1、第9章模擬信號的數字傳輸學習目標通過對本章的學習，應該掌握以下要點：（1）抽樣定理；（2）自然抽樣和平頂抽樣；（3）均勻量化和非均勻量化；（4）PCM原理，A律13折線編、譯碼；（5）M原理，不過載條件和編碼范圍；（6）PCM、M系統的抗噪聲性能（7）時分復用和多路數字電話系統原理9.1 引言數字化3步驟：抽樣、量化和編碼圖9-1 抽樣、量化和編碼圖9.2 模擬信號的抽樣9.2.1 低通模擬信號的抽樣定理抽樣定理：設一個連續模擬信號m(t)中的最高頻率 < fH，則以間隔時間為T £ 1/2fH的周期性沖激脈沖對它抽樣時，m(t)將被這些抽樣值所完全確定?！咀C】設有一個最高頻率

2、小于fH的信號m(t) 。將這個信號和周期性單位沖激脈沖dT(t)相乘，其重復周期為T，重復頻率為fs = 1/T。乘積就是抽樣信號，它是一系列間隔為T 秒的強度不等的沖激脈沖。這些沖激脈沖的強度等于相應時刻上信號的抽樣值?，F用ms(t) = Sm(kT)表示此抽樣信號序列。故有用波形圖示出如下：圖9-2抽樣定理波形圖令M(f)、DW(f)和Ms(f)分別表示m(t)、dT(t)和ms(t)的頻譜。按照頻率卷積定理，m(t)dT(t)的傅里葉變換等于M(f)和DW(f)的卷積。因此，ms(t)的傅里葉變換Ms(f)可以寫為： （9-1）而DW(f)是周期性單位沖激脈沖的頻譜，它可以求出等于：（

3、9-2）式中，將上式代入 Ms(f)的卷積式，得到 （9-3）上式中的卷積，可以利用卷積公式： （9-4）進行計算，得到（9-5）上式表明，由于M(f - nfs)是信號頻譜M(f)在頻率軸上平移了nfs的結果，所以抽樣信號的頻譜Ms(f)是無數間隔頻率為fs的原信號頻譜M(f)相疊加而成。 用頻譜圖示出如下圖9-3抽樣定理頻譜圖因為已經假設信號m(t)的最高頻率小于fH，所以若頻率間隔fs ³ 2fH，則Ms(f)中包含的每個原信號頻譜M(f)之間互不重疊，如上圖所示。這樣就能夠從Ms(f)中用一個低通濾波器分離出信號m(t)的頻譜M(f)，也就是能從抽樣信號中恢復原信號。這里，恢

4、復原信號的條件是：即抽樣頻率fs應不小于的兩倍。這一最低抽樣速率2fH稱為奈奎斯特速率。與此相應的最小抽樣時間間隔稱為奈奎斯特間隔?；謴驮盘柕姆椒ǎ簭纳蠄D可以看出，當fs ³ 2fH時，用一個截止頻率為fH的理想低通濾波器就能夠從抽樣信號中分離出原信號。從時域中看，當用抽樣脈沖序列沖激此理想低通濾波器時，濾波器的輸出就是一系列沖激響應之和，如下圖所示。這些沖激響應之和就構成了原信號。圖9-4濾波器輸出沖激響應理想濾波器是不能實現的。實用濾波器的截止邊緣不可能做到如此陡峭。所以，實用的抽樣頻率fs必須比2fH 大一些。例如，典型電話信號的最高頻率通常限制在3400 Hz，而抽樣頻率通

5、常采用8000 Hz。9.2.2 帶通模擬信號的抽樣定理設帶通模擬信號的頻帶限制在fL和fH之間。即其頻譜最低頻率大于fL，最高頻率小于fH，信號帶寬B = fH fL?？梢宰C明，此帶通模擬信號所需最小抽樣頻率fs等于 （9-6）式中，B 信號帶寬； n 商(fH / B)的整數部分，n =1，2，； k 商(fH / B)的小數部分，0 < k < 1。按照上式畫出的fs和fL關系曲線示于下圖： 圖9-5帶通模擬信號的抽樣定理圖由于原信號頻譜的最低頻率fL和最高頻率fH之差永遠等于信號帶寬B，所以當0 £ fL < B時，有B £ fH < 2B。

