限值為函數(shù)y =在入。點處ao- At的右導(dǎo)數(shù)。記作f/M由極限的性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)在飛點處的左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)都存在且 相等時，函數(shù)在該點才是可導(dǎo)的。所以函數(shù)/«)在口向上可導(dǎo)，是 指/在開區(qū)間伍內(nèi)處處可導(dǎo)，且存在£()與/_(日在求分段 函數(shù)在分段點處的導(dǎo)數(shù)時，就需要研究分段點處的左，右導(dǎo)數(shù)。例8.設(shè)/)=521,求八2).5 I解(去掉絕對值符號)=

22、/(%)= 1x>2x = 2, x = 2是分段點。x <2=limaso-52-(2)_ Ax=lim5-» -1Ax(已講過，復(fù)習(xí))5 2T令 y = 5-»-1,貝lj log5 (1 + y) = -Ar - log5 5 = -Zkv.5d -I lim = liin-log5(l +j)=liinv70a1。- Av/（2）= lim，（2 + »）/（2）= g5."-'/ A 一 .A ” .Ad.故故2)Wf；(2)./”)不存在，因此/(x)在x = 2處不可導(dǎo)。例9.討論函數(shù))，= x) = N = 1%A&#

23、39;-°在x =。處的連續(xù)性與可導(dǎo)一 x, x<0口性。X /r解連續(xù)性：/(o)=o._lim /(a) = lim 忖=0. lim f(x)= lim |x| = 0.圖lim /(x) = lini |a = 0. /. lim |x| = /(0)= 0. /. y =兇在 x = 0 處連續(xù)。可導(dǎo)性：/(0)= lim "=lim 區(qū)二= Hm 兇=lim 二生=-1. air Ax ai)- zkl a-。-乂./(o)”(o),故/(x)在x = o處不可導(dǎo)。此例再一次說明函數(shù)在某點連續(xù)，未必在該點可導(dǎo)。6.可導(dǎo)必連續(xù)定理 如果/。)在點/處可導(dǎo)，則

24、它在該點必連續(xù)。證. y = /(x)在點/可導(dǎo)，lim 6二廣(%).由 Ay = - Ax ,可知 lim Ay = liin （ - Ax） = lim lim At =Ai->0 '） Av->0 y 'I。即y = f(x)在點%。處連續(xù)。根據(jù)此定理，如果已經(jīng)判斷出函數(shù)在某一點不連續(xù)，則立即可以得 出函數(shù)在該點不可導(dǎo)的結(jié)論。例10.討論函數(shù)x<0/U)= fl "在分段點x = O,x = l及X = 2處的連續(xù)性與可；十 1 < x < 2釬+4 2cx導(dǎo)性。解（1）在點x = 0處lim /(x) = lim (x-l) =

25、 -l.lim f(x)= liin 2x = 0.lim f(x) liin /(%), /. lim f(x)不存在；x->0-x-0*3)故/(x)在.r = 0不連續(xù)，從而/。)在x = 0處也不可導(dǎo)。(2)在點x = l處lim /(x) = lim lx = 2. lim f(x)= lim (x2 + 1)=2. x>r.<->rja/(l)=2/.lim /(x)= /(1)=2.因此在x = l處連續(xù)。進一步研究在x = l處的可導(dǎo)性，因為x = l是分段點，所以要考慮1- /(1 + A、)/ r 2(1 + Ax)2 2Ax/ (1)= lun :

26、= lim - =lim = 2.“TF 乂- AxAv/+(1)= I- /2)一刖=lim *1一2 = lim 2< = 2.aio- Sxar-o- Axacr Sx£(1)=£(1)=:=2.故f(x)在x = l處可導(dǎo),且廣(1) = 2.(3) 在點x = 2的連續(xù)性：lim /(a)= lim (x2 +1)=5. lim f (x) = lim x + 4 j = 5 . x-22I 2 J而/=5. .則/(力=5 = /，故/(x)在點x = 2是連續(xù)的。再討論可導(dǎo)性：/(2)= lim /'(2 + 八)-2)= lim 3山: lim

