1、安徽省宣城市 2020 屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理（含解析） 一、選擇題：本大題共 12 個(gè)小題，每小題 5 分，共 60分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的 .1. 設(shè)全集 是實(shí)數(shù)集 , 集合 ， ，則 為（ ）A. B. C. D.【答案】 C【解析】試題分析： ， 或 ， ， ， ， ， ， .考點(diǎn)： 1.一元二次不等式的解法； 2.對(duì)數(shù)不等式的解法； 3. 集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算 .2. 設(shè) 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) ，則 的共軛復(fù)數(shù) 在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 D【解析】復(fù)數(shù) ，則 的共軛平面復(fù)

2、數(shù) 在復(fù) 平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 在第四象限，故選 D.3. 設(shè) 是公比為 的等比數(shù)列，則“ ”是“ 為遞減數(shù)列”的A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】 D【解析】試題分析：若“ ”，當(dāng) ， 時(shí) ， 所以 為遞增數(shù)列； 若 為遞減數(shù)列，當(dāng) 時(shí)， ，所以應(yīng)選 D.考點(diǎn)：充分必要條件解析】分析】判斷 的奇偶性，以及 在 上的函數(shù)值的符號(hào)，結(jié)合選項(xiàng)得出答案【詳解】解： 的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又 ，即函數(shù) 奇函數(shù)， 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除 A、 D，當(dāng) 時(shí)， ， ，排除 B，解析】 考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式分析：從正六邊形的 6 個(gè)頂點(diǎn)

3、中隨機(jī)選擇 4 個(gè)頂點(diǎn)，選擇方法有 C64=15 種，且每種情況出現(xiàn) 的可能性相同，故為古典概型，由列舉法計(jì)算出它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的方法種數(shù)， 求比值即可解：從正六邊形的 6 個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇 4 個(gè)頂點(diǎn)，選擇方法有 C64=15 種， 它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的方法種數(shù)為3，由古典概型可知它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概率等于 = 故選 D6. 若實(shí)數(shù) 滿足 ，則 的最小值為（ ）A. B. C. 8 D. 10 【答案】 C【解析】【分析】由約束條件作出可行域，再由 的幾何意義，即可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn) 距離 的平方求解【詳解】解：由約束條件 作出可行域如圖，的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)

4、點(diǎn)與定點(diǎn)的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn) 距離的平方，由圖可知，最小值為 到直線 的距離的平方，故選： C【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的非線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方 法，是中檔題7. 已知圓 和圓 只有一條公切線，若 且 ，則 的最小值為A. 2 B. 4C. 8D. 9【答案】 D【解析】【分析】由題意可得兩圓相內(nèi)切， 根據(jù)兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心和半徑， 可得，再利用“ 1”的代換，使用基本不等式求得 的最小值 .【詳解】由題意可得兩圓相內(nèi)切，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為 ， ， 所以圓心坐標(biāo)分別為 ，半徑分別為 2 和 1，故有=1， + =（ + ）（） =5+ + 5+4

5、=9，當(dāng)且僅當(dāng) = ，即 時(shí)，等號(hào)成立， + 的最小值為 9，故選 D.【點(diǎn)睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，基本不等式 的應(yīng)用，得到 是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)B.A.【答案】 DC.D.解析】【分析】由三視圖可知，直觀圖是正方體挖去兩個(gè) 圓柱，即可求出表面積【詳解】解：由三視圖可知，直觀圖是正方體挖去兩個(gè) 圓柱 該幾何體的表面積為故選： D點(diǎn)睛】本題考查了三視圖，以及表面積的計(jì)算，這類型題的關(guān)鍵在于三視圖的還原，屬于中檔題9. 已知函數(shù) 的周期為 2，當(dāng) 時(shí)， ，如果 ， 則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（ ）A. 8 B. 6 C. 4 D. 10 【答案】 A【解析】解：

6、函數(shù)的零點(diǎn)滿足： ， 在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中繪制函數(shù) 和函數(shù) 的圖象， 觀察可得 4 對(duì)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)于直線 對(duì)稱， 據(jù)此可得函數(shù) 的所有零點(diǎn)之和為 2×4=8.本題選擇 A選項(xiàng) .CAB）CAB離心率的取值范圍是（ ）答案】 A解析】試題分析：根據(jù)題意，由于雙曲線的漸近線方程為 ，而圓的圓心，半徑為 1，則利用圓心到直線的距離，故選 A考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與圓方法點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題確定雙曲線的漸近線方程，利用雙曲線的一條漸近線與圓 有公共點(diǎn)，建立不等式，即可求得離心率的范圍在高考中，對(duì)雙曲線的考查一般以它