6、這時n = 1，而上式變成了fs = 2B(1 + k)。故當k從0變到1時，fs從2B變到4B，即圖中左邊第一段曲線。當fLB時，fH2B，這時n = 2。故當k0時，上式變成了fs = 2B，即fs從4B跳回2B。當B £ fL < 2B時，有2B £ fH < 3B。這時，n = 2，上式變成了fs = 2B(1 + k/2)，故若k從0變到1，則fs從2B變到3B，即圖中左邊第二段曲線。當fL2B時，fH3B，這時n = 3。當k0時，上式又變成了fs = 2B，即fs從3B又跳回2B。依此類推。由上圖可見，當fL = 0時，fs 2B，就是低通模擬信號

7、的抽樣情況；當fL很大時，fs趨近于2B。fL很大意味著這個信號是一個窄帶信號。許多無線電信號，例如在無線電接收機的高頻和中頻系統中的信號，都是這種窄帶信號。所以對于這種信號抽樣，無論fH是否為B的整數倍，在理論上，都可以近似地將fs取為略大于2B。 圖中的曲線表示要求的最小抽樣頻率fs，但是這并不意味著用任何大于該值的頻率抽樣都能保證頻譜不混疊。9.3 模擬脈沖調制模擬脈沖調制的種類周期性脈沖序列有4個參量：脈沖重復周期、脈沖振幅、脈沖寬度和脈沖相位（位置）。 其中脈沖重復周期（抽樣周期）一般由抽樣定理決定，故只有其他3個參量可以受調制。3種脈沖調制：脈沖振幅調制(PAM)脈沖寬度調制(PD

8、M)脈沖位置調制(PPM)仍然是模擬調制，因為其代表信息的參量仍然是可以連續變化的。 模擬脈沖調制波形圖9-6幾種模擬脈沖調制PAM調制PAM調制信號的頻譜設：基帶模擬信號的波形為m(t)，其頻譜為M(f)；用這個信號對一個脈沖載波s(t)調幅，s(t)的周期為T，其頻譜為S(f)；脈沖寬度為t，幅度為A；并設抽樣信號ms(t)是m(t)和s(t)的乘積。則抽樣信號ms(t)的頻譜就是兩者頻譜的卷積：（9-7）式中 sinc(ntfH) = sin(ntfH) / (ntfH)PAM調制過程的波形和頻譜圖 圖9-7 PAM調制過程的波形和頻譜圖由上圖看出，若s(t)的周期T £ (1

9、/2fH)，或其重復頻率fs ³ 2fH，則采用一個截止頻率為fH的低通濾波器仍可以分離出原模擬信號。自然抽樣和平頂抽樣在上述PAM調制中，得到的已調信號ms(t)的脈沖頂部和原模擬信號波形相同。這種PAM常稱為自然抽樣。在實際應用中，則常用“抽樣保持電路”產生PAM信號。這種電路的原理方框圖如右： 圖9-8 PAM自然抽樣原理圖平頂抽樣輸出波形圖9-9平頂抽樣輸出波形平頂抽樣輸出頻譜設保持電路的傳輸函數為H(f)，則其輸出信號的頻譜MH(f)為：上式中的Ms(f)用（9-8）代入，得到（9-9）比較上面的MH(f)表示式和Ms(f)表示式可見，其區別在于和式中的每一項都被H(f)加