27、 出3L4. »t)- Ar *to- MAr（wf，故八2）不存在，即/（x）在x = 2處不可導(dǎo)。由上可知，在討論分段點的連續(xù)性和可導(dǎo)性時，一般來說，都要先 考慮其左，右極限和左，右導(dǎo)數(shù)。附加例題 設(shè)和方是常數(shù)，<。，定義求 r(o),其中 a=1 -。.本周作業(yè):.2(1,3) ,3, 5 (2,6,7);6 (3, 4, 6, 7, 8,10,11,12,14, 23,)(2)書 定理 2. 1.1。f(x)eCla).(3) “數(shù)學(xué)之美”改在11月3日(周5)下午4點，于(東校門內(nèi))綜合實驗樓一樓報告廳。兩個例題：*例 設(shè)/(X)在(-8,+s)上有定義，在0,2上/

28、(x) = x，4).若Vx都有 f(x) = kf(x+2),其中k為常數(shù).(1 )寫出/(X)在-2,0)內(nèi)的表達式； (2)問攵=? /(x)在x = 0處可導(dǎo)。解(1)當(dāng)-2WXV0,即 0<x+2<2 時，(2)由題設(shè)知 /(0) = 0,故k = Y，/(x)在處可導(dǎo)，且/'(。) = -4. 乙*例 /(X)在(。,2)內(nèi)可導(dǎo)，/(x)>0, liin /(x) = 1,且滿足求lim4")屋求x).5 J(X)解設(shè) y = £+")1；則 1” = 3n / *+"),因為/W ' h fMr 1I】 f

29、(x + hx)xnf(x + hx)-nfxrhm In v = Inn In= lun= Alin / (x)l,直乂h-。 D hf(X)力-0llX酬與等=e由已知條件得e,WJe* ,因此品 ln/(x)Y = L 即ln/(x) 了 = 3， X尸解出()In /(x) = + cp f(x) = e'e x =ce *.由 lim /(x) = l,得c = l.故 Ay2 f(x) = e x.We i erstrass 曾舉一例：X f(x) = cos0"m), /?=()33其中0 < a <. b is odd number. ah>

30、 + or ab> + (1 - a).22處處連續(xù)處處不可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)【本章學(xué)習(xí)目標】本章章頭圖是由一幅超級市場飲料貨架的照片和一幅圓柱形圖象組成.與圖相配，引 言給出了一個實際問題：當(dāng)圓柱形金屬罐的容積一定時，怎樣選取圓柱形罐的尺寸，能使 所用材料最省這可以歸納為求一個函數(shù)的最大(小)值的問題.在日常生活、生產(chǎn)和科研中，類似的問題大量存在，一般來說，這些問題是可以用初 等方法來解決的，但更有效、更簡潔的工具還是微積分.另外利用微積分還可以解決曲線 的切線問題，物體運動的瞬時速度及方向等問題.本章主要內(nèi)容有：(1)導(dǎo)數(shù)的概念.(2)幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(3)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù).(4

31、)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(5)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)致.(6)微分的概念與運算.(7)函數(shù)的單調(diào)性.(8)函數(shù)的極值以及函數(shù)的最大值與最小值.本章的重點是：1 .導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2 .常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.3 .導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.本章的難點是：1 .導(dǎo)數(shù)概念的理解.2 .利用導(dǎo)數(shù)判別可導(dǎo)函數(shù)的極值的方法及求一些實際問題的最大值與最小值.【基礎(chǔ)知識導(dǎo)引】1. 了解曲線的切線的概念.2. 在了解瞬時速度的基礎(chǔ)上抽象出變化率的概念.3. 了解導(dǎo)數(shù)的概念，并能利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù).4. 了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.【教材內(nèi)容全解】1 .曲線的切線在初中學(xué)過圓的切線，直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直

32、線叫做 圓的切線，惟一的公共點叫做切點.圓是一種特殊的曲線，能不能將圓的切線的概念推廣 為一段曲線的切線，即直線和曲線有惟一公共點時，直線叫做曲線過該點的切線，顯然這 種推廣是不妥當(dāng)?shù)?如圖3-1中的曲線C是我們熟知的正弦曲線y=sinx.直線人與曲線C有惟一公共點M,但我們不能說直線人與曲線C相切：而直線盡管與曲線C有不止一個公共點，我們還是說直線/,是曲線C在點N處的切線.因此，對于一般的曲線，須重新尋 一求曲線的切線的定義.所以課本P110利用割線的極限位置來定義了曲線的切線.2 .瞬時速度在高一物理學(xué)習(xí)直線運動的速度時，涉及過瞬時速度的一些知識，物理教科書中首先 指出：運動物體經(jīng)過某一

