1、22. 1 元二次方程（1） 學習目標： 了解一元二次方程的概念；一般式 ax2+bx+c=0 （az 0）及其派生的概念；？應用一元 次方程概念解決一些簡單題目. 1 通過設置問題，建立數學模型， ？模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義. 2元二次方程的一般形式及其有關概念. 3.解決一些概念性的題目. 4通過生活學習數學，并用數學解決生活中的問題來激發學生的學習熱情. 重難點： 重點：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關概念并用這些概念解決 問題. 難點：通過提出問題，建立一元二次方程的數學模型， ？再由一元一次方程的概念遷移 到一元二次方程的概念. 活動 1 :閱讀教材

2、第 30 至 32 頁，并完成以下內容。 問題 1 要設計一座 2m 高的人體雕像，使雕像的上部（腰以上）與 下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，雕像 的下部應設計為多高？ 分析：設雕像下部高 x m，則上部高 _得方程 整理得 _ 問題 2 如圖，有一塊長方形鐵皮，長 100cm,寬 50cm,在它的四 角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一 個無蓋方盒。如果要制作的無蓋方盒的底面積為 3600c那么鐵皮 各角應切去多大的正方形？ x 分析：設切去的正方形的邊長為 x cm，則盒底 的長為 _ 寬為 _ . 得方程 整理得 _ 問題 3 要組織一次排

3、球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場。 根據場地和時間等條件，賽程計劃安排 7 天，每天安排 4 場比賽，比 賽組織者應邀請多少個隊參賽？ 分析：全部比賽的場數為 _ 設應邀請 x 個隊參賽，每個隊要與其他 _ 隊各賽 1 場，所以 全部比賽共 _ 。列方程 化簡整理得 _ 請口答下面問題： （1） _ 方程中未知數的個數各是多少？ _ （2） _ 它們最高次數分別是幾次？ 方程的共同特點是： 這些方程的兩邊都是 _ ，只含有 _ 知數（一元），并且未知數的最高次數是 （二次）的 方程. 1. _ 一元二次方程： _ 2. 一元二次方程的 一般形式: _ 一般地，任何一個關于 x 的一元二

4、次方程，？經過整理，？都能化成如 下形式 ax2+bx+c=0 （az 0）.這種形式叫做一元二次方程的 一般形 式.其中ax2是 _ , _ 二次項系數；bx 是 _ _ 一次項系數； _ 是常數項。 （注意：二次項系數、一次項系數、常 數項都要包含它前面的符號。二次項系數 _ a = 0是一個重要條件，不能漏掉。 ） 3. 例將方程（8-2x） （ 5-2x） =18 化成一元二次方程的一般形式， 并寫出其中的二次項系數、一次項系數及常數項. 活動 2 知識運用課堂訓練 例 1：判斷下列方程是否為一元二次方程: (1)1 2=o (2)2(x 2-1)=3y 2 . . 1 2 _ (3)

5、 2 x- 3x 1=0 (4) 廠一 =0 x x 2 2 2 (5) ( x 3) = ( x - 3) (6)9x =5-4x 1. 將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項 系數、及常數項： 5x2-1=4x 4X2=81 4x(x+2)=25 (3x-2)(x+1)=8x-3 2 根據下列問題， 列出關于 x 的方程， 并將其化成一元二次方程的一 般形式： 4 個完全相同的正方形的面積之和是 25，求正方形的邊長 x; 一個長方形的長比寬多 2,面積是 100，求長方形的長 x； 把長為 1 的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積，等于較長 一段的長的平方，求較短一

6、段的長 X。 3. 求證：關于 x 的方程（m2-8m+17） x2+2mx+仁 0，不論 m 取何值, 該方程都是一元二次方程. 活動 3 歸納內化 一元二次方程：1.概念 2.般形式 ax2+bx+c=0 (az 0) 活動 4:課堂檢測 1 在下列方程中，一元二次方程有 _ , 3X2+7=0 ax2+bx+c=0 3( x-2) (x+5) =x2-1 3x2- =0 X 2. 方程2X2=3( X-6)化為一般式后二次項系數、？一次項系數和常數 項分別是().A. 2, 3, -6 B. 2,-3, 18 C. 2,-3, 6 D. 2, 3, 6 3. px2-3x+p2-q=0

7、是關于X的一元二次方程，則( ). A . p=1 B . p0 C . pH 0 D . p 為任意實數 4. _ 方程3X2-3=2X+1的二次項系數為 _ , 一次項系數為 _ , 常數項為 _ . 5. 將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項 系數、及常數項： 3X2+仁 6x 4X2+5X=81 x(x+5)=0 (2X-2)(X-1)=0 X(X+5)=5X-10 (3X-2)(X+1)=X(2X-1) 活動 5:拓展延伸 1 .當 a_ 時關于X的方程 a (X2+X) =75x2- (X+1 )是一元二 次方程. 2 2. 若關于X的方程(m+3 xm門+ (