10、權。因此，不能用低通濾波器恢復（解調）原始模擬信號了。但是從原理上看，若在低通濾波器之前加一個傳輸函數為1/H(f)的修正濾波器，就能無失真地恢復原模擬信號了。9.4 抽樣信號的量化9.4.1 量化原理設模擬信號的抽樣值為m(kT)，其中T是抽樣周期，k是整數。此抽樣值仍然是一個取值連續的變量。若僅用N個不同的二進制數字碼元來代表此抽樣值的大小，則N個不同的二進制碼元只能代表M = 2N個不同的抽樣值。因此，必須將抽樣值的范圍劃分成M個區間，每個區間用一個電平表示。這樣，共有M個離散電平，它們稱為量化電平。用這M個量化電平表示連續抽樣值的方法稱為量化。 量化器在原理上，量化過程可以認為是在一個

11、量化器中完成的。量化器的輸入信號為m(kT)，輸出信號為mq(kT) ，如下圖所示。圖9-10 量化原理圖 在實際中，量化過程常是和后續的編碼過程結合在一起完成的，不一定存在獨立的量化器。9.4.2 均勻量化均勻量化的表示式設模擬抽樣信號的取值范圍在a和b之間，量化電平數為M，則在均勻量化時的量化間隔為（9-10）且量化區間的端點為 i = 0, 1, , M（9-11）若量化輸出電平qi取為量化間隔的中點，則顯然，量化輸出電平和量化前信號的抽樣值一般不同，即量化輸出電平有誤差。這個誤差常稱為量化噪聲，并用信號功率與量化噪聲之比衡量其對信號影響的大小。9.4.3 非均勻量化 非均勻量化的目的：

12、在實際應用中，對于給定的量化器，量化電平數M和量化間隔Dv都是確定的，量化噪聲Nq也是確定的。但是，信號的強度可能隨時間變化（例如，語音信號）。當信號小時，信號量噪比也小。所以，這種均勻量化器對于小輸入信號很不利。為了克服這個缺點，改善小信號時的信號量噪比，在實際應用中常采用非均勻量化。非均勻量化的數學分析當量化區間劃分很多時，在每一量化區間內壓縮特性曲線可以近似看作為一段直線。因此，這段直線的斜率可以寫為：（9-12）并有設此壓縮器的輸入和輸出電壓范圍都限制在0和1之間，即作歸一化，且縱坐標y 在0和1之間均勻劃分成N個量化區間，則每個量化區間的間隔應該等于（9-13）將其代入上式，得到 （

13、9-14）為了對不同的信號強度保持信號量噪比恒定，當輸入電壓x減小時，應當使量化間隔Dx 按比例地減小，即要求Dx µ x因此上式可以寫成或式中，k 比例常數。上式是一個線性微分方程，其解為為了求出常數c，將邊界條件 (當x = 1時，y = 1)，代入上式，得到k + c =0故求出c = -k將c 的值代入上式，得到（9-15）即要求y f(x)具有如下形式：由上式看出，為了對不同的信號強度保持信號量噪比恒定，在理論上要求壓縮特性具有對數特性。但是，該式不符合因果律，不能物理實現，因為當輸入x 0時，輸出y - ¥，其曲線和上圖中的曲線不同。所以，在實用中這個理想壓縮特

14、性的具體形式，按照不同情況，還要作適當修正，使當x0時，y0。關于電話信號的壓縮特性，國際電信聯盟(ITU)制定了兩種建議，即A壓縮律和m壓縮律，以及相應的近似算法 13折線法和15折線法。我國大陸、歐洲各國以及國際間互連時采用A律及相應的13折線法，北美、日本和韓國等少數國家和地區采用m律及15折線法。下面將分別討論這兩種壓縮律及其近似實現方法。A壓縮律A壓縮律是指符合下式的對數壓縮規律：（9-16）式中，x 壓縮器歸一化輸入電壓； y 壓縮器歸一化輸出電壓； A 常數，它決定壓縮程度。A 律是從前式修正而來的。它由兩個表示式組成。第一個表示式中的y和x成正比，是一條直線方程；第二個表示式中

