1、2020 年內蒙古包頭市高考數學二模試卷（文科）一、選擇題（本大題共 12小題，共 60.0 分）1. 設集合 則A. B.C. D.2. 復數的虛部為A. 2B. 2iC. 1D. i3. 對兩個變量 x與 y進行線性相關性和回歸效果分析， 得到一組樣本數據： ， ， ， ，則下列說法不正確的是A. 殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好B. 由樣本數據利用最小二乘法得到的回歸方程表示的直線必過樣本點的中心C. 若變量 x 與 y 之間的相關系數，則變量 x 與 y 之間具有很強的線性相關性D. 用相關指數 來刻畫回歸效果， 越小，說明模型的擬合效果越好4. 已知角 滿足 ，則A. B. C.

2、 D.5. 對數的發明是數學史上的重大事件它可以改進數字的計算方法、提高計算速度和準確度，已知 ，3，5，7， ，若從集合 M，N 中各任取一個數 x，y，則為整數的概率為A. B. C. D.6. 已知函數 ，則A. 在單調遞增B. 在單調遞減C. 的圖象關于直線對稱D. 的圖象關于點 對稱7. 甲、乙、丙三名學生參加數學競賽，他們獲得一、二、三等獎各一人，對于他們分別獲得幾等 獎其他學生作了如下的猜測：猜測 1：甲獲得二等獎，丙獲得三等獎；猜測 2：甲獲得三等獎，乙獲得二等獎；猜測 3：甲獲得一等獎，丙獲得二等獎；結果，學生們的三種猜測各對了一半，則甲、乙、丙所獲得的獎項分別是8.A.一等

3、、二等、一等函數 在 的極值點個數為A. 4B. 3C. 2D. 19. 某多面體的三視圖如右圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰 直角三角形組成，正方形的邊長為 2，俯視圖為等腰直角三角形，該多 面體的體積為A.B.D. 1210.已知雙曲線 C：的頂點分別為 ， ，以線段 為直徑的圓與直線 相切，且 C 的焦距為 4，則 C 的方程為A. B. C. D.11. 已知函數 是定義在 R 上連續的奇函數，且當 時 ，則函數 的零點個數是A. 0 B. 1 C. 2 D. 312.已知橢圓C：的左右焦點分別為， ，過 的直線與 C 交于 A， B兩點，其中 A為橢圓與 y軸正半軸的交點，

4、若 ，則 C 的離心率為A. B. C. D.、填空題（本大題共 4 小題，共 20.0分）13. 已知 ， ，則 14. 已知圓柱的高為，它的兩個底面半徑為 r 的圓周在直徑為 4 的同一個球的球面上，則該圓柱的側面積為 15. 在銳角 中，角 A，B ，C 的對邊分別為 a， b，c，已知，且 ，則 的面積為 16. 已知函數 ，關于函數 有下列結論： ，；函數 的圖象是中心對稱圖形，且對稱中心是 ； 若 是 的極大值點，則 在區間 單調遞減； 若 是 的極小值點，且 ，則 有且僅有一個零點其中正確的結論有 填寫出所有正確結論的序號 三、解答題（本大題共 7 小題，共 82.0分）17.

5、在 ，且 ， ，且 ， ， 且 這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的 b 存在，求出 b 和數列 的通項公式與前 n 項和；若 b 不存在，請說明理由設 為各項均為正數的數列 的前 n 項和， 滿足 ，是否存在 b，使得數列 成為等差數列？ 注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分18. 如圖，在 中， ， ，點 P為 AB 的中點，交 AC于點 D，現將沿 PD 翻折至，使得平面平面 PBCD 若 Q 為線段的中點，求證： 平面 ；若 E 是線段 的中點，求四棱錐 的體積19. 2020 年寒假是特殊的寒假因為疫情全體學生只能在家進行網上在線學習，為研究學生網上學 習的情

6、況， 某校社團對男女各 10名學生進行了網上在線學習的問卷調查， 每名學生給出評分 滿 分 100 分 ，得到如圖所示的莖葉圖附：根據莖葉圖判斷男生組和女生組哪個組對網課的評價更高？并說明理由；如圖是按該 20名學生的評分繪制的頻率分布直方圖， 求 a的值并估計這 20名學生評分的平 均值 同一組中的數據用該組區間中點值作為代表 ；求該 20 名學生評分的中位數 m，并將評分超過 m 和不超過 m 的學生數填入下面的列聯表：超過 m不超過 m男生女生根據列聯表，能否有 的把握認為男生和女生的評分有差異？20. 已知拋物線 C：過點 求拋物線 C 的方程，并求其焦點坐標與準線方程；直線 l與拋物