8、m-5) X+5=0是一元二次方程，試 求 m 的值，？并計算這個方程的各項系數之和. 3. 關于X的方程(m2-m) xm+1 +3X=6可能是一元二次方程嗎？為什 么？ 221 一元二次方程 （ 2） 學習目標： 1了解一元二次方程根的概念，會判定一個數是否是一個一元二次方程的根及利用它們解 決一些具體問題 2提出問題，根據問題列出方程，化為一元二次方程的一般形式，列式求解；由解給出根 的概念；再由根的概念判定一個數是否是根 同時應用以上的幾個知識點解決一些具體問題 重點、難點 重點： 判定一個數是否是方程的根； 難點： 由實際問題列出的一元二次方程解出根后還要考慮這些根是否確定是實際問題

9、的根 活動 1：閱讀教材 P32 33 , 完成課前預習 1：知識準備 一元二次方程的 一般形式 : _ 2：探究 問題：一個面積為 120m2的矩形苗圃，它的長比寬多 2m, ?苗圃的長 和寬各是多少？ 分析：設苗圃的寬為 xm,則長為 _ m. 根據題意，得 _ 整理,得 _ . 1） 下面哪些數是上述方程的根？ 0 , 1 , 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 2） _ 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 _ ,即使一元二次方 程等號左右兩邊相等的 _ 的值。 3） 將 x=-12 代入上面的方程，x=-12 是此方程的根嗎？ 4） _ 雖然上面的方程有兩個根 （

10、 和 ）但是苗圃的寬只有一 個答案, 即寬為 _ .因此,由實際問題列出方程并解得的根, 并 不一定是實際問題的根，還要考慮這些根是否確實是實際問題的解. 練習：1你能想出下列方程的根嗎？ （1） X2-36 = 0 （2） 4X2-9 = 0 2. 下面哪些數是方程X2+X-12=0的根？ -4，-3， -2， -1， ，1， 2， 3， 4。 活動 2:知識運用課堂訓練 例 1.下面哪些數是方程X2-X-6=的根？ -4，-3，-2， -1， ， 1， 2， 3， 4。 例 2你能用以前所學的知識求出下列方程的根嗎？ （1） X2 - 25 = （2） 3x2 = 1 （3） 9x2 -

11、16 = 隨堂訓練 1. 寫出下列方程的根： （1）9X2 = 1 （ 2）25X2-4 = （3）4X2 = 2 2 2. 下列各未知數的值是方程3X * x - 2 = 的解的是（ ） A.X=1 B.X=- 1 C.X=2 D. X=-2 2 3. 根據表格確定方程 x- 8x + 7.5= 的解的范圍 _ x 1.0 1.1 1.2 1.3 x2 - 8x + 7.5 0.5 -0.09 -0.66 -1.21 4. _ 已知方程3x2-9x+m = 0 的一個根是 1,則 m 的值是 _ 5試寫出方程x2- x=0的根，你能寫出幾個？ 活動 3:歸納內化 1. 使一元二次方程成立的

12、_ 勺值，叫做一元二次方程的 解，也叫做一元二次方程的 _ 。 2. 由實際問題列出方程并得出解后，還要考慮這些解 _ 活動 4:課堂檢測 1. 如果 x2-8 仁 0,那么 x2-8 仁 0 的兩個根分別是 xi= _ , X2二 _ . 2 2. 元二次方程x = x 的根是 _ ;方程 x （x-1） =2 的兩根為 3. 寫出一個以x = 2為根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次 項系數為1: _ 。 4. 已知方程 5x2+mx-6=0 的一個根是 x=3，則 m 的值為 _ . 2 2 5. 若關于 X 的一元二次方程（a）x a - 0的一個根是 0, a 的值是幾？你能得出

13、這個方程的其他根嗎？ 活動 5:拓展延伸 2 2 1. _ 若 X2x = 2，貝 y 2x4x+3= _ 。已知 m 是方程 2 2 x -X-6 = 0 的一個根，則代數式 m -m 二 _ 。 2. 如果 x=1 是方程 ax2+bx+3=0 的一個根，求（a-b） 2+4ab 的值. 3. 方程(x+1 ) 2+罷x ( x+1) =0，那么方程的根 x1= _ ; X2= _ . 2 4. 把2x(x-1)=x +x+2化成一般形式是 _ ,二次項是 _ 一次項系數是 _ 常數項是 _ 。 5. 已知 x=-1 是方程 ax2+bx+c=0 的根(0),貝匚但十c二(). b b A