33、時刻(或某一位置)的速度叫做瞬時速度，然后從實際測量速度出 發(fā)，結(jié)合汽車速度儀的使用，對瞬時速度作了說明.物理課上對瞬時速度只給出了直觀的 描述，有了極限工具后，本節(jié)教材中是用物體在一段時間運動的平均速度的極限來定義瞬 時速度.3 .導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)定義與求導(dǎo)數(shù)的方法是本節(jié)的重點，推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)運算法則與某些導(dǎo)數(shù)公式時，都是 以此為依據(jù).對導(dǎo)數(shù)的定義，我們應(yīng)注意以下三點：(1)a x是自變量x在4處的增量(或改變量).(2)導(dǎo)數(shù)定義中還包含了可導(dǎo)或可微的概念，如果 x-0時，也有極限，那么函數(shù)y=f (x)在點與處可導(dǎo)或可微，才能得到f (x)在點/處的導(dǎo)數(shù).(3)如果函數(shù)y=f(x)在點孔處可導(dǎo)，那

34、么函數(shù)尸f(x)在點見處連續(xù)(由連續(xù)函數(shù)定義可知).反之不一定成立.例如函數(shù)尸出在點x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo).由導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，必須嚴格按以下三個步驟進行：求函數(shù)的增量Ay = /(% +-)一 /(%):求平均變化率"AxM(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)r(/)=lim=。A3 Ax4 .導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)尸f(x)在點/處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線行(x)在點P(x0,/(x。)處的切線的斜率.由 此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程.具體求法分兩步：(1)求出函數(shù)尸f(x)在點X。處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y二f(x)在點P(x0,/(x。)處的切線的斜 率：(2)在已知切點坐標和切線斜率的條

35、件下，求得切線方程為特別地，如果曲線廠f(x)在點產(chǎn)(%,/(/)處的切線平行于y軸，這時導(dǎo)數(shù)不存，根 據(jù)切線定義，可得切線方程為【難題巧解點撥】例1已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且F(a)=b,求下列極限： 11mg到二3； 11m ，+ 廣)-/2hMt。h分析在導(dǎo)數(shù)定義中，增量的形式是多種多樣，但不論選擇哪種形 式，也必須選擇相對應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在工二。處可導(dǎo)的條件，可以 將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。解 11m /(4 + 3/?)-/(“一) = 11m+ 3力)- /() + /(“) 一 /(一一 h)J) 2liii2hG r /(« +

36、2)-/(«) r +)-/(«)(2) lim= lun nAT) /AT)h'點撥只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問題的 關(guān)鍵是等價變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。例2求函數(shù)y = «在x=l處的導(dǎo)數(shù)；(2)求函數(shù))，= /+“x + (a、b為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)。分析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法。Ay _ Vl + Ar -1 _1Ax Ax+ 1r )， r 1 1Inn =lini ,=X J1 + + 1 2 ,乙(2) Ay =(x +Ax)2 + a(x + Ax) +b- (x2 + ax + b

37、)=2K Aji + (Aa)2 + a Ax,Av (2x + a)Sx + (x)2°、人=-=(2x + a) + Ax。AxAxyr=2x+a點撥應(yīng)熟練掌握依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的三個步驟。例3已知拋物線，=/-4與直線y=x+2相交于A、B兩點，過A、B兩點 的切線分別為乙和，2。(1)求A、B兩點的坐標；(2)求直線與F的夾角。分析理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵。解(1)由方程組解得 A(-2, 0), B(3, 5)(2)由y'=2x,則N工7二-4, -3=6。設(shè)兩直線的夾角為6,根據(jù)兩直 線的夾角公式，所以夕=arc tan23點撥本例中直線與拋物線

38、的交點處的切線，就是該點處拋物線的切線。注 意兩條直線的夾角公式有絕對值符號。例4證明：如果函數(shù)y=f(x)在點/處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點與處連 續(xù)。分析 從已知和要證明的問題中去尋找轉(zhuǎn)化的方法和策略，要證明f(x)在點X。處連續(xù)，必須證明lim/(X)= /(%),由于函數(shù)f(x)在點/處可導(dǎo)，因此根據(jù)IM函數(shù)在點與處可導(dǎo)的定義，逐步實現(xiàn)這個轉(zhuǎn)化。已知；11m /(/+»-/(/)=/，*。) Ay求證：lim /(x) = /(x0)證明：考慮lim/(x),令x = x0+Ax,則x-x(),等價于*0,于是if0函數(shù)f(x)在點0處連續(xù),點撥函數(shù)f(x)在點工。處連續(xù)