7、線 C交于不同的兩點 E， 過點 E作x軸的垂線分別與直線 OD，OF交于 A， B 兩點，其中 O 為坐標原點若 A 為線段 BE 的中點，求證：直線 l 恒過定點21. 已知函數 若 ，求函數 的單調區間；若方程 在區間 內有解，求實數 k 的取值范圍22. 在直角坐標系 xOy 中，曲線 的參數方程為 為參數 在以坐標原點為極點，x 軸正半軸為極軸的極坐標系中曲線： ，其中 說明 是哪種曲線，并將 的方程化為極坐標方程； 設曲線 和曲線 交于 A，B 兩點，求，證明：23. 已知 x，y，z 為正實數，且；答案與解析1. 答案： A解析： 解： ， ，故選： A可以求出集合 A，然后進行

8、補集的運算即可本題考查了描述法、區間的定義，補集的運算，考查了計算能力，屬于基礎題2. 答案： C解析： 解：復數 ，故復數 z 的虛部為 1，故選： C 利用兩個復數代數形式的乘除法法則化簡復數z，從而求得它的虛部本題主要考查復數的基本概念，兩個復數代數形式的乘除法，虛數單位 i 的冪運算性質，屬于基礎 題3. 答案： D解析： 解：對兩個變量 x與 y進行線性相關性和回歸效果分析，得到一組樣本數據 殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，故A 正確；由樣本數據利用最小二乘法得到的回歸方程表示的直線必過樣本點的中心 ，故 B 正確； 若變量 x與 y之間的相關系數，則變量 x與 y之間具有很強

9、的線性相關性， 故 C正確；用相關指數 來刻畫回歸效果， 越大，說明模型的擬合效果，故 D 錯誤故選： D由殘差平方和大小與擬合效果的關系判斷A；由線性回歸方程恒過樣本點的中心判斷B；由線性相關系數的范圍與線性相關的強弱判斷C；由相關指數的大小與擬合效果間的關系判斷 D 本題主要考查回歸方程、統計案例等基本知識，考查統計基本思想，是基礎題4. 答案： D解析： 解：將 代入 ，解得 ， 根據二倍角公式知 故選： D將 代入 ，求出 ，再由二倍角公式計算得答案 本題考查了同角三角函數基本關系式，考查了二倍角公式的應用，是基礎題5. 答案： C解析： 解： ，3， 5，7， ，從集合 M，N 中各

10、任取一個數 x，y， 基本事件總數 ， 為整數包含的基本事件有 ， ， ， ，共 6 個，為整數的概率為 故選： C基本事件總數 ，利用列舉法求出 為整數包含的基本事件有 6 個，由此能求出 為整數的概率本題考查概率的求法，考查列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題6. 答案： C解析： 解：根據題意，函數 ，有 ，解可得 ， 即函數的定義域為 ；，設 ，則 ，在區間 上， 為增函數， 為增函數， 故 在 上為增函數，在區間 上， 為減函數， 為增函數，故 在 上為減函數，故 AB 錯誤； 函數 ，其定義域為 ，故函數 的圖象關于直線 對稱， C 正確， D 錯誤；故選： C 根據題意，

11、求出函數的定義域，對函數的解析式變形可得 ，設，則 ，由復合函數的單調性判斷方法分析 的單調性，可得 AB 錯誤， 進而求出 的解析式， 分析可得函數 的圖象關于直線 對稱，可得 C 正確，D錯誤； 即可得答案本題考查函數的單調性、對稱性的判斷，注意分析函數的對稱性，屬于基礎題7. 答案： A解析： 解：根據三個猜測各猜對一半，不妨設甲獲二等獎是真，則由猜測 1，丙獲一等或二等，由猜測 2，乙獲二等獎，由猜測 3，丙獲 等獎，則與甲獲二等獎矛盾，故丙獲得三等獎，代入猜測 3得甲獲一等獎，進而代入猜測 2 得乙獲二等獎， 綜上甲、乙、丙所獲得的獎項分別是一等、二等、三等故選： A 由學生們的三種

12、猜測各對了一半，先假設猜測 1 中甲獲二等獎是真，進而推得丙獲二等獎，矛盾， 故丙獲得三等獎是真，依次可推出甲和乙的獎項本題考查學生合情推理的能力，屬于基礎題8. 答案： B解析： 解：令 ，解得 ， 由于 ，當時，當時，直接利用正弦型函數的性質的應用和整體思想的應用求出結果本題考查的知識要點：正弦型函數的性質的應用， 主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型9.答案： A當 時，故選： B解析： 解：由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，下半部分為直三棱柱，上半部分為三棱錐， 三棱錐的底面為等腰直角三角形，直角邊長為2，高為 2該幾何體的體積 故選： A 由三視圖還原原