7、的特色漸近線、離心率的考查為主11. 已知函數(shù) 的圖象在點(diǎn) 處的切線 與直線 平行，若數(shù)列10. 若雙曲線的一條漸近線與圓 有公共點(diǎn)，則雙曲線的D.D.的前 項(xiàng)和為 ，則 的值為（答案】 C解析】分析】 函數(shù)的圖象在點(diǎn) 處的切線 與直線 平行，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何含義可以求出，轉(zhuǎn)化求解數(shù)列 的通項(xiàng)公式，進(jìn)而由數(shù)列的通項(xiàng)公式選擇求和方法即可求解【詳解】解：函數(shù) 的圖象在點(diǎn) 處的切線 與直線 平行， 由 求導(dǎo)得： ，由導(dǎo)函數(shù)得幾何含義得： ，可得 ，所以 ，數(shù)列的通項(xiàng)為所以數(shù)列 的前 項(xiàng)的和即為 ，則利用裂項(xiàng)相消法可以得到： 所以數(shù)列的前 2020 項(xiàng)的和為： 故選： C【點(diǎn)睛】此題考查了導(dǎo)函數(shù)的幾何

8、含義及方程的思想，還考查了利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前 項(xiàng)和的方法12. 已知 ， ， ， ， 為 外接圓上的一動(dòng)點(diǎn)， 且 ，則 的最大值是(A.答案】 B【解析】【分析】以 的中點(diǎn)為原點(diǎn)， 以 為 軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 設(shè) 的坐標(biāo)為求出點(diǎn) 的坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)和向量的數(shù)乘運(yùn)算得到 ，根據(jù)正 弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出答案 .【詳解】解：以 的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以 為 軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則 外接圓的方程為 ，設(shè) 的坐標(biāo)為 ，過點(diǎn) 作 垂直 軸， ， ， ， ，【點(diǎn)睛】本題考查了向量 坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)乘運(yùn)算和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及直角 三角形的問題，考查了學(xué)生的分析解

9、決問題的能力，屬于難題二、填空題（每題 5 分，滿分 20分，將答案填在答題紙上）13. 孫子算經(jīng)是我國古代內(nèi)容極其豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有圓窖周五丈 四尺，深一丈八尺，問受粟幾何？”其意思為：“有圓柱形容器，底面圓周長(zhǎng)五丈四尺，高 一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈=10 尺， 1斛=1.62 立方尺，圓周率 ），則該圓柱形容器能放米 斛【答案】【解析】, 圓柱形容器體積為, 所以此容器能裝 斛米14. 二項(xiàng)式 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 【答案】 60【解析】【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令 x 的冪指數(shù)等于 0，求得 r 的值，即可求得展開式中的 常數(shù)項(xiàng)的值【詳解

10、】解： 的展開式的通項(xiàng)公式為 ，令 ，求得 ，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為 故答案為： 60 【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的 系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題15. 已知答案】解析】 【分析】 利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的倍角公式以及換元法進(jìn)行求解即可 . 【詳解】解：，則，且，則可得故答案為：點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)和求值，利用兩角和差的正弦公式以及倍角公式進(jìn) 行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題16. 已知函數(shù) 的圖像與直線 恰有三個(gè)公共點(diǎn)， 這三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo) 從小到大分別為 ， ， ，則 【答案】 .【解析】【分析】由已知條件得到圖像，

11、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和三角函數(shù)進(jìn)行求解詳解】如圖所示，易知 ，則又直線與 相切于點(diǎn)則則故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，三角函數(shù)求值，考查化歸與轉(zhuǎn) 化思想，數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題目。三、解答題 （本大題共 7 小題，共 82.0 分）17. 在中， 分別是內(nèi)角 的對(duì)邊，且滿足 （ 1）求角 的值；（ 2）若， 邊上的中線 ，求 的面積【答案】 ；【解析】分析】由，根據(jù)正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，化簡(jiǎn)可得，由于 ，可求 ，進(jìn)而可求 的值； 由結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得，解得 的值，根據(jù)三角形面積公式即可得結(jié)果詳解】由正弦定理得：即， 從而 ，即： ， 又 中

