1、第二章導數與微分-導數(一) 導數的概念(見§2.1 )I內容要求(i) 理解導數的概念及其幾何意義，了解函數的可導性與連續性之間的關系。(ii) 了解導數作為函數變化率的實際意義，會用導數表達科學技術中一些量的變化率。 n基本題型(i)用導數定義推證簡單初等函數的導數公式1.用導數定義求證下列導數公式，并記憶下列公式(每題 4分)(1)(C)0(2)(-)x12 x(3)C x)12 “ x(4)(cosx)sin x(5)(ax)ax ln a(6)(x )x(ii)確定簡單基本初等函數在某點處的切線方程和法線方程2. (6分)求y Inx在(1,0)點處的切線方程及法線方程。”

2、 '1 '解：y , y (1) k 1,所以x切線方程為y x 1法線方程為y x 13. (6分)求y ,xx在(1,1)點處的切線方程。3,3，3解：yx31切線方程為y (x 1) 1，即y x - 44(iii) 科技中一些量變化率的導數表示4 填空題(每題4分)(1)若物體的溫度T與時間t的函數關系為T T(t)，則該物體的溫度隨時間的變化速度為 T'(t)(2)若某地區t時刻的人口數為 N(t)，則該地區人口變化速度為N'(t)川疑難題型(i)分段函數在分段點處的導數計算5.討論下列函數在 x 0處的連續性與可導性(1) (7 分)y |sin x

3、 | , y x4 , y (1) k44解：在x0處連續但不可導(2) (7分).1xsin ,x0, x解：lim yx 0f(o).1 xsin - limxx 0 x1 lim sin不存在,x 0 x所以f (x)在x0處連續但不可導6. ( 8分)已知:2x ,f(x)x,0，求 f (0), f (0), f (0), f (x).0解: f (0) = limx 0f(0 x) f(0)limx 0f (0) limx 0f ( x)f(0 x) f(0)limx 0x20f'(0)不存在2x,x1,x(ii)用導數定義解決的有關抽象函數的題型(自學)7. (7 分)設

4、 f(0)0, f (0)1,求 lim f (2x) f (x 0x= lim f (2x) f (0) f( 3x)f(0)x 0limf(2x)f(0)x 0解: lim f(2x)f(3x)x 0&( 7分)對任取的求證:f (x)在(解:f(x y)2f (0)3f (0)3x)xf ( 3x) f (0)0x+ limxx, y，總有 f (x)上處處可導。f (x) f (y)，取 xy)f(x)f (y)，且f (x)在x 0處可導,f(0) 0limx 0f (x) limx (X)f(0)I f(x X)f(x)0xlim f(x) f( x) f(x)x 0f (

5、0)即f(x)在()上處處可導。(二) 初等函數求導(見 A § 22、 § 2.3 ); (B § 22 )I內容要求(i) 記憶基本導數表，掌握四則求導法則及復合求導法則，了解反函數求導法則。(ii) 了解高階導數的概念， 掌握初等函數一階及二階導數的求法，自學求函數n階導數 的一般表達式。n基本題型(i)初等函數一階及二階導數的計算題型9.求下列函數的一階導數(每題4分)(1)x 2x 12 x ln2 2 x(2)x3e cosx3ex(cosx sin x)(3)ln x X-x In x2 x 2 ln x2x、x(4)arcs in xarccosx

6、1arcs in xarccosx.臼 x2 (arccosx)2arcs in x arccos x.1(arccosx)2(5)22x(6)xe 2 cos6x(7)x 1 arcta n x 1(8)2、1x2(arccosx)2ln(x . x2a2),10.求下列函數在給定點處的函數值(1)1sin cos222xIn 2 2x 2x2 (cos 6xx2 1In 212si n6x)a(x1) (x 1)1)21_ x21解：ddsincos1x - x2 a(每題d，求-d1 .sin2(1x.x2 a21_x2 a26分)cos1 .sin2(2)解:(3)解:(4)解:dl2

7、 、2 . 2(2_8484,x，求 y (1).12、x2、x 1，y (1)2, x x3. 28（o,）,y(?1 sin x1 sin x2 sec2 x4 sec2 x tan xy(3)4sec tan 16.33In(secx tanx),求y （舌）.(secx tan xsecx tan x2 secx)secx(-)sec-236 611.求下列函數的二階導數-lnx（每題7 分)(1)2x(2)tanx2 sec22 sec xtan(3)e2x2xe2xe2x(4)(5)(6)2x , ,2e (4x 4x 2)3xln (x2a2)2x2x2( a2(x2x2) a2

8、)2y1 xln1 xln(x x2a2)2x(x2(x2x3a2)2川提高題型(i)有關抽象函數的求導問題12 .( 7分)設函數f (x)和g(x)可導，且f 2(x) g2(x)0 ,試求：d . f 2(x) g2(x).dx解:d . f 2(x) g2(x). dx13.(7分)設f (x)二階可導,2 2f (sin x) f (cos x)，求 y (x), y (x).解:' 2y (x) sin2xf (sin x). ' 2 ' 2 ' 2sin 2xf (cos x) =sin 2x f (sin x) f (cos x)14.解:y (