14、 . 1 B. -1 C. 0 D. 2 6 方程 x (x-1) =2 的兩根為(). A . x1=0, x2=1 B. x1=0, x2=-1 C. x1 = 1 , x2=2 D. x1=-1 , x2=2 7 方程 ax (x-b) + (b-x) =0 的根是(). 1 1 2 2 A. X1=b, X2=a B. x1=b, X2二 C. x1=a, X2二 D. X1=a , X2=b a a 8請用以前所學的知識求出下列方程的根。 (x-2)=1 9(x-2) 2=1 x2+2x+ 仁 4 x2-6x+9=0 9如果 2 是方程 x2-c=0 的一個根，那么常數 c 是幾？你

15、能得出這個方 程的其他根嗎？ 10.如果關于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (0)中的二次項系數 與常數項之和等于一次項系數，求證：-1 必是該方程的一個根. 2221 直接開平方法解一元一次方程 學習目標 1、 理解一元二次方程“降次”轉化的數學思想，并能應用它解決一些具 體問題. 2、 提出問題，列出缺一次項的一元二次方程 ax2+c=0,根據平方根的意義解出 這個方程，然后知識遷移到解 a（ ex+f）2+c=0 型的一元二次方程. 重點：運用開平方法解形如（x+m） 2=n （n0）的方程；領會降次一一轉化的 數學思想. 難點：通過根據平方根的意義解形如 x2=n，知識遷移

16、到根據平方根的意義解形 如（x+m） 2=n （n0）的方程. 活動 1、 閱讀教材第 35 頁至第 37 頁的部分，完成以下問題 一桶某種油漆可刷的面積為 1500dm2,李林用這桶油漆恰好刷完 10 個同樣的正方 體形狀的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱長嗎？ 我們知道 x2=25,根據平方根的意義，直接開平方得 x= 5,如果 x 換元為 2t+1， 即（2t+1） 2=8，能否也用直接開平方的方法求解呢？ _ 計算：用直接開平方法解下列方程： (1) x2=8 2 (2) (2X-1)2=5 2 (3) X2+6X+9=2 2 (4) 4m -9=0 (5) x+4x+4=1 (6)

17、3(X-1)2-9=108 解一元二次方程的實質是：把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次 方程.？我們把這種思想稱為“降次轉化思想”. 歸納：如果方程能化成 _ 的形式，那么可得 _ 活動 2 知識運用 課堂訓練 例 i 用直接開平方法解下列方程： 2 （1）（3X+1）2=7 （2）y2+2y+仁 24 （3） 2 9n -24n+16=11 練習： （1）2X2-8=0 （2）9X2-5=3 （3） （X+6）2-9=0 （4）3（X-1）2-6=0 2 （5） X - 4X+4=5 2 （6） 9X +6X+1=4 （7）36X2-1=0 （8）4X2=81 2 （9）（X+5

18、）2=25 (10) x2+2x+1=4 活動 3 歸納內化 應用直接開平方法解形如 ,那么可得 達到降次轉化之目的. 活動 4 課堂檢測 、選擇題 1. 若 x2-4x+p= (x+q) 2,那么 p、q 的值分別是(). 2. A. p=4, q=2 B. p=4, q=-2 C. p=-4, q=2 方程 3X2+9=0的根為(). D. p=-4, q=-2 3. B. -3 用配方法解方程 X2- X+1=0 正確的解法是 3 2 8 12.2 9 3 3 A. 3 1 A.( X-) 2 c.( X- 3) 2= 5 , xi= 2 + 逍, 9 3 3 2 - 一 5 X2= D

19、 .無實數根 ). B. D. 2=i, ,原方程無解 5 1 X1= , X2=-_ 3 3 3 .解關于 x 的方程(x+m) 2=n . 4、某農場要建一個長方形的養雞場，雞場的一邊靠墻(墻長 用木欄圍成，木欄長 40m. (1) 雞場的面積能達到 180m2嗎？能達到 200m 嗎？ (2) 雞場的面積能達到 210m2嗎？ 5.在一次手工制作中，某同學準備了一根長 4 米的鐵絲，由于需要，現在要制 成一個矩形方框，并且要使面積盡可能大，你能幫助這名同學制成方框， ?并說 明你制作的理由嗎？4 若 8X2-16=0,貝 U x 的值是 5 如果方程 2 (X-3) 2=72，那么，這個

20、一元二次方程的兩根是 活動 5 拓展延伸 1.如果 a、b 為實數，滿足、3a 4 +b2-12b+36=0，那么 ab 的值是 2. 用直接開平方法解下列方(1)( 2-x) 2-81 = 0 2 (2) 2 (1-x) 2-18 = 0 (3)( 2-x) 2二 4 25m)， ?另三邊 22.2.2 配方法解一元二次方程(1) 學習目標 1、理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，并能熟練應用它解決一些具 體問題. 2、通過復習可直接化成 x2=p( p0或(mx+n) 2=p (p0的一元二次方程的 解法，引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟. 重點：講清“直接降次有困難”，如 X

