1、第33講 等差數列及其前n項和-夯實基礎【P76】【學習目標】1. 等差數列的定義，通項公式，遞推公式，性質及求和公式.2. 掌握待定系數法，利用數列公式列方程解方程.【基礎檢測】1 .在數列 an中，ai= 1 , an+1- an= 2 ,貝卩a50的值為()A. 99 B. 98 C. 97 D. 96【解析】 an+1 a*= 2, a1= 1,二數列an是等差數列，首項為1,公差為2,則 a50= 1 + 2X (50 1) = 99.故選A.【答案】A2. 設等差數列an的前n項和為Sn,若a4+ a6= 10,則Sg=()A. 20 B. 35 C. 45 D. 90【解析】等差

2、數列an的前n項和為Sn, a4 +比=10,c 99S9 = 2( a1+ a9)= 2(a4+ a6)= 45.故選C.【答案】C3. 已知等差數列an的前9項的和等于前4項的和，若a1= 1, ak+ a4= 0，則k =()A. 3 B. 7 C. 10 D. 4【解析】等差數列 an前9項的和等于前4項的和， 9+ 36d= 4 + 6d,其中d為等差數列的公差，1- d= 6 又 ak + a4= 0, 1+ (k 1)d+ 1 + 3d= 0,代入可解得 k = 10,故選C.【答案】C4. 在數列an中，若a1 = 2,且對任意的n N有2a“ +1 = 1 + 2a*,則數列

3、an的前 10項和為()55A. 2 B . 10 CQ D.41【解析】由2an +尸1 + 2an得an+1 an= ?,所以數列an是首項為一2,公差為2的等差數列，10X (10- 1)1 5所以 Sio= iox( 2)+2x2=5【答案】C【知識要點】1. 等差數列定義an+ 1 an= d(常數).2. 等差中項在兩個數a與b之間插入一個常數 A,使a, A, b成等差數列，則把_A_叫作a與ba亠b的等差中項，A =廠，即a+ b= 2A .3. 等差數列的通項公式an= _a+ (n - 1)d(n N*)4. 等差數列的公差(1) d= an an-1;an a1d=育；(

4、3)d =an 一 Qmn m等差數列通項公式與函數的關系：通項公式an= a1 + (n 1)d可以寫成an= dn + (a1 d),它是關于n的一次函數(d工0時)或常函數(d = 0時),它的圖象是一條直線上橫坐標為正整數 的一群孤立的點，公差d是這條直線的斜率.5. 常用的等差數列的性質(1) 若 m+ n = p+ q,則_am + an= ap+ a _(m , n, p, q N ).特別地，若 m+ n= 2p,貝 H 2ap= 3衛+ Qn.(2) an = a1 + (n 1)d 可推廣為 _an = am+ (n m)d_.(3) am , am+ k, am+ 2k,

5、 am+ 3k, 仍是等差數列，公差為_kd_.設Sn是等差數列 an的前n項和，則Sk, S2k Sk, S3k S2k,構成的數列是等差數 列，公差為_k2d.6. 等差數列前n項的和Sn(1)等差數列的前n項和公式:Sn =n ( a1 + 環)2=n a1 +n (n 1)2d.等差數列的前n項和Sn與函數的關系:當d工0時，Sn=a1 dn, Sn是關于n的二次函數，它的圖象是過原點的拋物線上橫坐標為正整數的一群孤立點；當d= 0時，Sn= na1,它的圖象是一條射線上橫坐標為正整數的一群孤立點.若an , bn為等差數列，其前n項和為Sn和Tn,則g= . 2); 二是利用等差中項

6、，即2an= an+1 + an1(n2).2.解選擇、填空題時，亦可用通項或前 n項和直接判斷. 通項法：若數列an的通項公式為n的一次函數，即an = An + B,則an是等差數列. 前n項和法：若數列an的前n項和是Sn= An2+ Bn的形式(A, B是常數)，則a.為 等差數列.考點2等差數列性質及最值例3( 1)在等差數列 an中，已知a4+ a5= 12,那么它的前8項之和S8等于()A. 12 B. 24 C. 36 D. 48【解析】由等差數列的性質 / + a&= a4 + a5= 12,所以8 （ai+ as）8 122 一 = 2= 48,故選 D.【答案】D(2)記

