1、絕密啟用前廣東省“百越名校聯盟”普通高中學業質量檢測數學試卷 2020.12本試卷共4頁，22鹿。全卷清分150分，考試時閭120分鐘.注重事項x1 .答題前，先將自己的姓名、考號等填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘 站在答題卡上的指定位置。2 .選擇題的作答，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑. 寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3 .填空題和解答題的作答，用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區域內，寫在試題 卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4 .考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、單項選擇本共8小忌，每小題5分，共40分.在

2、每小題蛤出的四個選4（中，只有 一項是符合題目要求的.1 .設z=l i,則上的虛部為 ZA. yB. 1C. yD. -12 .已知集合 A= （川/2 41+3V0）,則 AUB=A. x|l<x<2 B. （x|-l<x<3>C. （x|l<x<2D. x|-l<r<3）3 . %1.2111產是+2小”的a.充分不必要條件a必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4 .德國數學家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是，已知點A、B是NMON 的ON邊上的兩個定點，C是OM邊上的一個動點，當C在何處時，NACB最大？問

3、題 的答案是，當且僅當ZkABC的外接圓與邊OM相切于點C時，NACB最大.人們稱這一 命題為米勒定理。已知點D、E的坐標分別是（0, 1）, （0, 3）,尸是1軸正半軸上的一 動點，當NDFEJft大時，點F的橫坐標為A. 1H 5/2C. 73D. 25 .已知菱形ABCD的邊長為2, /A=60°.點P滿足不產=（砧+前），則前邦=A. 0B. 73C. 3D. 16 .北緯30°線貫穿四大文明古國，是一條神秘而又奇特的緯線,在這條緯線附近有神秘的百 慕大三角、著名的埃及金字塔、世界最高峰珠穆朗瑪峰、長江等，沿地球北緯30°線前行， 會發現許多奇妙且神秘的

4、自然景觀.在地球北緯30°圈上有A、B兩地，它們的經度相差 180°, A、8兩地沿緯線圈的弧長與A、B兩地的球面距禹之比為A. 2 » 3B. 3 « 2C. 4 » 373D. 3 向，47 .已知函數八彳）=（工一。）（工一6），若臼沏 且f（工）和，（工）的零點均在集合-3, 1, 3） 中，則函數八工）的極小值為A. 0R。或-32C. -32D. 328 .巳知雙曲線M一£ = l（a>0,。>0）的右照點為F,點A為其右支上一點，直線AF垂直 于雙曲線的一條漸近線,垂足為R若點A為8F的中點，則該雙曲線的離心

5、率為A 41B. 73C 75D. 2二、多項選擇題：本題共4小Sh每小題5分，共20分.在卷小也給出的四個選項中，有多項符合屆目要求.全部選對的超5分，部分選對的招3分，有選律的婚0分.9.小李經營的個體店在2020年各月份的收入和支出 （單位：百元）情況的統計如困所示，下列說法中正 確的是A. 1至2月份的支出的變化率與3至4月份的收入 的變化率相同B,利潤最高的月份是2月份和9月份C.第三季度平均月利潤為2000元D.支出最高值與支出最低值的比是5 710.函數，（N）=Asin（eor+G（其中3>0. A>0>I華I V多的圖象如圖所示.下列說法正 W三大聯考我學第

6、2頁（共4頁）確的有A.為了得到小" = sin2i的圖象,只要酹/（t）的圖象向右平移專個單位長度K函數的圖象的一條對稱軸為h=經C.函數/在區間（0,6）上單調遞增D.函數/G）在區間0, 2020上有1285個零點11.在四面體 ABCD 中，已知 AC=BO=5, AB=CD=2/13, AD=BC=3>/5,則下列說法 正確的是A四面體ABCD的體積是24K ZXABC是鈍角三角形C.四面體ABCD的外接球的表面積是61xD.若平面。與直線AB、CD均平行，且與四面體ABCD的每個面都相交，則平面0截 四面體AHCD所得的截面面積最大值為1212 .已知數列（a>

