1、2019-2020 年高中數學 4.1.2 用二分法求方程的近似解教案北師大必修 1一、 教學目標1、 知識與技能：(1)解二分法求解方程的近似解的思想方法，會用二分法求解具體方程的近似解；(2)體會程序化解決問題的思想，為算法的學習作準備。2、 過程與方法：(1)讓學生在求解方程近似解的實例中感知二分發思想；(2)讓學生歸納整 理本節所學的知識。3、 情感、態度與價值觀：體會二分法的程序化解決問題的思想，認識二分法的價值所在，使學生更加熱愛數學；培養學生認真、耐心、嚴謹的數學品質。二、教學重點、難點重點：用二分法求解函數f(x)的零點近似值的步驟。難點：為何由丨a-b| 便可判斷零點的近似值

2、為a(或b)?三、學法與教法1、想想。2、教法：探究交流，講練結合。四、 教學過程(一) 、創設情景，揭示課題提出問題：(1)一元二次方程可以用公式求根，但是沒有公式可以用來求解放程In x+2x6=0的根； 聯系函數的零點與相應方程根的關系，能否利用函數的有關知識來求她的根呢？(2)通過前面一節課的學習，函數f(x)= In x+2x6在區間內有零點；進一步的問題是，女口 何找到這個零點呢？(二) 、研討新知一個直觀的想法是：如果能夠將零點所在的范圍盡量的縮小，那么在一定的精確度的要 求下，我們可以得到零點的近似值；為了方便，我們通過“取中點”的方法逐步縮小零點所 在的范圍。取區間(2,3)

3、的中點2.5，用計算器算得f(2.5)0.084,因為f(2.5)*f(3)0,所以零點在區間(2.5,3)內；再取區間(2.5,3)的中點2.75，用計算器算得f(2.75)沁0.512,因為f(2.75)*f(2.5) a4=- 6(7n+9),而不是7n-3v6(7n+9).他的結論 不對吧！師：那你的結論是什么呢？(動員大家思考，糾正)生：我的結論是：當n=1,2,3,4,5時，7v6(7n+9);當n=6,7,8,時，76(7n+9).師：由以上的研究過程，我們應該總結什么經驗呢？首先要仔細地占有準確的材料，不能隨便算幾個數，就作推測.請把你們計 算結果填入下表內：矜？犬小關系 5

4、形)11=114996n=2171381ISO722249306珈師： 依據數據作推測， 決不是亂猜.要注意對數據作出謹慎地分析.由上表 可看到， 當n依1,2,3,4,變動時，相應的7n-3的值以后一個是前一個的7倍 的速度在增加，而6( 7n+9)相應值的增長速度還不到2倍.完全有理由確認，當n取較大值時，7n-36(7n+9)會成立的.師：對問題3推測有誤的同學完全不必過于自責，接受教訓就可以了其實 在數學史上，一些世界級的數學大師在運用歸納法時，也曾有過失誤資料1(事先準備好，由學生閱讀)費馬(Fermat)是17世紀法國著名的數學家，他是解析幾何的發明者之一， 是對微積分的創立作出貢

5、獻最多的人之一，是概率論的創始者之一，他對數論也 有許多貢獻但是，費馬曾認為，當nN時，22n+1一定都是質數，這是他對n=0, 1,2,3,4作了驗證后得到的18世紀偉大的瑞士科學家歐拉(Euler)卻證明了225+仁4 294 967 297=6 700 417X641,從而否定了費馬的推測.師：有的同學說， 費馬為什么不再多算一個數呢？今天我們是無法回答的 但 是要告訴同學們，失誤的關鍵不在于多算一個上！再請看數學史上的另一個資料(仍由學生閱讀)：資料2f(n)=n2+n+41,當nN時，f(n)是否都為質數？f(0)=41，f(1)=43，f(2)=47，f(3)=53，f(4)=61

6、，f(5)=71，f(6)=83，f(7)=97，f(8)=113，f(9)=131，f(10)=151,f(39)=1 601.但是f(40)=1 681=412是合數師：算了39個數不算少了吧，但還不行！我們介紹以上兩個資料，不是說世 界級大師還出錯，我們有錯就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學了，而是 要找出運用歸納法出錯的原因，并研究出對策來.師：歸納法為什么會出錯呢？生：完全歸納法不會出錯.師：對！但運用不完全歸納法是不可避免的，它為什么會出錯呢？生：由于用不完全歸納法時，一般結論的得出帶有猜測的成份.師：完全同意.那么怎么辦呢？生：應該予以證明師：大家同意吧？對于生活、生產中的實

7、際問題，得出的結論的正確性，應 接受實踐的檢驗，因為實踐是檢驗真理的唯一標準對于數學問題，應尋求數學 證明（四）歸納與證明（板書）師：怎么證明呢？請結合以上問題1思考生：問題1共12個球，都看了，它的正確性不用證明了師：也可以換個角度看，12個球，一一驗看了，這一一驗看就可以看作證明 數 學上稱這種證法為窮舉法它體現了分類討論的思想師：如果這里不是12個球，而是無數個球，我們用不完全歸納法得到，這袋 球全是白球，那么怎么證明呢？（稍作醞釀，使學生把注意力更集中起來）師：這類問題的證明確不是一個容易的課題，在數學史上也經歷了多年的醞 釀第一個正式研究此課題的是意大利科學家莫羅利科他運用遞推的思想