9、x) 2cos2x(7 分)dx試從坐dy' 2 ' 2f (sin x) f (cos x) sin"2"22x f (sin x) f (cos x)丄導出:yd2xy(y)3.d2xdy2+ (丄) dy y(丄)ydydxy 1'2(y) yy(y)3(ii)有關n15.求下列函數n階導數的一般表達式(每題1階導數的計算題型(自學)7 分)(1)y(2) yy(x)x a1*(n)y(1)n n!(xn 1a)2x 31x 3(n)y14(1)nn!y (x)y (x)Hly (x)14141(x3) (ni)(x1) (n 11)(x 3)

10、1)(x 1) 2i)(2)(x3) 3(1)( 2)(x1) 3443) (x 1)(3) yln(1 x)(n)n 1y( 1) (n1)!(1 x) n(4)ysin x(12cos2x) y(n)2 cos(2x £ )(5)yxxe(n)xy(x n)ei)(2)( 3)(x4(參數方程所確定函數的求導問題及相關變化率問題 (A 見§ 2. 4); ( B 見§ 2. 3)I內容要求(二) 隱函數、(i) 掌握隱函數和參數方程所確定函數的一階導數，并學會計算簡單的二階導數。(ii) 學會對數求導法。* (iii)學會解決一些簡單實際問題中的相關變化率問題

11、。n基本題型(i)涉及隱函數和參數方程所確定函數的一階導數問題16.求由下列方程所確定的隱函數y y(x)的導數dy :1dx(1) (7 分)x3 y3 3axy 0解:3x23y2y'3a(yxy') 0,1y3ay3y23x23ax2ay x2y ax(2)(7 分)y 1y xe解：1y (eyxeyiiy , yeyey1 xeyy22 217. ( 7分)求曲線x3 y羔在點(厶,厶)處的切線方程及法線方程。442 _ 2 _ ,解：方程求導得：一x3 y 3 y 0, y33法線方程為 y x切線方程為 y x -a ,218. ( 7分)設 y ( %)x，求

12、dy .1 xdx解：In yy In x In(x 1)=(1x )xxIn19求下列參數方程所確定的函數的導數凹.dx(7分)x(1sin )(1)y cos解:dycossin ,竺 1 sincosdddycossindx1 sincos(2)(7分)x ln(1t2)y t arctantdydx2t20. （ 7分）求曲線解:史dt dy dx2e2t costt2dx1 t2 ， dtet sin 2t . e%st在點eSint,魚dt2 cost si ntsin2t 2 cos2t2t1 t2（0,1）處的切線方程及法線方程。et sin2t 2cos2t,x 0, y 1

13、,t0,切線方程為x y 1法線方程為 x y 1川綜合應用題型（i）有關變化率及*相關變化率的實際問題21.（8分）設質點的位移函數S t3 1.5t2t,t0，其中t和S的單位為s和m，問:何時質點達到5ms的速度?(2)3s時，質點運動的加速度。解:dsdt3t2 3t 15 t 1 (t2)(2)221 (m/s )22.（8分）在一新陳代謝實驗中葡萄糖的含量為2m 50.02t ，其中t的單位為h ,求1h后葡萄糖量的變化率。t 10.04t t 10.04解：dmdtpV C，求體23. （ 8分）在溫度不變的條件下，壓縮氣體的體積與壓強之間的關系為 積關于壓強的變化率。解；v C

14、Cp 2P dp*24 . （ 8分）設一球狀雪球正在融化，其體積以1cm3 min的速率減小，問雪球直徑為10cm時，直徑的減小率為多少?解： V6D3Vt2 '2DDtt D 10 Dt D 101礦(cmmin)*25 . (8分)設12: 00時甲船位于乙船西100km處，甲船以35km h的速度向南航行,而乙船以25 km h的速度向北航行,16： 00時兩船距離的增加率。解：S . 1002(60t)2, S2 60t 602.1002(60t)2t 455.4km/ h.*26 . (8分)一架巡邏直升機在距地面3km的高度以120 km h的常速沿著一條水平筆直的高速公

15、路向前飛行，飛行員觀察到迎面駛來一輛汽車，通過雷達測出直升機與汽車間的距離為5km，并且此距離以160 km h的速率減少，試求出汽車行進的速度。解：S . (4 120t 4t)2 9, S'(4 120t vt)( 120 v),(4 120t vt)29t01604即 4 (120 v) 160 v 80(km/h)5iv提高題型(i)涉及隱函數和參數方程所確定函數的二階導數題型27.(7分)設y tan(x y)確定了y y(x)，求 y (x).解:'2y sec (x y)(11sin2 (x y)(7 分)設xln(1 t2)求d yyarctantdx2dy1d