7、;、2）滿足% =6 = 1, Of =a.+勸.，4+i=a1t+&,則下列結論正確 的是兒只有有限個正整數使得*V 68a只有有限個正整數使得c.數列“自一6”是遞減數列D.數列44>的通項公式為 = 9±包牡1二三、填空題：本題共4小每小JH5分，共20分.箕中第13 第一空2分，第二空3分.13 .已知,z+土）展開式的所有項的系數的和為512,則a=.展開式中的常數項是,（用數字作答）14 .已知拋物線Ci V=2儀r（p0）的焦點為F,直線y=z 3交拋物線C于A、B兩點, 且 |A用+ |BF|=|AB|,則=.15 .已知函數/（彳）=出工的反函數為gC

8、r）,若實數m、芥滿足我一2,則 m+舞=16 .在木工實踐活動中，要求同學們將橫截面半徑為R，圓心角為學的劇形木 27 塊鋸成橫截面為梯形的木塊.甲同學在肉形木塊OAB的弧&上任取一點D,作扇形的內接梯形。CDB,使點C在0A上，則他能鋸出來梯形木bJ塊OCDB面積的最大值為,0 B四、解答XL本題共6小題，共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演步.17 .（本小題滿分10分）已知正項等差數列位力滿足必=5,且。、& + 1、8+ 1成等比數 列.數列也滿足d=矍,/后一山二1U （1）求數列16力的通項公式.（2）設”=廣盧一，求數列G的前項和S.18 .（本小題滿分1

9、2分）已知AABC的內角A、B、C的對邊長分別為a、6、c,點D為BC 邊的中點,且=3,禽ccosA=asin（A+B）.（D在以下三個條件中任選一個作為條件，求AD的長.瓦B 前=4,N8=q,AABC的面積5叱=2乃.注，如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.（2）求A。的長度的最大值.19.（本小題滿分12分）為貫徹落實體育強國建設綱要，某學校體育組因地制宜開展跳繩運 動，并積極探索科學的訓練方法，現隨機調查了實驗組20位同學（其中10位男同學，10 位女同學）的一分鐘跳繩和跳遠成績,整理數據得到下表：男序號12345678910一分鐘跳繩（次）14314216614414218

10、27813315688跳遠（E）1.912102.30L892.312.42L40L852.10L 56女序號12345678910一分鐘跳繩（次18515214112114615316214710193跳遠（m）L 901-82L811. 101.811.711.881. 721.100.91考慮男女的差異性,制定了如下“優秀”等級的標準:優秀標準.男女一分鐘跳繩（次）>1452145跳遠（in）>2.29>1.81（D根據所給的數據,完成下面的2X2列聯表，并根據列聯表，判斷是否有95%的把握 認為一分鐘跳繩成績與跳遠成績有關？一分鐘跳繩優秀一分鐘跳繩非優秀合計跳遠優秀跳

11、遠非優秀合計20（2）從一分鐘跳繩和跳遠成績都優秀的同學中隨機抽取3位同學，記這3位同學中女同學 的人數為6求W的分布列及數學期望.附參考公式及參考數據，*窩鬻）S+»P（KE。）0.0500,0100 0013.8416. 63510.82820 .（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P-AHCD中,已知ABDC, AB = AD = 1, BD =41, CD=2, PB=PC=PD=.（1）證明，平面PAD，平面PCD（2）設平面PAD與平面PBC的交線為/ 求直線I與平面 PAB所成角的正弦值.21 .（本小題滿分12分）已知楠圓G |+£ = 1（心>6>

12、0）的離心率是上,其左頂點為A,橢圓C與拋物線y2=4有相同的一個焦點F,過點F作直線交橢圓C于兩點D. E（異于 左右頂點），連AD并延長交直線八n=4于點M,連AE并延長交五線2于點N.（1）求橢圓C的標準方程.（2）當四邊形DENM面積最小時，求直線DE的方程.22 .（本小題滿分12分）已知函數/（力=四一;.（D討論函數八幻的零點的個數.（2）證明* Inx2x; _z>0,，工+1育三大聯考敷學第4頁（共4頁）參考答案及解析數學廣東省“百越名校聯盟”普通高中學業質量檢測數學參考答案及評分細則一、單項選擇題1. A 【解析】因為7=1 i,所以卷=出= 5=皓而=守=+畀故5的