8、予以 證明結合問題1來說，他首先確定第一次拿出來的是白球然后再構造一個命題予以證明 命題的條件是：“設某一次拿出來的是白球” ， 結論是“下一次拿出來的也是白球”這個命題不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而 是研究若某一次是白球這個條件能保證下一次也是白球的邏輯必然性大家看，是否證明了上述兩條，就使問題得到解決了呢？生：是第一次拿出的是白球已確認，反復運用上述構造的命題，可得第二 次、第三次、第四次、拿出的都是白球.師：對它使一個原來無法作出一一驗證的命題，用一個推一個的遞推思想 得到了證明生活上，體現這種遞推思想的例子也是不少的，你能舉出例子來嗎？生：一排排放很近的自行

9、車，只要碰倒一輛，就會倒下一排生：再例如多米諾骨牌游戲（有條件可放一段此種游戲的錄相）師：多米諾骨牌游戲要取得成功，必須靠兩條：（1）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒；（2）第一張牌被推倒.用這種思想設計出來的，用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證 明方法就是數學歸納法.（五）數學歸納法（板書）師：用數學歸納法證明以上問題2推測而得的命題，應該證明什么呢？生：先證n=1時，公式成立（第一步）；再證明：若對某個自然數（n=k）公式成立，則對下一個自然數（n=k+1）公 式也成立（第二步）.師：這兩步的證明自己會進行嗎？請先證明第一步.生當n = l時，左式二泊=1,右式=y

10、= k此時公式成立（應追問各步計算推理的依據）師：再證明第二步.先明確要證明什么？生恥冊公式蚊即廿&幀為條件來證明嚴+1時，公式也成立，即a1+1-也成立.師：應注慝這里是證明遞推關系成立，證明殆廣芮成立時,必須胸廿詳個條件”師：于是由上述兩步，命題得到了證明這就是用數學歸納法進行證明的基 本要求師：請小結一下用數學歸納法作證明應有的基本步驟生：共兩步(學生說，教師板書)：(1)n=1時，命題成立；(2)設n=k時命題成立，則當n=k+1時，命題也成立師：其實第一步一般來說，是證明開頭者命題成立例如，對于問題3推測得的命題：當n=6,7,8,時，7n-36(7n+9).第一步應證明n=

11、6時，不等式 成立(若有時間還可討論此不等關系證明的第二步，若無時間可布置學生課下思 考)(六)小結師：把本節課內容歸納一下：(1)本節的中心內容是歸納法和數學歸納法.(2)歸納法是一種由特殊到一般的推理方法.分完全歸納法和不完全歸納法 二種.(3)由于不完全歸納法中推測所得結論可能不正確，因而必須作出證明，證 明可用數學歸納法進行.(4)數學歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推(遞歸)思想，它 的操作步驟必須是二步.數學歸納法在數學中有廣泛的應用，將從下節課開始學習.生依已知條件，補佳=(七)課外作業(1)閱讀課本P112P115的內容.(2)書面作業P115練習：1,3.課堂教學設計

12、說明1數學歸納法是一種用于證明與自然數n有關的命題的正確性的證明方法.它 的操作步驟簡單、明確,教學重點應該是方法的應用.但是我們認為不能把教學 過程當作方法的灌輸, 技能的操練.對方法作簡單的灌輸, 學生必然疑慮重重. 為什么必須是二步呢？于是教師反復舉例，說明二步缺一不可你怎么知道n=k時命題成立呢？教師又不得不作出解釋，可學生仍未完全接受學完了數學歸納法 的學生又往往有應該用時但想不起來的問題，等等為此，我們設想強化數學歸 納法產生過程的教學，把數學歸納法的產生寓于對歸納法的分析、認識當中，把 數學歸納法的產生與不完全歸納法的完善結合起來這樣不僅使學生可以看到數 學歸納法產生的背景，從一

13、開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎，而 且可以強化歸納思想的教學，這不僅是對中學數學中以演繹思想為主的教學的重 要補充，也是引導學生發展創新能力的良機.數學歸納法產生的過程分二個階段，第一階段從對歸納法的認識開始，到對 不完全歸納法的認識，再到不完全歸納法可靠性的認識，直到怎么辦結束第二 階段是對策醞釀，從介紹遞推思想開始，到認識遞推思想，運用遞推思想，直到 歸納出二個步驟結束.把遞推思想的介紹、理解、運用放在主要位置，必然對理解數學歸納法的實 質帶來指導意義，也是在教學過程中努力挖掘、滲透隱含于教學內容中的數學思 想的一種嘗試.2在教學方法上，這里運用了在教師指導下的師生共同討論、 探索的方法.目 的是在于加強學生對教學過程的參與程度.為了使這種參與有一定的智能度，教 師應做好發動、組織、引導和點撥.學生的思維參與往往是從問題開始的，盡快 提出適當的問題，并提出思維要求，讓學生盡快投入到思維活動中來，是十分重 要的.這就要求教師把每節課的課題作出層次分明的分解，并選擇適當的問題， 把課題的研究內容落于問題中，在逐漸展開中，引導學生用已學的知識、方法予 以解決，并獲得新的發展.本節課的教學設計也想在這方面作些研究.3.理解數學歸納法中的遞推思想，還要注意其中第二步，證明n=k+1命題成立時必須用到