13、幾何體，可知該幾何體為組合體，下半部分為直三棱柱，上半部分為三棱錐，三棱 錐的底面為等腰直角三角形，直角邊長為2，高為 再由棱柱與棱錐的體積公式求解本題考查由三視圖求面積、體積，關鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題10.答案： A解析： 解：雙曲線 C：的實軸的兩端點分別為 ， ，且以線段 為直徑的圓的圓心 ，以線段 為直徑的圓與直線 相切， 圓心到直線的距離為 d，則，則 又，C 的焦距為 4，所以，解得， 所以雙曲線方程為： 故選： A求出圓心坐標，利用點到直線的距離公式列出方程推出a，b 關系，然后結合雙曲線的焦距，求解雙曲線的方程即可 本題考查雙曲線的簡單性質以及直線與圓的位置關系的應

14、用，考查計算能力 11.答案： B解析： 解： ，函數 是定義在 R 上連續的奇函數， 則函數 ，其定義域為 R，則 ，則為 R 上連續的奇函數，則 ，又由當 時， ，則有 ，即函數 為 上的增函數， 又由 為 R 上連續的奇函數，且 ，則為 R 上的增函數，故函數只有 1 個零點，故選： B分析可得 為 R上連續的奇函數， 且在 R上為增函數， 說明函數只有 1個零點， 可得選項本題考查函數的零點與方程的關系以及函數的奇偶性與單調性的判斷以及應用，涉及利用導數分析 函數的單調性，屬于中檔題12.答案： D解析： 解：橢圓 C：的左右焦點分別為 ， ，過 的直線與 C 交于 A，B 兩點，其中

15、 A為橢圓與 y 軸正半軸的交點，可知 ， 若，則 ，代入橢圓方程可得： ，解得 故選： D 利用已知條件求出 B 是坐標，代入橢圓方程求解橢圓的離心率即可 本題考查橢圓的簡單性質的應用，橢圓離心率的求法，是基本知識的考查 13.答案：解析： 解：因為，；故答案為： 先根據其坐標求出 的長度，再代入其數量積即可求解結論 本題主要考查平面向量數量積的應用，屬于基礎題目14.答案：解析： 解：如圖所示，圓柱的高為 ，球的直徑為 ， 所以圓柱的底面半徑 r 滿足 ， 解得 ；所以該圓柱的側面積為故答案為： 根據題意畫出圖形，結合圖形求出圓柱的底面半徑和側面積 本題考查了圓柱與球的結構特征應用問題，是

16、基礎題15.答案：解析： 解：因為 ，所以 ，由正弦定理可得，由題意可知 A，B 為銳角， ，因為 ，所以 ，由 可得， ， ，則 的面積 故答案為：由已知結合三角形的內角和定理及誘導公式，正弦定理進行化簡可求 A，結合已知 B 可求 C，然后 結合直角三角形的面積公式可求本題主要考查了誘導公式，和差角公式，正弦定理及三角形的面積公式在求解三角形中的應用，屬 于中檔試題16.答案：解析： 解：對于函數 ，當 時， ， 當 時， ， ， ，故 正確；， 不恒成立，的圖象不關于 中心對稱，故 錯誤；取 ， ， ， ， ，由 ，得 或 ，由 ，得是函數的極大值點，但 在區間 上不是單調遞減，故 錯誤

17、；，當 時， 恒成立， 在 R 上單調遞增，無極小值； 當 時， 有兩解，不妨設為 ，則當 時， ，當 時， ，在 ， 上單調遞增，在 上單調遞減，則 是函數的極小值點，又 ，當 時， ，當 時， 且極小值大于 0，可得函數的圖象的大致形狀如圖：由圖可知，有且僅有一個零點，故正確正確的結論有故答案為： 由 時， ， 時， ，可得 ， ，判斷 正 確；由 不恒成立判斷 錯誤；舉例說明 錯誤；利用導數分析函數 的 單調性，再由極小值大于 0 畫出圖形的大致形狀，得到函數的零點個數判斷本題考查命題的真假判斷與應用，考查函數的對稱性，訓練了利用導數研究函數的單調性與極值， 是中檔題17. 答案： 解：