13、虛部是幺 故選A2. B【解析】由/一4i+3V0可得1<才<3,則A = 由當WO,可得一 141<2,則 H = 川一KV2；所以4118川一1才3.故 選B.3. A【解析】由Ina?"可得心>0;由金>3， 可得a620；即由In a>ln 6可推出，而o*時,在a=b= 0的情況下,In a>ln 不成立,所 以In。足6是。土序的充分不必要條件.故選A.4. C【解析】因為點D、E是y軸正半軸上的兩個定 點，點F是力軸正半軸上的一個動點,根據米勒定理 可知，當ADEF的外接圈與工軸相切時,NDFE最 大,由垂徑定理可知,弦DE的垂

14、宜平分線必過 QE尸的外接圓圓心,所以弦DE中點G的縱坐標 即為DEF外接圓半徑的大小，即尸2,依題意,可 求得aDE尸的外接圓的方程為(x-73)2 + (y2) ? = 4 令y = 0,求得點F的橫坐標為伍,故選 C.5. C 1解析】以菱形八BCD的對角線AC方向為1軸 方向.D3方向為了軸方向建立平面宜角坐標系，根 據= 4-(五方+充)，可知P點為線段BC的中點， 又因為NA=60"所以 AB=BC=CD=DA = I3D= 2,易求得P(專.十).八(一遍.03DS, -1).短二 (一挈,一十),加=一空，一等),所以詡 pt) =3故選C.6. D【解析】設地球的半

15、徑為，則北緯30°的緯線圈 的圓半徑為，所以A、b兩地沿緯線圈的孤氏人 =g叱;劣弧ab在大同中所對的圓心角為金,所以 八、3兩地的球面距離心因此 H = Of w 話爐=334,即A、B兩地沿緯線圈的瓠長與A、8兩地的球面距離之比為3、忠,故選D.7. C【解析】因為/Cr) = (x-a)aA/,所以，Cr) 二(工一)(3工-2a6),令/(1)=0解得x=a或工 =6；令f Cr)=O.解得if 或1 =上善；因為a A 歸彩部在集合(一3,1,3)中所以 =3»= 3. 生曼=1,所以 /(ar) = (+3)(3x-3),/(x) = (x -3)Cr+3)2

16、當/7力=0,即.r=6時,/(1)有極小 值為 八1)= (1 -3)(1+3)2 = 32,故選 C.8. A【解析】不妨設直線AF垂直于雙曲線的漸近線 為=立/,設/BOF = G,則 cos 0= ,sin<?= , acc求得 HB = acos 0 = L. ,b =asin 0= - 9 MO B(, ccc華),F(c,0),因為A點為BF的中點，求得A點坐 標為:A1"；”,外,將我代人匕一"一叔= 0中，得Zr (。工)2-/(啜)2-a2 =0化簡后求 得?=疹，故選項A正確.二、多項選擇題9. BC【解析】A選項，1月至2月的支出的變化率為 遜

17、泮22=-3000,3月至4月的收入的變化率為 3000； 50。= 一2000,故A選項錯誤;B選項，由圖 可得.2月份和9月份的利潤最高最高利潤為3000 元，故B選項正確;C選項，第三季度7、8、9月份的 利澗分別為1000.2000.3000元，所以第三季度的平 均利澗為2000元.故C選項正確,D選項，由圖可 知,支出最高值為6000.支出最低值為1000,比值為 6：1所以D選項情誤.10. AB【解析】根據圖象可知,A = l,=:一專= 手.T=tt則 a>=2因為 /(£) = sin(鋁 + G = 0. 所以中+3二江+2。止2)其中|平號故夕二數學參考答

18、案及解析"所以/（w）-sin（2z+：九把/（上）圖象向右平 t5J移點個長度,可得到g（x）= sin 2z的圖象 A選項正確;令2+卷=3+*小2）解得1=吉+ O L14暴式SGZ）,所以函數/圖象的一條對稱軸為s = ：，B選項正確;函數/Q）在（0,令）上單調遞 增,在懵,奇）上單調遞減,所以函數在區間（0.I乙 1 £2020-y點）上不單調,因此C選項錯誤，閃為-+ 1IvJ7T1286. 3,所以函數/（x）在區間0. 2020：上有 1286個零點，D選項錯誤.11. ACD【解析】根據題意可知，該四而體的三組對校 的長度分別相等，可將其補成一個長、寬、