21、2+6X-16=0 的一元二次方程的解題步驟. 難點：不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉化方法與 技巧. 活動 1、 閱讀教材第 38 頁至第 39 頁的部分，完成以下問題 解下列方程 2 2 2 (1) 3X2-仁 5 (2) 4 ( X-1) 2-9=0 (3) 4X2+16X+16=9 填空： (1) X2+6X+ _ = (X+ _ ) 2;(2) X2-X+_ (3) 4X2+4X+ _ = ( 2X+ _ ) 2.( 4) X2-X+ 問題：要使一塊長方形場地的長比寬多 6cm,并且面積為 16cm2,場地的長和寬 應各是多少？ 思考？ 1、以上解法中，為什么在方

22、程 X2+6X=16 兩邊加 9?加其他數行嗎？ _ =(X-_ _= (X- .) 2、什么叫配方法？ _ 3、 配方法的目的是什么？ _ 這也是 配方法的基本 4、配方法的關鍵是什么？ _ 用配方法解下列關于 x 的方程 （1）2X2-4X-8=0 （ 2）X2-4X+2=0 （ 3）x2-1 x-仁 0 （4）2x2+2=5 2 總結：用配方法解一元二次方程的步驟： _ 活動 2 知識運用課堂訓練 例 1 用配方法解下列關于 X 的方程： （1）x2-8x+1=0 （ 2）2x2+仁 3x （ 3）3X2-6x+4=0 2 2 7 2 （4）x2+10 x+9=0 （5）x2-x- =0

23、 （6）3x2+6x-4=0 4 2 2 （7） 4X -6x-3=0 （ 8）X 4x-9=2x-11 （ 9） x （x+4） =8x+12 【課堂練習】： 1. 填空： 2 2 2 (1) x+10 x+_ = (x+ _ ; ( 2) x -12x+ (3) x2+5x+ _ = (x+ _ ) 2.( 4) x2- - x+_ 3 2. 用配方法解下列關于 x 的方程 2 2 (1) X2-36X+70=0. ( 2) X2+2X-35=0 (8) 9y2-18y-4=0 (9) x2+3=2 3 x 活動 3 歸納內化 用配方法解一元二次方程的步驟： _ 活動 4 課堂檢測 1 .

24、將二次三項式 x2-4x+1 配方后得(). 2 2 2 2 A.(x-2) +3 B.( x-2) -3 C. (x+2) +3 D. (x+2) -3 2.已知X2-8X+15=0,左邊化成含有 x 的完全平方形式，其中正確的是( ).=(x- (x-_ 2 (3) 2x2-4x-1=0 2 (4) x-8x+7=0 (5) x2+4x+1=0 (6) X2+6X+5=0 2 (7) 2x +6x-2=0 2 2 2 2 A. x -8x+ (-4) =31 B. x -8x+ (-4) =1 2 2 2 C. x +8x+4 =1 D. x -4x+4=-11 3.如果 mx+2 (3-

25、2m) x+3m-2=0 (m0)的左邊是一個關于 x 的完全平方式, 則 m等于(). A. 1 B. -1 C . 1 或 9 D. -1 或 9 活動 5 拓展延伸 、解下列方程 2 (1) x +10 x+16=0 2 (3) 3x +6x-5=0 二、綜合提高題 1. 已知三角形兩邊長分別為 2 和 4,第三邊是方程 x2-4x+3=0 的解，求這個三 角形的周長. 4.( 1) (3) 2 x -8x+ _ = (x x +px+ _ = (x+ (2) 9x2+12x+ _ = (3x+ _ ) 2 5、(1) 的值為 2 方程 x +4x-5=0 的解是 X _x_2 .(2)

26、代數式-Xh的值為0，則x (2) x2-x-3 =0 4 (4) 4x2-x-9=0 2.如果 x2-4x+y2+6y+一 Z2 +13=0,求(xy) z 的值. 22.2.3 用公式法解一元二次方程 學習目標 1、理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，會熟練應用 公式法解一元二次方程. 2、復習具體數字的一元二次方程配方法的解題過程，引入 ax2+bx+c=0(a 0) ? 的求根公式的推導公式，并應用公式法解一元二次方程. 重點： 求根公式的推導和公式法的應用. 難點： 一元二次方程求根公式法的推導. 活動 1 頁至第 42 頁的部分，完成以下問題 1、用配方法解下列方