39、、有極限以及導(dǎo)數(shù)存在這三者之間的關(guān)系是： 導(dǎo)數(shù)存在=連續(xù)n有極限。反之則不一定成立，例如y=ixl在點X=O處有極限 且連續(xù)，但導(dǎo)數(shù)不存在。【課本習(xí)題解答】練習(xí)(Pill)1 . (1)切線的斜率為4；(2)切線方程為y=4x-2。2 .切線方程為y=-4x-3o練習(xí)(PH3)1 .瞬時速度為10m/s (比較略)。2 .瞬時速度為8m/s (比較略)。練習(xí)(PH6)3 .切線方程y=4x-2o44 .切線方程為)，= _qX + 8。習(xí)題3.KP116)1 .速度為210n s.2 .速度為s3 . y'=2x-2, yl ,_9= 2 .5. (1) y'= 3x3A .

40、- B . - C . 3 D . 2 2 ；1 1 s ,. Jx + x 4x , 瓜一 Jx +Ax(2) y = Iini = hni .,=2xjx o、i)"T。y/x + Ax ylx =liin _ _yjx + Axjx( Jx + yjx + At)6 .切線方程為y=6x+l及y=2x+l.7 .切線方程為y=8x-10.8 .切線方程為y=-x+6.9 .切線方程為y=15x+16.【同步達綱練習(xí)】一、選擇題等于（）1 .設(shè)函數(shù)f(x)在見處可導(dǎo)，貝IJ 1加“二“)二"*) HDAXA./'(x。) B .C . -7'(-x0)

41、D .-2 .若 lim /“<)+翌一貝等于( an3 Ax3 .若函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)=-sinx,則函數(shù)圖像在點(4, f(4)處的切線的傾斜角為()A . 90° B . 0° C .銳角 D .鈍角4 .一直線運動的物體，從時間t到t+Zt時，物體的位移為$,那么山。寺為()XtO &A .從時間t到t+Zt時，物體的平均速度B .時間t時該物體的瞬時速度C .當(dāng)時間為時該物體的速度D .從時間t到t+At時位移的平均變化率5 .對任意x,有"x) = 41, f(l)=-l,則此函數(shù)為()A . f(x) = x4 B . f(x

42、) = x4-2 C . f(x) = x4 + D . /(x) = x4 +26 .設(shè)f(x)在用處可導(dǎo)，下列式子中與一，(x。)相等的是()(1) f -)； 11m “X。+ 2Ax) - /(% + Am) AxA. (1) (2) B . (1) (3) (2) lim i。+小)7(%一原)；(4) lim /f 42”)。c . (2) (3) D . (1) (2)二、填空題7 .若函數(shù)f(x)在點x。處的導(dǎo)數(shù)存在，則它所對應(yīng)的曲線在點(x°J(x。)處的切線方程是C8 .已知曲線y = x + 則1=9 .設(shè)/'（X。）= -3,則liin（±h

43、）-3h）=。力T）h10 .在拋物線y = /上依次取兩點，它們的橫坐標分別為修=1, X2 = 3, 若拋物線上過點P的切線與過這兩點的割線平行，則P點的坐標為當(dāng)X=-1時，則切點坐標為（-1, -1）,所以該曲線在（-1, -1）處的切線方程為 y+l=3（x+l） BP 3x-y+2=0o12.由導(dǎo)數(shù)定義得f，（x）=2x,設(shè)曲線上P點的坐標為（%，%），則該點處切線的斜率為kp=2x°,根據(jù)夾角公式有- 3 =01 + 2%.3解得與=-1或=:,由X。=-1，得»=1 ：由項）=；，得° = 6 :則 p（-1,1）或 p（L，）。4 16口 r ），

44、 r/（0 + Av）-/（0）r A-0 113. liin =lim = lim = 1 AxAvao* Avr Ay r /（0 + 21v）-/（0） r一0lim =lun -=lun = -1,*t（t （）-AtAx. Ay 口 r Ay.lim W lim , Ax *t。- Av/. lim X不存在。AD 8函數(shù)f（x）在x=0處不可導(dǎo)。14.可以驗證點（2, 0）不在曲線上，故設(shè)切點為P（Xo，）'o）。1 1,“ r X（） +Ax x0 r- Av由 y = lun -= hm0 2。 Ay a-。Ax （x0 + Ay） x0. 1 1=lun= -，“t&