19、高分別為 3.4.6的長方體，因此四面體ABCD的體積， V4fd=4X 3X4X6 = 24, A 選項正確；AABC 中，角C為最大角，閃為cos C = （3代券+52二（2,/Ip：o ,所以ABC為銳知 2X3、后X5三角形,B選項錯誤；四面體的外接球即為補成的 長方體的外接球所以外接球的半徑r=4 斤內*=季,外接球的表面積S=4= 61k,C選項正確，如圖所示，、+期=1,故PN ZiXJ ULz+ PQ=2 當尸N=PQ時,Szq右最大值,此 時,Sew=*X4X6=12.D 選項正確.12. CD【解析】根據題意可得:明修一6卜1=%+紈 -4（% ".）一（1石）

20、Q.一、行”,）,因為小一1, 仇=1,所以6 回I = 1 -73,則明一時A ）是以1 一伍為首項.1 一禽為公比的等比數列，所以明一 萬兒=（1 一萬尸,因此當為奇數時.為4兒; 當為偶數時,凡、夕兒，所以A選項和B選項借 誤.因為I1-&IV1,所以|心一乃以1是正項單 調遞減數列，根據圖意可知數列瓦為正項單網遞 增數列，因為M方I,所以數列 /一痣）為正項單調遞減數列故C選項正確. 又a-十奔At =心+3幾+伍（右+兒）= （1+痣）（%+花兒），則d+Q&是以1十乃為 首項.1+用為公比的等比數列9所以如+v個A = （l +石尸，由+可得% = 上一，D選項正確

21、.13. 1（2分）84（3分）【解析】令1=1.得（。+1» = 5所以a = l；則展開式通項為Q3, G）' =QCr» *，當=3時,可得展開式中的常數項為 a=&i.14. 6【解析】因為|A因十 |BF| = |A8|,所以A、3、尸 三點共線,即F點在宜線y = / 3上，求得F（3,0）,所以號=3./=6.15. 1【解析】依題意,8（1） = F由不等式仙24工一得 In，一力i+l言O.c"-711）0又 In加一切le" 一 1,故 In，一m+1 = 0,丁 n 1 二0故1=1 ,=0,即 m+=L16. 事譽

22、【解析】設/DOB = .則CD=Rcos.OC O=Rsinu , Sej(R+Rcosx)Rsinr2，欲求Stiwj的最大值冼求（1 + c“）疝u的最大值（0 VmV玲）. 令 /（N）= （ l+cosjOsinr求導得 /（n）=cost（ 1 + cokz） + sinx（ siiu ） = 2cos2 x+coxa: 1 1,當 cosu = 3或8燈=一1（舍）時/Cr）=o,此時，工=母.當 40x6（0號）時,/（/） 0,當工W （手，手）時, /Cr）V0,故”=號時,/（才）有最大值為苧，此時 梯形OCDB面積取得的最大值為名譽.O四、解答題17. 解：（1）因為四

23、，的+1,4+ 1成等比數列，所以& 2參考答案及解析數學所以b=瓜"乙（5分）所以八D長為工=.】5+6通4（6分）（12 分）（四（1 分） 所以儲2+24） （如+54+1） = （02+34+1）2, 整理得 /+sd4d2 1=0，格如=5代入得d+46=0,解得4=-3或4= 2,由于&是正項等差數列,舍去4=-3,即d=2.（3分）所以5=3,與=號=1.（4分）因為4ZT疝=1 所以數列五是以血=1 為首項，1為公差的等差數列，所以/2= /；十一1=，即=".（6 分）（2）因為心=54=2,所以出=公+ （-2）”=2+ 1,（7 分）G

24、Pn C = % 一 2葉1 =（+1）2-七=1_ */S+l）2 H2 5+1）2F12尋尸,（8分）故 5=0+c2 HFc. = （l/）+（/-*）+-L1 =1=正+2加L/ （+1產（+1/ （+1產所以數列卜"）的前項和S. =存符（10分）1& 解:(1)在ABC 中，由房coK=9in(A+B), 所以四sinCcosA=sinAsinC.(1 分)所以 tanA=y3>乂因八60,犬）,故4=件.（2分）：A若選，:因為霜充=4,1所以五15 天&=權85=3=4,所以加=8. （3分）由余弦定理可得+/拄=9,：所以"+/ =