27、程 (1) 6X2-7X+ 仁 0 (2) 4X2-3X=52 總結用配方法解一元二次方程的步驟： _ 2 (1) b2-4ac 0， 2、如果這個一元二次方程是一般形式 ax2+bx+c=0 (a 0)，你能否用上面配方 法的步驟求出它們的兩根? 分析：因為前面具體數字已做得很多，我們現在不妨把 a、b、c?也當成一個具 體數字，根據上面的解題步驟就可以一直推下去. 配方，得: 直接開平方，得: 即 XJ b- b2-4ac 2a 問題: 2 已 知 ax +bx+c=0 ( a 工 0) 試推導它的兩個根 X1= -b . b2 - 4ac 2a X2= -b - b2 -4 ac 2a

28、解：移項，得: ，二次項系數化為 1,得 2 / a 0，二 4a20， 式子 b2-4ac 的值有以下三種情況: Xl = ,X2= 由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)的根由方程的系數 a、b、c 而定, 因此： (1) 解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式 ax2+bx+c=0,當 b2-4ac 0 時，將 a、b、c 代入式子 x-b - 4ac就得到方程的根，當 b2-4acv0,方 2a 程沒有實數根。 (2) x= b _4ac叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a 0)的求根公式. 2a (3) 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. (4)

29、由求根公式可知，一元二次方程最多有 _實數根，也可能有 _實根或 者 _ 實根。 (5) 般地，式子 b2-4ac 叫做方程 ax2+bx+c=0 (a 0)的根的判別式，通常用 希臘字表示它，即 = b2-4ac 用公式法解下列方程. (3) (x-2) (3x-5) =0 (4) 4x2-3x+1=0 活動 2 知識運用課堂訓練 用公式法解下列方程.(2) b2-4ac=0,則b 一, =0 此時方程的根為 4a 2 ax +bx+c=0 (a 0) 有兩個 _ 即一元二次程 的實根。 (3) b2-4acv0,則b tac V 0,此時(x+ ) 2 V0,而 x 取任何實數都不 4a

30、2a 能使(x+ A ) 2 V 0,因此方程 2a 實數根。 2 2 (1) 2x2-4x-仁 0 (2) 5x+2=3x2 (1) X3-4X-7=0 (2) 2x2- 2 2 x+ 仁 0 (3) 5x2-3x=x+1 (4) x2+17=8x 練習： 2 1、 在什么情況下，一元二次方程 ax+bx+c=0( a 0)有兩個不相等的實數根？ 有兩個相等的實數根？ _ 2 2 2、 _ 寫出一元二次方程 ax +bx+c=0 (a0, b -4ac0)的求根公式。 _ 3、方程X2-4X+4=0 的根的情況是( ) A 有兩個不相等的實數根 B 有兩個相等的實數根 根 4、用公式法解下列

31、方程. 2 (1) 2X -4X-仁 0 3 (10) X +4X+8=2X+11 C 有一個實數根 D 沒有實數 (2) 5X+2=3X2 (3)( X-2)( 3X-5) =0 2 (4) 4X -3X+ 仁 0 (5) x2- 3 x-丄=0 4 2 (6) 3X2-6X-2=0 2 (7) X +4X+8=4X+11 (8) X ( 2X-4) =5-8X (9) x2-、2 X- =0 4 (11) X ( X-4) =2-8X (12) X2+ 2 5 X+10=0 5、利用判別式判定下列方程的根的情況：(1) 2X2-3X- =0 ( 2) 16X2-24X+9=0 2 2 2

32、2 (3) X -4 2 X+9=0 (4) 3X +10X=2X +8X 活動 3 歸納內化 (1)求根公式的概念及其推導過程； (2)公式法的概念； (3)應用公式法解一元二次方程； (4)初步了解一元二次方程根的情況. 活動 4 課堂檢測 1.用公式法解方程 4x2-12x=3，得到( 3.( m2-n2)( m2-n2-2) -8=0，則 m2-n2的值是(). A. 4 B. -2 C . 4 或-2 D. -4 或 2 4. _ 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的求根公式是 _ ，條件是 _ . 2 2 5. 若關于 x 的一元二次方程(m-1) x +x+m +2m-3

33、=0 有一根為 0，則 m 的值是 活動 5 拓展延伸 1.用公式法解關于 x 的方程：x2-2ax-b2+a2=0. 2.設 X1，X2是一元二次方程 ax +bx+c=0 (a0)的兩根， (1) 試推導 X1 +X2=- b， X1 X2= C ； a a (2) ?求代數式 a (X13+x23) +b (X12+x22) +c (X1+X2)的值. 3、某數學興趣小組對關于 x 的方程(m+1) xm 2 + (m-2) x-1=0 提出了下列 問題. (1) 若使方程為一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出 m 并解此方程. (2) 若使方程為一元二次方程 m 是否存在？若存在，