15、的y和x是對數關系，類似理論上為保持信號量噪比恒定所需的理想特性的關系。A律的導出由式畫出的曲線示于下圖中。為了使此曲線通過原點，修正的辦法是通過原點對此曲線作切線ob，用直線段ob代替原曲線段，就得到A律。此切點b的坐標(x1, y1)為或（1/A, Ax1/(1+lnA)）A律是物理可實現的。其中的常數A不同，則壓縮曲線的形狀不同，這將特別影響小電壓時的信號量噪比的大小。在實用中，選擇A等于87.6。圖9-11 A壓縮律13折線壓縮特性 A律的近似 A律表示式是一條平滑曲線，用電子線路很難準確地實現。這種特性很容易用數字電路來近似實現。13折線特性就是近似于A律的特性。在下圖中示出了這種特

16、性曲線：圖9-12 13折線特性圖中橫坐標x在0至1區間中分為不均勻的8段。1/2至1間的線段稱為第8段；1/4至1/2間的線段稱為第7段；1/8至1/4間的線段稱為第6段；依此類推，直到0至1/128間的線段稱為第1段。圖中縱坐標y 則均勻地劃分作8段。將與這8段相應的座標點(x, y)相連，就得到了一條折線。由圖可見，除第1和2段外，其他各段折線的斜率都不相同。在下表中列出了這些斜率因為語音信號為交流信號，所以，上述的壓縮特性只是實用的壓縮特性曲線的一半。在第3象限還有對原點奇對稱的另一半曲線，如下圖所示：在此圖中，第1象限中的第1和第2段折線斜率相同，所以構成一條直線。同樣，在第3象限中

17、的第1和第2段折線斜率也相同，并且和第1象限中的斜率相同。所以，這4段折線構成了一條直線。因此，共有13段折線，故稱13折線壓縮特性。圖9-13 13折線壓縮特性13折線特性和A律特性之間的誤差為了方便起見，僅在折線的各轉折點和端點上比較這兩條曲線的座標值。各轉折點的縱坐標y值是已知的，即分別為0, 1/8, 2/8, 3/8, , 1。對于A律壓縮曲線，當采用的A值等于87.6時，其切點的橫坐標x1等于： （9-17）將此x1值代入y1的表示式，就可以求出此切點的縱坐標y1：（9-18）這表明，A律曲線的直線段在座標原點和此切點之間，即(0, 0)和(0.0114, 0.183)之間。所以，

18、此直線的方程可以寫為：（9-19）13折線的第1個轉折點縱坐標y = 1/8 = 0.125，它小于y1，故此點位于A律的直線段，按上式即可求出相應的x值為1/128。當y > 0.183時，應按A律對數曲線段的公式計算x值。此時，由下式可以推出x的表示式： （9-20） 按照上式可以求出在此曲線段中對應各轉折點縱坐標y的橫坐標值。當用A = 87.6代入上式時，計算結果見下表 從表中看出，13折線法和A = 87.6時的A律壓縮法十分接近。m壓縮律和15折線壓縮特性在A律中，選用A等于87.6有兩個目的： 1）使曲線在原點附近的斜率等于16，使16段折線簡化成僅有13段； 2）使在13

19、折線的轉折點上A律曲線的橫坐標x值接近1/2i (i = 0, 1, 2, , 7)，如上表所示。若僅為滿足第二個目的，則可以選用更恰當的A值。由上表可見，當僅要求滿足x = 1/2i時，y = 1 i/8，則將此條件代入式（9-21）得到： 因此，求出將此A值代入下式，得到：（9-22）若按上式計算，當x = 0時，y ® - ¥；當y = 0時，x = 1/28。而我們的要求是當x = 0時，y = 0，以及當x = 1時，y = 1。為此，需要對上式作一些修正。在m律中，修正后的表示式如下： （9-23）由上式可以看出，它滿足當x = 0時，y = 0；當x = 1時，y = 1。但是，在其他點上自然存在一些誤差。不過，只在小電壓(x < 1/128)時，才有稍大誤差。通常用參數m表示上式中的常數255。這樣，上式變成： （9-24）這就是美國等地采用的m壓縮律的特性。由于m律同樣不易用電子線路準確實現，所以目前實用中是采用特性近似的1