25、”.（4分），所以益=4（蕉+磊），所以稱=4（而+2浦充+A2） = 44（+/+而=4乂（17+8）=孕， 444所以|左6|=£.（6分）:>選，：因為乙等=號,/3=于，所以4>普，j故有尚=26.（3 分）：sinA sinB sine久:T:3又因 sinC=sinf|=9in華+£)=岑X(*+尊)Q分）設AD長為上,在AABD中,根據余弦定理可得/+（4）2T2 58s3=-h嗎，將。=小/代入，解得工=*§+浮 （另解：在AACD中根據余弦定理可得cos C =-7X5 扇_方一表=也產,將 5=歷代入解得/ = M415+6 百 /

26、15+6 6、一4-）A若選，已知A3C的面積5幾比=26,因 Static =-6csinA = 2 /3>所以A=8.（3分）接下步驟同.（2）設AD長為因為 cosZBDA = -cosZCDA<（7 分）二十（等）-/ + -吩所以= -， （8 分）Owl所以2/=+/一毋. W又因為 ccsA-y-詼-2 & +/，（10 分）所以護+/418.當且僅當6=<=3時, + J取得最大值18,此時x 取得最大值挈.19.解式D由條件得2X2列聯表如下:一分鐘跳繩優秀一分鐘跳繩非優秀總計跳遠優秀628跳遠非優秀3912總計91120（2分）根據列聯表，得數學參

27、考答案及解析P<$=3>二 QC_ 1一戛 一 5 .因為Ii1=1晶-晶I=6、/ / +1 所以5.心=:義6乂|珈一9|二18 QTL2 - 20X（聯97X2）2 . _2.4吃工 8X12X9X118X12X9X11334. 848>3. 841.（5 分）而/云3.841）=0. 050,因此有95%的把握認為一分仲跳繩成績與跳遠成 績有關.（6分）一分鐘跳繩和跳遠成績郃優秀的同學共有6人, 其中男同學2人.女同學4人.（7分）則£的可能取值為1,2,3.（8分）則P«=l）= 詈 =。（一署二卷, V410J J所以8的分布列為8123-T-

28、 1 3 F，.5 I 5 | 5（11 分）故 E（6 = 1X卷+2X；+3X4=2.（12 分）3JJ20.（ 1）證明：因為 AB=AD= 1,81）二方，所以八承十人療二庾八即AB±AD.（1分）又因為ABDC所以ADLCD.（2分）取CD中點為E點. 因 PC=PD=H，所以 PE=75. 又因 ABDE,/1B=DE=1 所以四邊形ABDE是正方形，所以 BE-AD=L（3 分）所以PE2 +3盾=?伊，即PEJJJE,又因AD3E,所以AD±PE.（4分）因為 AfLCD,AD，PE.CDnPE-E.所以A。，平面PCD.（5分）乂因ADU平面PAD. 所以

29、平面PAD,平面PCD.（6分）（2）解：由（1）知 PE±BE.旦 PE±CD, BED CD= E,所以 PE_L而 ABCD. 乂因3E_LCD,故以點E為坐標原點,建立如圖所示 的空間直角坐標系（7分）則 P（0,0,夙，ALl,l,0）,B（0,l,0）,C（l,0.0）, D（-l.O.O）.（8 分）則褸=（一 1,1, 一4），腦二（1,0,0）, 設平面PAB的法向員為方=（1,2）， 則尸穴才=0.林 n =0.得廠工+y一七=。，呵J。,宿）,（9分） lx=0延長DA和CB.使其相交于點F, 則面PAD與面PBC的交線，即為PF 又因F（一1,2,0）,所以注=（-1.2.一西）.（10 分） 設在線/與平面PAB所成的角為d,則sin g I cOs<P） I = 2痣一周.=/逅=乙 "76X/10126.（12 分）21.解：（1）由已知得尸（1,0）,故c-l.（1分）由橢圓C的離心率是e=+ = ，得=2.（2分）又因"=分+d，所以6=瘋（3分）所以橢網C的標準方程為9一一1.（4分）（2）設直線DE的方程為彳一+1,與橢圓方程 十曰=