1、第七節第七節機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、一、 弧微分弧微分 二、二、 曲率及其計算公式曲率及其計算公式 三、三、 曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑 平面曲線的曲率 第四四章 一、一、 弧微分弧微分)(xfy 設設在在(a , b)內有連續導數內有連續導數, 其圖形為其圖形為 AB,弧長弧長)(xsAMsxsxMM xMMMMMMxyx22)()(MMMM2)(1xyxsxsx0lim)(2)(1y xAB)(xfy abxoyxMxxMy1lim0 MMMMx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 MMMM則弧長微分公式為則弧長微分公式為tyxsdd22 )(

2、xs2)(1yxysd)(1d2或或22)(d)(ddyxsxxdxdxoyxMydT幾何意義幾何意義:sdTM;cosddsxsinddsy若曲線由參數方程表示若曲線由參數方程表示:)()(tyytxx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 二、曲率及其計算公式二、曲率及其計算公式曲率是描述曲線局部性質（彎曲程度）的量曲率是描述曲線局部性質（彎曲程度）的量1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段彎曲程度弧段彎曲程度越大轉角越大越大轉角越大轉角相同弧段越轉角相同弧段越短彎曲程度越大短彎曲程度越大1 )在光滑弧上自點在光滑弧上自點 M 開始取弧段開始取弧段

3、, 其長為其長為,s對應切線對應切線,定義定義弧段弧段 上的平均曲率上的平均曲率ssKMMs點點 M 處的處的曲率曲率sKs0limsdd注意注意: 直線上任意點處的曲率為直線上任意點處的曲率為 0 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 轉角為轉角為例例1. 求半徑為求半徑為R 的圓上任意點處的曲率的圓上任意點處的曲率 .解解: 如圖所示如圖所示 ,RssKs0limR1可見可見: R 越小越小, 則則K 越大越大 , 圓弧彎曲得越厲害圓弧彎曲得越厲害 ;R 越大越大, 則則K 越小越小 , 圓弧彎曲得越小圓弧彎曲得越小 .sRMM機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁

4、返回返回 結束結束 有曲率近似計算公式有曲率近似計算公式,1時當 yytan)22(設y arctan得xyd)arctan(d xyyd12 xysd1d2故曲率計算公式為故曲率計算公式為sKdd23)1(2yyK yK 又又曲率曲率K 的計算公式的計算公式)(xfy 二階可導二階可導,設曲線弧設曲線弧則由則由機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 說明說明: (1) 若曲線由參數方程若曲線由參數方程)()(tyytxx給出給出, 則則23)1(2yyK (2) 若曲線方程為若曲線方程為, )(yx則則23)1(2xxK 23)(22yxyxyxK 機動機動 目錄目錄 上

5、頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 例例2. 我國鐵路常用立方拋物線我國鐵路常用立方拋物線361xlRy 作緩和曲線作緩和曲線,處的曲率處的曲率.)6,(, )0,0(2RllBO點擊圖片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停說明說明:鐵路轉彎時為保證行車鐵路轉彎時為保證行車平穩安全平穩安全,求此緩和曲線在其兩個端點求此緩和曲線在其兩個端點機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 且且 l R. 其中其中R是圓弧彎道的半徑是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線的長度是緩和曲線的長度, 離心力必須離心力必須連續變化連續變化 , 因此鐵道的因此鐵道的曲率應連續變化曲率應連續變化 .

6、例例2. 我國鐵路常用立方拋物線我國鐵路常用立方拋物線361xlRy 作緩和曲線作緩和曲線,且且 l R. 處的曲率處的曲率.)6,(, )0,0(2RllBO其中其中R是圓弧彎道的半徑是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線的長度是緩和曲線的長度, 求此緩和曲線在其兩個端點求此緩和曲線在其兩個端點機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 解解:,0時當lxRl20 xlRy1 yK xlR1顯然顯然;00 xKRKlx1221xlRy RByox361xlRy l例例3. 求橢圓求橢圓tbytaxsincos)20(t在何處曲率最大在何處曲率最大?解解:故曲率為故曲率為 ba23

7、)cossin(2222tbta;sintax ;costby taxcos tbysin 23)(22yxyxyxK K 最大最大tbtatf2222cossin)(最小最小機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 ttbttatfsincos2cossin2)(22 tba2sin)(22 求駐點求駐點: ,0)( tf令,0t得,2,232,設設tbatf2sin)()(22t)(tf022322b2b2a2b2a從而從而 K 取最大值取最大值 .這說明橢圓在點這說明橢圓在點,0ab 時則2,0t)0,(a處曲率處曲率機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結

8、束結束 計算駐點處的函數值計算駐點處的函數值:yxbaba,)( 取最小值tf最大最大.三、三、 曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑Tyxo),(DR),(yxMC設設 M 為曲線為曲線 C 上任一點上任一點 , 在點在點在曲線在曲線KRDM1把以把以 D 為中心為中心, R 為半徑的圓叫做曲線在點為半徑的圓叫做曲線在點 M 處的處的曲率圓曲率圓 ( 密切圓密切圓 ) , R 叫做叫做曲率半徑曲率半徑, D 叫做叫做曲率中心曲率中心.在點在點M 處曲率圓與曲線有下列密切關系處曲率圓與曲線有下列密切關系:(1) 有公切線有公切線;(2) 凹向一致凹向一致;(3) 曲率相同曲率相同 .M 處作曲線的

9、切線和法線處作曲線的切線和法線,的凹向一側法線上取點的凹向一側法線上取點 D 使使機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 1.曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數曲率互為倒數.1,1RkkR 即即注意注意: :2.曲線上一點處的曲率半徑越大曲線上一點處的曲率半徑越大,曲線在該點曲線在該點處的曲率越小處的曲率越小(曲線越平坦曲線越平坦);曲率半徑越小曲率半徑越小,曲曲率越大率越大(曲線越彎曲曲線越彎曲).3.曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附近曲線弧近曲線弧(稱為曲線在該點附近的二次

10、近似稱為曲線在該點附近的二次近似).設曲線方程為設曲線方程為, )(xfy 且且,0 y求曲線上點求曲線上點M 處的處的曲率半徑曲率半徑 曲率半徑公式為曲率半徑公式為KR1 23)1 (2yy TCyxo),(DR),(yxM例例4. 設一工件內表面的截痕為一橢圓設一工件內表面的截痕為一橢圓, 現要用砂輪現要用砂輪磨磨削其內表面削其內表面 , 問選擇多大的砂輪比較合適問選擇多大的砂輪比較合適?解解: 設橢圓方程為設橢圓方程為tbytaxsincos),20(abx由例由例3可知可知, 橢圓在橢圓在)0,( aoyx處曲率最大處曲率最大 ,即曲率半徑最小即曲率半徑最小, 且為且為 R23)cossin(2222tbtaba0tab2顯然顯然, 砂輪半徑不超過砂輪半徑不超過ab2時時, 才不會產生過量磨損才不會產生過量磨損 ,或有的地方磨不到的問題或有的地方磨不到的問題.ab例例3 3 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 內容小結內容小結1. 弧長微分弧長微分xysd1d2或或22)(d)(ddyxs2. 曲率公式曲率公式sKdd23)1 (2yy 3. 曲率圓曲率圓曲率半徑曲率半徑KR1yy 23)1 (2思考與練習思考與練習1. 曲線在一點處的曲率圓與曲線有何密切關系曲線在一點處的曲率圓與曲線有何密切關系?答答: 有公切線有公切線 ;凹向一致凹向一致 ;