34、請求出.A. x= B. x= 口 2 C. x=l 2 2 .方程 、2 x2+4 、. 3 x+6 、2 =0 的根是( )A.xi= 一 2， X2= , 3 B.xi=6，X2=、2 C.xi=2 一 2， X2= D.X1=X2=- .6 22.2.4因式分解法 學習目標: 1 會用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些簡單的數字系數的一元二 次方程。 2 能根據具體的一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會解決問題方 法的多樣性。 重點、難點 1、重點：應用分解因式法解一元二次方程 2、難點：靈活應用各種分解因式的方法解一元二次方程 1：知識準備 將下列各題因式分解 am+b

35、m+cm= ; a 因式分解的方法： _ 解下列方程. （1） 2X2+X=0 （用配方法） （2） 3X2+6X=0 （用公式法） 2:探究 仔細觀察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法嗎? 3、歸納： （1）對于一元二次方程，先因式分解使方程化為 _ 的形式, 再使 _ ，從而實現 _ ， 這種解法叫做 _ 。活動 1 閱讀教材 P43- 4044 , 完成課前預習 2-b2 2 2 2ab+b = (2)如果a 4=0，那么a = 0或b =0，這是因式分解法的根據。 如：如果(x + 1)(x-1) = 0，那么 x + 1 = 0 或 _ ，即 x = -1 或 _ ， 練

36、習 1、說出下列方程的根： (1)x(x-8) = 0 (2)(3x 1)(2x-5) = 0 練習 2、用因式分解法解下列方程: (1) x 4 5 6-4x=0 (2) 4x 2-49=0 (3) 5x 活動 2 知識運用課堂訓練： 用因式分解法解下列方程 (1) 5x2 - 4x = 0 (2) x(x- 2) x- 2 = 0 (3)3x(2x 1) = 4x 2 (4) (x 5)_ 3x 15 (5)4x2-144=0 (6) (2x-1) 2=(3-x) 2 4 1 2 3 (7) 5x - 2x x _ 2x _ 6 4 2 2-20 x+20=0 (8) 3x2-12x=-1

37、2 隨堂訓練 1、用因式分解法解下列方程 (2) x2-2、3x=0 2 (4) 4x-121=0 2、把小圓形場地的半徑增加 5m 得到大圓形場地，場地面積增加了一倍，求小 圓形場地的半徑。 活動 3 歸納內化 因式分解法解一元二次方程的一般步驟 （1） 將方程右邊化為_ （2） 將方程左邊分解成兩個一次因式的 _ (1) x2+x=0 2 (3) 3x -6x=-3 (5) 3x(2x+1)=4x+2 (6) (x-4) 2=(5-2x) (3) _ 令每個因式分別為 ，得兩個一兀一次方程 (4) 解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解 活動 4 課堂檢測 1 .方程x(x + 3)

38、 = 0的根是 _ 2 .方程 2x (x-2 ) =3 (x-2 )的解是 _ 3. 方程(x-1 ) ( x-2 ) =0 的兩根為 xi、X2，且 xiX2，貝U XI-2X2的值等于 _ 4 .若(2x+3y) 2+4 (2x+3y) +4=0,則 2x+3y 的值為 _ . 5 .已知 y=x2-6x+9，當 x= _ 時，y 的值為 0 ;當 x= _ 時，y 的值等于 9. 活動 5 拓展延伸 1 .方程 x (x+1)( x-2 ) =0 的根是() A . -1，2 B . 1，-2 C .0，-1，2 D . 0，1，2 2.若關于 x 的一元二次方程的根分別為-5，7,則

39、該方程可以為() A . (x+5)( x-7) =0 B . (x-5) (x+7) =0 C . (x+5)( x+7) =0 D . (x-5) (x-7) =0 3 .方程(x+4)( x-5 ) =1 的根為 () A . x=-4 B . x=5 C . X1=-4，X2=5 D .以上結論都不對 3x(x-1) = 2(1-X) (x 1)2 - 25= 0 2(x - 3) = x2 - 9 16(x- 2)2 二 9(x 3)2 4、用因式分解法解下列方程： (1) (4x-1)(5x 7) =0 (2) x2 二、5x (7) 3x(x-1)=2(x-1) (8)x 2+x

40、 (x-5 ) =0 2225解一元二次方程 學習目標： 1、 理解并掌握用直接開平方法、 配方法、 公式法、 因式分解法解一元一次 方程的方法 2、 選擇合適的方法解一元二次方程 重點、難點 3、 重點：用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程 4、 難點：選擇合適的方法解一元二次方程 活動 1 : 一、梳理知識 1、 解一元二次方程的基本思路是： 將二次方程化為一次方程，即降次 2、一元二次方程主要有四種解法，它們的理論根據和適用范圍如下表： 方法名稱 理論根據 適用方程的形式 直接開平方法 平方根的定義 2 ” 2 x =p 或（mx + n） =p（p0） 配方法 完全