16、x2tdy 1dt2 ，1 t2dt 1 t2，dx 2t1d2yd '(y )2t21 t22t4t3dx2dx2csc2(xy (x)y)cot(x28.解:1 t223y) (1 y )2 csc (x y) cot (x y)29.(7 分)設2yarctantty2 et確定了 y y(x)，求 y (0).5解：(1) xt1'2't口,2yt (y2tyyt) eyt 22 ty_e_2ytdydxyt(y2et)(1t2) y2(1 yt)Xt(0)(x 0,to,y2)(2)2yt(2yyt2yyt2t(yt)22tyyet 0yt (22ty)4yy

17、t 2t(y')2yt4yy' 2t(y')2 et2(1 yt)號，代入公式得 y (0)30. (7 分)設 y y(x)由方程 xef(y)ey所確定，其中f二階可導，且f112d 2y1，求 一.dx解:Inf(y)f (y).y12xni of (y)(y)f (y).y y31.解:x1 f (y)(7分)設xyf (t)tf (t)dydt(t)tf (t)dydxd2ydx21f (y)= L _ x2 1f (y)f'(y)' 21 f (y)x21 f (y)1f (y)二 :2 x2 1 f (y)1 f'(y)'

18、2f (y) 1 f (y)'3f (y)f(t)，且f (t) 0，f'(t)tf(t),dx dtf (t)軟y ) f (t)(B 見§ 2.4 )2.5 );1微分(A見§ I內容要求(i) 理解微分的概念，了解微分的概念中所包含的局部化線性思想。(ii) 了解微分的四則運算法則和一階微分形式不變性。（iii）自學微分在近似計算中的應用。 n基本題型（i）求函數的微分題型32.求下列函數的微分(1)(5分)y.xs in 衛 1 2。0 6.67 ooo3 V 3°xdy(Isin 丄 J2 xxx -2 cos1)dxxx(2)(5分)y

19、e xcos(3x)dye xcos(3 x)sin(3 x) dx21 x J丄，其中 g 980cm's2 , l 為擺長(cm),1dy y dx 1x(3)（5分）yx'1 x2 d 2dxx.x21，(1 x2)233.在下列等式左端的括號中填入適當的函數，使等式成立（每空(1) d(4x3 C) 4x2dx31(3) d(ln(x 1) C)dx x 134.填空(每空3分)cos x)J)011 1AMA(4)d(1 2x e2C)e 2xdx3分)11(1) d lnxx dx(2)2 d arcta nx1 x川提高題型（i）涉及微分在近似計算中的應用題型（自

20、學）2%以內，問這時測量直徑D的相對誤差不35. （7分）計算球體體積時，要求精確度在 能超過多少？解：V 4 r設原擺長為20cm，為使周期T增大0.05s，擺長約需加長多少?36. （7分）已知單擺的振動周期 T3解:It-gT2,i lt T 2.232(cm)2 2第二章導數與微分計算測試題選擇題(7X 4 分)1 函數y f (x)在x0處連續是 y f (x)在x0處可導的(B )A充分但非必要條件 B必要但非充分條件 C充分且必要條件f (x) cos1xD既不充也不必要條件2.3.4.5.6.f (丄)f (x)A ex2CA sinx設 f (x)7.若函數f(x 2) ex

21、y x In yy sin xarctan x ,f(x)sin x,cosx Csinxlimf(1 x) f(1)x 0COSX0,則在0(D )A 導數為0 B 導數為1 C 導數為2 D導數不存在:、填空題(3X 4分)1 曲線y ex 3sinx 1在點(0,2)處的切線方程為y 2x 2 22. djx2 1 xdlnxJi x22 x2 x3設 f(x) x ,貝U f (x) x (2ln x 2)二、計算題4X 7 分)1設ln(secx tan x)，求 y .解:(secx tan x sec2 x) secx,secx tan xsecx tan x2設y(x)由 xy

22、ln y10所確定，求 y (0).解:0,yxye2.3.(1)3 -acos t3 .， asin t(2)x 3ety 2e t求史dxdydx(3)In x2y arcta nx解:(1)(2)dydxdydttant2edxdt2 2te3xy yy 21 (')x1 2x2 x22yy2y2x2 2x yxyx yy2 2x y2 'x y xy x yyy'(x2y)x(1y)y'x(1 y)(x2 y)解：y cosy ey xeyy0，y' (1)4設 f （x）在（，）上可導，且F（x）f(x21)f (1 x2)，求 F (1)F ( 1).解：F'(x) f'(x21).2x2xf'(1 x2)F(1) 2f'(0)2f'(0)0 ,F( 1)2f'(0)2f'(0)0F'(1) f'( 1)0四、（9分）設y y（x）是由方程sin yxey1所確