45、#176;Xo（Xo+Ax） 芍得所求直線方程為y _）'o = 7（工-/）。 茍由點（2, 0）在直線上，得%；%=2 再由（公,右）在曲線上，得與），0 = 1,聯(lián)立可解得與=1, y0 = lo所求直線方程為x+y-2=00導(dǎo)孩應(yīng)用的觀翌與方法.復(fù)習(xí)目標：1 . 了解導(dǎo)數(shù)的概念，能利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù).掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù) 的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念.了解曲線的切線的概念.在了解瞬時速度的基礎(chǔ)上抽象 出變化率的概念.2 .熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c,xm （m為有理數(shù)）,sin x, cos x, e a ', Inx, logfl x 的導(dǎo)數(shù)）。掌握兩個函數(shù)四

46、則運算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某 些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利能夠用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，求一個函數(shù)的最大（小）值的問 題，掌握導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用.3. 了解函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則的推導(dǎo)，掌握兩個函數(shù)的商的求導(dǎo)法則。能正確 運用函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則及已有的導(dǎo)數(shù)公式求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。4. 了解復(fù)合函數(shù)的概念。會將一個函數(shù)的復(fù)合過程進行分解或?qū)讉€函數(shù) 進行復(fù)合。掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并會用法則解決一些簡單問題。2 .考試要求：了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的 斜率等）,掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的 概念。熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c,

47、x（m為有理數(shù)），sin x, cos x, e v, a v ,lnx, log。x的導(dǎo)數(shù)）。掌握兩個函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則， 會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，了解可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極 值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)要極值點兩側(cè)異號），會求一些實際問題（一 般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值。3 .教學(xué)過程：（I ；雙砒扣在伸折導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識，是研究函數(shù)，解決實際問題的有力工具。在高 中階段對于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，主要是以下幾個方面：1 .導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問題：(1)刻畫函數(shù)(比初等方法精確細微)；(2)同幾何中切線聯(lián)系(導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線)

48、；(3)應(yīng)用問題(初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡便)等 關(guān)于次多項式的導(dǎo)數(shù)問題屬于較難類型。2 .關(guān)于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項討論，導(dǎo)數(shù)法求最值要 比初等方法快捷簡便。3 .導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力 的一個方向，應(yīng)引起注意。4 .曲線的切線在初中學(xué)過圓的切線，直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓 的切線，惟一的公共點叫做切點.圓是一種特殊的曲線，能不能將圓的切線的概念推廣為 一段曲線的切線，即直線和曲線有惟一公共點時，直線叫做曲線過該點的切線，顯然這種推廣是不妥當(dāng)?shù)?如圖3-1中的曲線C是我們熟知的

49、正弦曲線y=sinx,直線人與曲線C 有惟一公共點M，但我們不能說直線L與曲線C相切；而直線/,盡管與曲線C有不止一個 公共點，我們還是說直線是曲線C在點N處的切線.因此，對于一般的曲線，須重新尋 一求曲線的切線的定義.所以課本利用割線的極限位置來定義了曲線的切線.5 .瞬時速度在高一物理學(xué)習(xí)直線運動的速度時，涉及過瞬時速度的一些知識，物理教科書中首先指 出：運動物體經(jīng)過某一時刻(或某一位置)的速度叫做瞬時速度，然后從實際測量速度出 發(fā)，結(jié)合汽車速度儀的使用，對瞬時速度作了說明.物理課上對瞬時速度只給出了直觀的 描述，有了極限工具后，本廿教材中是用物體在一段時間運動的平均速度的極限來定義瞬 時

50、速度.6 .導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)定義與求導(dǎo)數(shù)的方法是本節(jié)的重點，推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)運算法則與某些導(dǎo)數(shù)公式時，都是以 此為依據(jù).對導(dǎo)數(shù)的定義，我們應(yīng)注意以下三點：(口乂是自變量乂在見處的增量(或改變量).(2)導(dǎo)數(shù)定義中還包含了可導(dǎo)或可微的概念，如果x-o時，包有極限，那么函數(shù) Aty=f(x)在點與處可導(dǎo)或可微，才能得到f(x)在點與處的導(dǎo)數(shù).(3)如果函數(shù)y=f(x)在點孔處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點與處連續(xù)(由連續(xù)函數(shù)定義可知).反之不一定成立.例如函數(shù)y=lxl在點x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo).由導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，必須嚴格按以下三個步驟進行：(1)求函數(shù)的增量/(x0 + Ax)-/(x