41、平方公式 所有的一兀二次方程 公式法 配方法 所有的一兀二次方程 因式分解法 兩個因式的積等于 0， 那么這兩個因式至少 有一個等于 0 一邊是 0,另一邊易于分解成兩 個一次因式的乘積的一元二次 方程 3、一般考慮選擇方法的順序是: 直接開平方法、分解因式法、配方法或公式法 二、用適當的方法解下列方程： 1. x2 -7x=o 2. x2 12x = 27 3、X（ x-2）+X-2=0 4. x2 X - 2 = 4 3 5、5X2-2X-； =x2-2X+ 4 6. 4(x 2)2 二 9(2x- 1)2 活動 2 知識運用課堂訓練： i 用直接開方法解方程： 36x2 - 1 = 0

42、4x2 = 81 2 X 5 =16 X2 - 2x 仁 4 2用因式分解法解方程： x2 x = 0 4X2 -121 = 0 3 2x-1 -x 2x-1 = 0 （x - 4）2 -（5- 2x）2 = 0 3 用配方法解方程： x2 10 x 16 = 0 3X2 6x - 5 = 0 2 4X - x - 9 = 0 x2 2 5x 10 = 0 活動 3: 歸納內化 解一元一次方程的方法： 活動 4 鞏固提高 1 用直接開方法解方程： 2 4x 9=0 2用因式分解法解方程:4 用公式法解方程： 2 x x - 12 = 0 X2 -、2x - = 0 2 x 4x 8 = 2x

43、11 x x - 4 = 2 - 8x 2 9X-2 = x2 2x 1 = 4 3x 2x 仆 4x 2 x x 4 = 8x 12 4 用公式法解方程： x2 x - 1 = 0 x2 3x 丄二 0 3x2 6x - 2 二 0 4 (3) 5x2 _2x_l =x2 -2x - 4 4 j 2 t 2 2x - 1 2 二 3 - x 2 3 用配方法解方程： 2 x - 8x 1 = 0 2 2x2 1 = 3x 9 3x2 - 6x 4=0 22.2.6 元二次方程根與系數的關系 學習目標： 1 .理解并掌握根與系數關系：X! x2 = -b , x1x2 =； a a 2 .會用

44、根的判別式及根與系數關系解題. 重點、難點 重點：理解并掌握根的判別式及根與系數關系 難點：會用根的判別式及根與系數關系解題； 活動 1 :閱讀教材 P54 55 ,完成課前預習 1、 知識準備 (1 ) 一元二次方程的一般式： _ (2) 一元二次方程的解法： _ (3) 元二次方程的求根公式： _ 2、 探究 1:完成下列表格 方 程 Xi x? X +X2 x1.x2 x2 -5x +6 = 0 2 5 2 x +3x-10=0 -3 問題：你發現什么規律？ 用語言敘述你發現的規律； 2 X +px+q=O 的兩根 Xi, x2用式子表示你發現的規律。 2 4x 一 6x = 0 x2

45、4x 8 = 4x 11 x 2x - 4 = 5 - 8x 探究 2:完成下列表格 方 程 X1 X2 為+X2 X1.X2 2x2-3 X-2=0 2 -1 2 3x -4 x+ 仁0 1 問題：上面發現的結論在這里成立嗎？ 請完善規律； 用語言敘述發現的規律； ax2+bx+c=0 的兩根 x1,x2用式子表示你發現的規律。 3、利用求根公式推到根與系數的關系（韋達定理） 2 ax +bx+c=0 的兩根 = _ , x2 = _ xi x2 練習 1 :根據一元二次方程的根與系數的關系，求下列方程的兩根和與兩根積: 2 2 1 2 （1）x -3x-1=0 （2） 2x 3x-5 =

46、0 （3） x -2x = 0 3 活動 2 知識運用課堂訓練： 例 1 :不解方程，求下列方程的兩根和與兩根積： 2 2 2 （1）x-6x-15=0 （2）3x +7x-9=0 （3）5x-仁4x 例 2:已知方程2x2+kx-9=0的一個根是-3，求另一根及 K 的值 例 3:已知 a , B是方程X7-3X-5=0的兩根，不解方程，求下列代數式的值 11 2-2 (1) (2)： (3)： a P 例 4:已知關于X的方程3X2-5X-2=0 ,且關于 y 的方程的兩根 是X方程的兩根的平方,則關于 y 的方程是 _ 隨堂訓練 2 (1)X-3X=15 7 (3)X-3X+2=10 2

