1、第三章多維隨機變量及其分布在實際應(yīng)用中，有些隨機現(xiàn)象需要同時用兩個或兩個以上的隨機變量來描述例如，研究某地區(qū)學(xué)齡前兒童的發(fā)育情況時，就要同時抽查兒童的身高 H、體重W,這里，H和W是定義在同一個樣本空間 S e 某地區(qū)的全部學(xué)齡前兒童 上的兩個隨機變量。又如，考察某次射擊中彈著點的位置時，就要同時考察彈著點的橫坐標(biāo)X和縱坐標(biāo)Y。在這種情況下，我們不但要研究多個隨機變量各自的統(tǒng)計規(guī)律，而且還要研究它們之間的統(tǒng)計相依關(guān)系，因而還需考察它們的聯(lián)合取值的統(tǒng)計規(guī)律，即多為隨機變量的分布由于從二維推廣到多維一般無實質(zhì)性的困難，故我們重點討論二維隨機變量。第一節(jié)二維隨機變量及其分布教學(xué)目的 了解多維隨機變量

2、的概念，掌握二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)、聯(lián)合分布律聯(lián)合概率密度的概念，并會計算有關(guān)事件的概率，掌握二維隨機變量的邊緣分布。教學(xué)重點 掌握二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)、聯(lián)合分布律聯(lián)合概率密度的概念，并會計算 有關(guān)事件的概率，掌握二維隨機變量的邊緣分布。教學(xué)難點二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)、聯(lián)合分布律、聯(lián)合概率密度的概念的理解，有關(guān)事件概率的計算，二維隨機變量的邊緣分布的理解與計算。教學(xué)內(nèi)容一、二維隨機變量定義1設(shè)隨機試驗的樣本空間為S e， e S為樣本點，而X X （e），Y Y（e）是定義在S上的兩個隨機變量，稱（X,Y）為定義在S上的二維隨機變量 或二維隨機向量.二、二維隨機變量的分布函數(shù) 定

3、義2設(shè)（X，Y）是二維隨機變量，對任意實數(shù)x，y，二元函數(shù)記為F（x，y） P（X x） P（Y y） PX x，Y y稱為二維隨機變量（X,Y）的分布函數(shù)或稱為隨機變量 X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。 聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：（1）0 F （x，y） 1，且對任意固定的y，F(xiàn)（ ，y） 0，對任意固定的x，F(xiàn)（x， ） 0，F(xiàn)（ ， ） 0，F(xiàn)（ ，） 1；（2）F （x，y）關(guān)于x和y均為單調(diào)非減函數(shù)，即對任意固定的y，當(dāng)x2 xF（X2，y） F（xy），對任意固定的x，當(dāng)y2 y!，F(xiàn)（x，y2） F（x，yJ； F （x，y）關(guān)于 x 和 y 均為右連續(xù)，即 F（x，y） F（x 0，y），F(xiàn)（

4、x，y） F（x，y 0）.三、二維離散型隨機變量及其概率分布定義3若二維隨機變量（X，Y）只取有限個或可數(shù)個值，則稱（X，Y）為二維離散型隨機 變量 .注：(X,Y)為二維離散型隨機變量當(dāng)且僅當(dāng)X,Y均為離散型隨機變量。若二維離散型隨機變量 (X,Y) 所有可能的取值為 (xi,yj ) i, j 1,2, 則稱PX xi,Y yj pij (i,j 1,2, )為二維離散型隨機變量 (X,Y)的概率分布(分布律),或X與Y的聯(lián)合概率分布(分布律).與一維情形類似 ,有時也將聯(lián)合概率分布用表格形式來表示, 并稱為 聯(lián)合概率分布表 。注：對離散型隨機變量而言 , 聯(lián)合概率分布不僅比聯(lián)合分布函數(shù)

5、更加直觀，而且能夠更加方便地確定(X,Y)取值于任何區(qū)域 D上的概率，即P(X,Y) Dpij ,(xi,yj ) D特別地， 由聯(lián)合概率分布可以確定聯(lián)合分布函數(shù)：F(x,y) PX x,Y ypij.xi x,y j y例1設(shè)隨機變量X在1,2, 3, 4四個整數(shù)中等可能地取一個值，另一個隨機變量 Y在1X中等可能地取一整數(shù)值，試求(x,y)的分布律.例2把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值，求(X,Y)的概率分布及(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣分布。四、二維連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義4設(shè)(X,Y)為二維隨機變量，F(xiàn)(x,y)為

6、其分布函數(shù)，若存在一個非負(fù)可積的二元函數(shù) f (x,y) , 使對任意實數(shù) (x, y) ， 有xyF(x,y)f ( s, t)dsdt,則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量，并稱f(x, y)為(X,Y)的概率密度(密度函數(shù)),或X,Y的聯(lián)合概率密度 (聯(lián)合密度函數(shù) )。概率密度函數(shù)f (x, y)的性質(zhì)：(1)f(x,y) 0;(2) f(x,y)dxdy F( ,)1;(3) 設(shè)D是xOy平面上的區(qū)域，點(X,Y)落入D內(nèi)的概率為P( x,y) D f(x,y)dxdyD特別地， 邊緣分布函數(shù)xxFX(x) PX x PX x,Y f ( s, t )dsdtf(s,t)dt ds,上式

7、表明： X 是連續(xù)型隨機變量 , 且其密度函數(shù)為 ：fX(x)f(x,y)dy,同理， Y 是連續(xù)型隨機變量 , 且其密度函數(shù)為：fY(y)f(x,y)dx.分別稱fX(x)和fY(y)為(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣密度函數(shù) 若 f (x, y)在點(x,y)連續(xù)， 則有 F(x,y) f(x, y).x y進(jìn)一步，根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，可推得：當(dāng)x, y很小時，有Px X x x,y Y y y f(x, y) x y,即，(X,Y)落在區(qū)間(x,x x (y, y y上的概率近似等于 f (x, y) x y.例3設(shè)二維隨機變量(X,Y)具有概率密度f(x, y)2e (2x y), x 0,

8、y 0,0,其它.(1)求分布函數(shù)F(x, y);(2) 求概率PY X.例4設(shè)(X,Y)的概率密度是f(x, y)cy(2 x),0 x 1,0 y x0, 其它求(1) c的值；(2)兩個邊緣密度五、二維均勻分布1-,(x,y) G A0,其它設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A.若二維隨機變量(X,Y)具有概率密度函數(shù)f(x,y)則稱(X ,Y)在G上服從均勻分布.例5設(shè)(X,Y)服從單位圓域x2y21上的均勻分布求X和Y的邊緣概率密度六、二維正態(tài)分布若二維隨機變量(X,Y)具有概率密度2 21 x 12 x 1 y 2 y 2f(x,y)-22(1 2) 1 1 2 2e22，亦其中1, 2, 1, 2,均為常數(shù)，且! 0, 2 0,| | 1,則稱(X,Y)服從參數(shù)為2, 1的二維正態(tài)分布。注：二維正態(tài)隨機變量的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布，且都不依賴于參數(shù)即對給定的1, 2, 1, 2，不同的 對應(yīng)不同的二維正態(tài)分布，但它們的邊緣分布都是相同的,因此僅由關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布，一般來說是不能確定二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布的。課堂練習(xí)1將兩封信隨意地投入 3個郵筒，設(shè)X，