51、0)：求平均變化率包=+")一/小);AxAv(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)r(/)=limS,Av7 .導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點工。處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點P(x°,/(x。)處的切線的斜率.由 此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程.具體求法分兩步：(1)求出函數(shù)y=f(x)在點/處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點0“oJ(x。)處的切線的斜率：(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為特別地，如果曲線y=f(x)在點產(chǎn)(%,/(%)處的切線平行于y軸，這時導(dǎo)數(shù)不存，根據(jù)切線定義，可得切線方程為x = x08 .和(或差)的導(dǎo)數(shù)對于函數(shù)幻=/+/的導(dǎo)數(shù)，如何

52、求呢我們不妨先利用導(dǎo)數(shù)的定義來求。我們不難發(fā)現(xiàn)(/+/)'= 3/ +2X=(/)，+(/);即兩函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于這兩 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和。由此我們猜測在一般情況下結(jié)論成立。事實上教材中證明了我們的猜想，這就是兩個函數(shù)的和(或差)的求導(dǎo)法則。9 .積的導(dǎo)數(shù)兩個函數(shù)的積的求導(dǎo)法則的證明是本節(jié)的一個難點，證明過程中變形的關(guān)鍵是依據(jù)導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。(具體過程見課本P120)說明：(uvyu'v'；(2)若c為常數(shù)，則(cu”=cu；10 .商的導(dǎo)數(shù)兩個函數(shù)的商的求導(dǎo)法則，課本中未加證明，只要求記住并能運用就可以。現(xiàn)補充證明如下：設(shè)¥ = 幻=今u(x)因為v(x)在

53、點X處可導(dǎo)，所以它在點X處連續(xù)，于是xO時，v(x+A x)-v(x),從而 lim 包=，(山(：)一華)"(。即 y J 匕竺:。“一。心v(x)k V； V-說明： 與耳； (2)Vv) V學(xué)習(xí)了函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則后，由常函數(shù)、黑函數(shù)及正、余弦 函數(shù)經(jīng)加、減、乘、除運算得到的簡單的函數(shù)，均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式 求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求C11 .導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系r(x) > 0與/(x)為增函數(shù)的關(guān)系。廣")>。能推出/(X)為增函數(shù).但反之不一定。如函數(shù)/。)=爐在 (_oo,+s)上單調(diào)遞增，但廣")之0,/&q

54、uot;)>0是“X)為增函數(shù)的充分不必要 條件。廣(x)WO時，/(x)>0與/")為增函數(shù)的關(guān)系。若將廣。)=0的根作為分界點,因為規(guī)定r*)wo,即摳去了分界點,此 時/(X)為增函數(shù) 就一定有廣。)>0。,當(dāng)/。)¥0時,廣(幻>。是/(幻為增 函數(shù)的充分必要條件。廣之0與/(X)為增函數(shù)的關(guān)系。/(X)為增函數(shù)，一定可以推出/'")之。，但反之不一定，因為/")20, 即為尸(x)>0或尸(力=0。當(dāng)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有廣(力=0,則/(x)為常 數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。/'WN0是"X)為

55、增函數(shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點，我們一定 要把握好以上三個關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào) 區(qū)間的端點問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化 了問題。但在實際應(yīng)用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理C單調(diào)區(qū)間的求解過程，已知)，= /3)(1)分析y = /*)的定義域； 求導(dǎo)數(shù)y' = /'(x)(3)解不等式廣")>o,解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間(4)解不等式(解集在定義域內(nèi)的部分為戒區(qū)間我們在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時一定要搞清以下三個關(guān)系，才能準確無誤 地判斷函數(shù)的

56、單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡單的分析，前提條件都是函數(shù) y = /(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在伍/)單調(diào)遞增.在S，c)單調(diào) 遞增，又知函數(shù)在處連續(xù)，因此/*)在(©單調(diào)遞增。同理戒區(qū)間的 合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同，且在公共點處函數(shù)連續(xù)，則二區(qū)間 就可以合并為以個區(qū)間。(1)(外>0恒成立；y = /(%)為3,。)上T對任意X e(4 , b)不等式f(a) < f(x) < f(h)恒成立(2)(x)<。恒成立.二)，=1/'(外在(4,。)上，：對任意X e (a , Z?)不等式f(a)> f(x)> f(b)恒成立因注意事項1 .導(dǎo)數(shù)概念的理解.2 .