7、Sn為等差數列 an的前n項和，若S5= 2S4, 82+ a4= 8,則a5=()A. 6 B. 7 C. 8 D. 10【解析】方法一：(基本法)數列 8n等差數列，S5= 2S4, 82+ 84= 8 ,5 X 44X 35ai+ 尹=2 4ai+ 尹,1.81 + d + 8i + 3d = 8,3ai+ 2d = 0,8i= 2,整理得，解得|8i + 2d= 4,d = 3.85= 81 + 4d= 2 + 12= 10.方法二：（性質法）T S5= 2S4, 82+ 84= 8,1-85 = S5 S4=，81 + 85= 82+ 84= 8 ,81 + 8581-S5 = 2

8、X 5，S5=QX 5= 20 , . 85= 1&= 10.故選D.【答案】D在等差數列8n中，設Sn為其前n項和，且810 , S3= S11,求當n為多少時，Sn取得最大值.3 x 211 x 102【解析】 法一：由 S3= S11,可得 381 + 2 d = 1181 + 2 d,即 d = 1381.從而 Sn= dn2+812+ 4913（n 7） + 1381,因為810,所以一亦0, S3= S11 可知 d0, 880, d0時，滿足當ai0時，滿足am0,的項數m使得Sn取得最大值為Sm ；am +1w 0am w 0, 的項數m使得Sn取得最小值為Sm.am +1 0

9、考點3等差數列的前n項和例4( 1)已知等差數列an滿足a2+ a4= 4, 83 + 85= 10,則它的前10項和S等于(A. 138 B. 135 C. 95 D. 23【解析】因為an為等差數列，a2+ a4= 2a3= 4,二a3= 2,由 a3+ a5= 10,可得 a5= 8,a5 a3d= 3, a1= a3 3X 2= 4,5 3則 a10= a1+ 3X 9= 23.10 (a1 + a10)則 S10=( 蘭=95.故選C.【答案】C(2)以Sn, Tn分別表示等差數列 an , bn的前n項和，若爭=一，則嚴的值為(In n+ 3 b521372A - 7 B.? C/

10、8 %【解析】因為數列 an , bn是等差數列，1,所以 S2n+1= (2n +1 )a“+1, T2n+1= (2n + 1 )bn+故 b5=鄴=S=79 = 21，選 B.bs 9b5 T 99 + 34【答案】B(3)設 an是公差為 2 的等差數列,若 a1+ a4+ a7 + + a97= 50 ,則 a3+ a6+ ag+ + a99 的值為()A. 78 B. 82 C. 148 D. 182【解析】 令a3 + a+ a?+ a?9= k,又 a* + a4+ a7+ + a?7= 50,兩式兩邊分別相減得，(a3 a1)+ (a6 a4)+ (a9 a7)+ + (a9

11、9 a97)= k 50,即 33X 2d = 33X 4 = k 50 ,所以 k = 182,故選 D.【答案】D【小結】(1)等差數列運算問題的一般求法是設出首項 ai和公差d,然后由通項公式或 前n項和公式轉化為方程(組)求解.(2)等差數列的通項公式及前 n項和公式，共涉及五個量 ai, an, d, n, Sn,知其中三個就能求另外兩個 ，體現了方程的思想.【能力提升】例5已知 an是等差數列，bn是等比數列，且b2= 3, b3= 9, ai= bi, ai4= b4.(1 )求 an的通項公式；(2)設Cn= an+ bn ,求數列 c的前n項和.【解析】(i)等比數列 bn的

12、公比q= b= 9 = 3,b23所以 bi= = i, b4= b3q= 27.設等差數列 an的公差為d.因為 ai= bi = i, ai4= b4= 27,所以 i + i3d = 27,即 d = 2.所以 an= 2n 1(n= i, 2, 3,).(2)由(i)知，an = 2n i, bn= 3n 判斷給定的數列an是等差數列的常用方法(i)定義法：在所給數列an 中,任取相鄰兩項，使得an an-i= d (n N * 且 n2),只需 說明d是一個與n無關的常數即可.通項公式：對給定數列an,若能總結出它的通項公式an= bn + m(b, m為常數),說明an是n的一次函

13、數即可.求和公式法：若能求得數列an的前n項和S = an2+bn(a, b為常數)是關于n的一個沒有常數項的二次函數即可.等差中項法：an+1 + an-1 = 2an(n N*且 n2).因此 cn= an+ bn= 2n i + 3n i.從而數列 Cn的前n項和Sn = i+ 3+ + (2n i)+ i + 3+ + 3n in(i+ 2n i) i 3n2 3n i+= n +2方法總結 【P78】(3)an =Si,Sn Sn- 1,n= 1,n2.i 32由Sn求通項公式an= f(n)時需分n= 1與n2兩種情況分別進行計算，然后驗證兩種情 況可否用統一式子表示，否則就用分段函數表示.進高考【P78】1. (2018全國卷n )記Sn為等差數列an的前n項和，已知a1 =