12、， ， 故， 得.，得：由從而 或 舍 ，點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形面積公式在解三角形中 的應(yīng)用，屬于中檔題以三角形和平面向量為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦 定理為工具，對(duì)三角函數(shù)及解三角形進(jìn)行考查是近幾年高考考查的一類熱點(diǎn)問題，一般難度 不大，但綜合性較強(qiáng) . 解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，定要熟練掌握并靈活應(yīng)用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心18. 如圖，四棱錐 中， 底面 ，底面 為直角梯形， ，（ 2）若截面與底面 所成銳二面角為 ，求 的長(zhǎng)度【答案】（1）見證明；（2）4【解析】【分析】（ 1）取

13、的中點(diǎn) ，連接 ， ，易證四邊形 是平行四邊形， ， 平面；（2）分別以 ， ， 為 ， ， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) ，寫出平面的法向量為 ，平面的法向量 為 ， 由截面 與底面所成銳二面角為 ，解得【詳解】（ 1）證明：取 的中點(diǎn) ，連接 ， ，是 的中點(diǎn)， 且 ，底面 為直角梯形， ， ，且 ， 四邊形 是平行四邊形， ， 又 平面 ， 平面 ， 平面 .2）如圖，分別以， ， 為 ， ， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) 。則， ， ， ，取平面 的法向量為 .， ，設(shè)平面 的法向量為不妨取 ，則 ， ，即即.點(diǎn)睛】利用向量解決立體幾何問題時(shí)，首先要將幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題，通過建立坐標(biāo) 系利

14、用向量的坐標(biāo)進(jìn)行求解，利用向量計(jì)算二面角的大小先分別求出二面角的兩個(gè)半平面所 在平面的法向量，通過向量的夾角得到二面角的大小19. 每年七月份， 我國 地區(qū)有 25天左右的降雨時(shí)間， 如圖是 地區(qū) 鎮(zhèn) 2000-2020 年降雨量（單 位： ）的頻率分布直方圖，試用樣本頻率估計(jì)總體概率，解答下列問題：（ 1）假設(shè)每年的降雨天氣相互獨(dú)立，求鎮(zhèn)未來三年里至少有兩年的降雨量不超過 的概率；（2）在 鎮(zhèn)承包了 20 畝土地種植水果的老李過去種植的甲品種水果， 平均每年的總利潤為 31.1 萬元而乙品種水果的畝產(chǎn)量 （ / 畝）與降雨量之間的關(guān)系如下面統(tǒng)計(jì)表所示，又知乙品 種水果的單位利潤為 （元 /

15、），請(qǐng)幫助老李排解憂愁，他來年應(yīng)該種植哪個(gè)品種 的水果可以使利潤 （萬元）的期望更大？（需說明理由） ；降雨量畝產(chǎn)量500700600400答案】（ 1） ；（ 2）乙品種楊梅的總利潤較大解析】分析】1）由頻率分布直方圖中矩形面積和為1，計(jì)算第四組的頻率，再求出第三組矩形面積的一半，求和即可求出對(duì)應(yīng)的概率值，再利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可得結(jié)果；（ 2）根據(jù)直方圖求隨機(jī)變量的概率，可得隨機(jī)變量 的分布列，求出乙品種楊梅的總利潤的數(shù)學(xué)期望，與過去 種植的甲品種楊梅平均每年的總利潤為 28 萬元比較得出結(jié)論和建議 .【詳解】（1）頻率分布直方圖中第四組的頻率為 該地區(qū)在梅雨季節(jié)的降雨量超過 的概率為

16、所以該地區(qū)未來三年里至少有兩年梅雨季節(jié)的降雨量超過 的概率為（或 . ）2）據(jù)題意，總利潤為元，其中 .所以隨機(jī)變量 （萬元）的分布列如下表：273531.222.40.20.40.30.1故總利潤 （萬元） 期望（萬元） 因?yàn)?，所以老李應(yīng)該種植乙品種楊梅可使總利潤 （萬元）的期望更大 .點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用以及離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，屬于中檔題 . 直方圖的主要性質(zhì)有： （1）直方的乘積為該組數(shù)據(jù)的頻率； （ 3）可得平均值； （ 4）直方圖左右20. 已知橢圓為1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2）過橢圓 右焦點(diǎn) 的直線定值？若存在，求出點(diǎn) 的坐標(biāo)答案】解析】每個(gè)矩拋物圓交于