18、選擇 ：， ，兩式相減，整理得 ，又 ， ， 由 得 ， 把 代入上式得 ，當 時，由 及 ，得 ，所以 ， ，滿足 ， 可知數列 是以 3為首項，以 2 為公差的等差數列，故存在 ，且數列 的通項公式為，前 n 項和 選擇 ：， ，兩式相減整理得， ，由 得 ，即 ， ， 關于 的一元二次方程 至少存在一個正實數解 得充要條件是 ，解得 ，這與已知條件 矛盾，所以滿足條件的 b 不存在 選擇 ：， ，兩式相減，整理得 ， ，故 ，又已知 ， ， ，由得 ，把 代入上式得 ，當 時，由及 ，得 ，所以 ， ，滿足 ，可知數列是以 3 為首項，以 2為公差的等差數列，故存在，且數列 的通項公式為

19、，前 n 項和解析： 選擇 ：由 得 ，兩式相減，整理得 ，進一步說明 數列 是等差數列，論證 b存在，求出 b 和數列的通項公式與前 n項和選擇 ：由 得 ，兩式相減，整理得 ，進一步研究 數列 中的項，論證 b 不存在即可選擇 ：由 得 ，兩式相減，整理得 ，進一步說明 數列 是等差數列，論證 b存在，求出 b 和數列的通項公式與前 n項和本題主要考查數列通項公式及前 n 項和的求法，屬于基礎題18. 答案： 解： 證明：在 中， ， ，將 沿 PD 翻折至 ， ，又 ， 平面 ， 平面 ， ， 在 中， ， Q 為的中點， 平面解： 在 中， ， ， 沿 PD 翻折到 ， 且平面 平面

20、PBCD ， 由 有 ，得平面 PBCD ，設點 E 到平面 PBCD 的距離為 h，在 中， 是 的中點， ，在四邊形 PBCD 中， ， ，四棱錐 的體積：解析： 推導出 ， ，從而 ，將 沿 PD 翻折至 ，得 ， ，進而 平面 ， ，推導出 ，由此能證明 平面 點 E 到平面 PBCD 的距離 ， ，由此能求出四 棱錐 的體積本題考查線面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系 等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題19. 答案： 解： 男生對網課的評價更高，理由如下； 由莖葉圖可知，評價分數不低于 70分的男生比女生多 2 人 或 ， 因此男生對網課

21、的評價更高；由莖葉圖知，男生評分的中位數為 分，女生評分的中位數是 72 分， 因此男生對網課的評價更高；根據莖葉圖，計算男生評分的平均數是 78 分，女生評分的平均數是 ， 因此男生對網課的評價更高；由莖葉圖可知，這 20 名學生的評分在 的學生有 9 人，則 ； 所以估計這 20 名學生評分的平均值為：；由莖葉圖知該 20 名學生評分的中位數為，將評分超過 m 和不超過 m 的學生數填入下面的列聯表：超過 m不超過 m男生64女生46根據表中數據，計算 ，所以沒有 的把握認為男生和女生的評分有差異解析： 男生對網課的評價更高，可以從評價分數不低于 70 分的男生比女生多，或男生評分的中 位

22、數高于女生評分的中位數，或男生評分的平均數高于女生評分的平均數，判斷即可；先求出 a，再計算這 20 名學生評分的平均值； 求出中位數，再填寫列聯表，計算 ，對照臨界值得出結論本題考查了頻率分布直方圖和莖葉圖的應用問題，也列聯表與獨立性檢驗問題，是中檔題20. 答案： 解： 拋物線 C：過點 ，可得 ，即 ，則拋物線的方程為，焦點坐標為，準線方程為：證明：由題意可得直線 l 的斜率存在且不為 0，設直線 l 的方程為 ，直線 l 與拋物線的交點為 ， ，由，由題意可得直線由題意可得直線 OD 的方程為 ，即有 ， 由題意可得直線 OF 的方程為，所以 ， 由 A 為線段 BE 的中點，可得 將

23、 ， ，代入上式，化簡可得 ，將 ， ，代入上式，可得 ， 所以直線 l 的方程為 即 ， 故直線 l 恒過定點 解析： 將 D 的坐標代入拋物線方程，解方程可得p，進而得到拋物線的方程和焦點坐標、準線方程；設直線 l 的方程為 ，直線 l 與拋物線的交點為 ， ，聯立拋物 線的方程，消去 x，運用韋達定理，求得直線 OD，OF 的方程，可得 A，B的坐標，再由中點坐標公 式和點 E，F 滿足拋物線的方程，化簡整理，代入韋達定理，可得，結合直線方程可得所求定點坐標 本題考查拋物線的方程和性質，考查直線和拋物線的位置關系，直線恒過定點的求法，考查方程思 想和化簡運算能力和推理能力，屬于中檔題21.