17、兩點(diǎn)得點(diǎn)，1）（ 2）各矩形的面積之和為；（ 2）組距與直方圖縱坐標(biāo)的右焦點(diǎn)示且橢圓的離心率，使得 為，在 軸上是否存在點(diǎn)理由中點(diǎn)橫坐標(biāo)與該矩縱坐標(biāo)、組距相乘后求和的焦點(diǎn)重分析】（ 1）先求出拋物線的焦點(diǎn)， 從而得到橢圓的，再結(jié)合離心率以及 即可求出的值，從而求出橢圓方程 .（ 2）先假設(shè)存在，然后設(shè)出直線的方程 ，結(jié)合韋達(dá)定理以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，利用 與 來表示 ，要使得其為定值，則與 無關(guān)，即可求出 的值，并求 出 的值，再驗(yàn)證當(dāng)直線斜率為 0 也符合即可 .【詳解】解： （）拋物線 的焦點(diǎn)為 ， ， ，又因?yàn)闄E圓的離心率為即，則，因此，橢圓的方程為（）假設(shè)存在點(diǎn) ，使得 為定值當(dāng)直

18、線 的斜率不為零時(shí)，可設(shè)直線 的方程為 ，聯(lián)立 ，得，設(shè) 、 ，由韋達(dá)定理可得、，要使上式為定值，即與 無關(guān)，應(yīng)有 ，解得，此時(shí)，. 對(duì)于定值（ 參數(shù)可能是直當(dāng)直線 的斜率為零時(shí)，不妨設(shè) 、 ，當(dāng)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 時(shí)，使得綜上所述，存在點(diǎn)點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓方程的求解，以及定值問題的探究與證明，屬于難題 問題，主要是證明求解的一個(gè)量與參數(shù)無關(guān)，解這類問題時(shí)要會(huì)合理選擇參數(shù) 線的斜率、截距 , 也可能是動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)等 ） ，使用參數(shù)表達(dá)其中變化的量，再使用這些變化的 量表達(dá)需要求解的解題目標(biāo)，再證明這個(gè)要求解的量與參數(shù)無關(guān)，從而證得該為定值21. 已知函數(shù)（ 1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（ 2）若對(duì)于任

19、意的，當(dāng) 時(shí)，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍【答案】（ 1）在 遞增，在 遞減，在遞增（ 2）【解析】【分析】（ 1）先求函數(shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)與 的大小關(guān)系確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，再結(jié)合 的符號(hào)討論函數(shù) 的單調(diào)性 .（ 2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性， 求出 ，則問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意 恒成立問題，再求出 ， 的最大值，即可求 出 的范圍 .【詳解】解： （ 1）的定義域是 ， 當(dāng) 時(shí)，令 ，解得： ，或 ，令 ，解得： ，故 在 遞增，在 遞減，在 遞增， 當(dāng) 時(shí)， ， 在 遞增， 當(dāng) 時(shí)，令 ，解得： ，或 ，令 ，解得： ；故 在遞增，在 遞減，在遞增；（ 2）由（ 1）知 時(shí)，在

20、 遞增，故 在 遞增， 故， 要使不等式 在 恒成立， 只需，記，則，故 在 遞增， 的最大值是 ， 故，故 的范圍是 【點(diǎn)睛】主要考查了含參函數(shù)單調(diào)性的討論，以及恒成立問題，屬于難題 . 對(duì)于恒成立問題， 關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題 . 而含參函數(shù)單調(diào)性的討論的步驟： （1）確定函數(shù)的定義域； （2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（ 3）根據(jù)定義域以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)確定分類標(biāo)準(zhǔn)；（ 4）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)討論函數(shù)的單調(diào)性 .為參數(shù)），點(diǎn) 的極坐標(biāo)為22. 已知極坐標(biāo)的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) 處，極軸與 軸的正半軸重合，且長(zhǎng)度單位相 同圓 的參數(shù)方程為1）化圓參數(shù)方程為極坐標(biāo)方程；2）若點(diǎn) 是圓 上的任意一點(diǎn)，求