47、 2 (2) 5X-1=4X+X 2 (4)4X -144=0 (5) 3X( X-1)=2( X-1) 2 2 (6) ( 2X-1)=( 3-X) 活動 3： 歸納內化 一元二次方程的根與系數的關系： _ 活動 4 課堂檢測 1. 若方程 ax +bx+c = O(a 0 的兩根為 x1 , x2 則 xx2= _ , x1 .x2 = _ 2 .方程 2x2 3x-1 =0 貝 U +x = ,兇冬= 3 .若方程 x2+px + 2 = 0 的一個根 2,則它的另一個根為 _ p= _ 4 .已知方程x2-3x+m=0的一個根 1，則它的另一根是 _ m= _ 5 .若 0 和-3 是

48、方程的 x2 + px+q=0 兩根，則 p+q= _ 活動 5 拓展延伸 1 .在解方程 x2+px+q=0 時，甲同學看錯了 p,解得方程根為 x=1 與 x=-3 ;乙同 學看錯了 q,解得方程的根為 x=4 與 x=-2，你認為方程中的 p= - , q= - 。 2 .兩根均為負數的一元二次方程是 () A7x2 -12x 5=0 B6x2 -13x -5 = 0 C 4x2 21x 5 = 0 Dx2 15x-8 = 0 3 .若方程 x2 px 0 的兩根中只有一個為 0，那么() A p=q=0 B P=0,q 工 0 C p 工 0,q=0 D p 工 0, q 并 0 4、

49、不解方程，求下列方程的兩根和與兩根積： 2 2 (1) x -5x-10=0 (2) 2x +7x+1=0 2 (3) 3x-1=2x+5 (5) x (x-1 ) =3x+7 (5) X2-3X+ 仁 0 (6)3x 2- 2x=2 22.3.1實際問題與一元二次方程(1) 學習目標： 1能根據具體問題中的數量關系，列出一元二次方程，體會方程是刻畫現實世界的一 個有效的數學模型并能根據具體問題的實際意義，檢驗結果是否合理. 2經歷將實際問題抽象為代數問題的過程，探索問題中的數量關系，并能運用一元二 次方程對之進行描述。 3通過解決傳播問題，學會將實際應用問題轉化為數學問題，體驗解決問題策略的

50、多 樣性，發展實踐應用意識. 4通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數學知識應用的價值，了解數學對促進 社會進步和發展人類理性精神的作用. 重點、難點 重點： 列一元二次方程解有關傳播問題、 平均變化率問題的應用題 難點： 發現傳播問題、平均變化率問題中的等量關系 活動一 閱讀教材P458 469,完成課前預習 探究： 問題 1:有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有 121 人患了流感， 每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？ 分析：1、設每輪傳染中平均一個人傳染了 X 個人，那么患流感的這 一個人在第一輪中傳染了 _ 人，第一輪后共有 _ 人患了流 感； 2、第二輪傳染中，這些人中的每個人又傳染

51、了 _ ,第二 輪后共有 _ 患了流感。 則：列方程 解得 _ 即平均一個人傳染了 _ 個人。 再思考：如果按照這樣的傳染速度，三輪后有多少人患流感? 問題 2:兩年前生產 1 噸甲種藥品的成本是 5000 元，生產 1 噸 乙種藥品的成本是 6000 元，隨著生產技術的進步，現在生產 1 噸甲 種藥品的成 本是 3000 元，生產 1 噸乙種藥品的成本是 3600 元，哪種 藥品成本的年平均下降率較大？(精確到 0.001 ) 絕對量：甲種藥品成本的年平均下降額為(5000-3000)十 2=1000 元，？乙種藥 品成本的年平均下降額為(6000-3000)十 2=1200 元，顯然，？乙

52、種藥品成本的 年平均下降額較大. 相對量：從上面的絕對量的大小能否說明相對量的大小呢 ？也就是能否說明乙種 藥品成本的年平均下降率大呢？下面我們通過計算來說明這個問題. 分析：設甲種藥品成本的年平均下降率為 X,則一年后甲種藥品成 本為 _ 元，兩年后甲種藥品成本為 元. 依題意，得 _ 解得：X1 _ ，X2 _ 。 根據實際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為 _ 。 設乙種藥品成本的平均下降率為 y.貝卩， 列方程： _ 解得： _ 答：兩種藥品成本的年平均下降率 _ . 思考：經過計算，你能得出什么結論？成本下降額較大的藥品，它的下降率一 定也較大嗎？應怎樣全面地比較幾個對象的變化狀態

53、？ 活動 2：典型例題，初步應用 例 1：某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數 目的小分支，主干、支干和小分支的總數是 91，求每個支干長出多 少小分支？ 例 2:青山村種的水稻 20XX 年平均每公頃產 7200kg , 20XX 年平均每 公頃產 8460 kg，求水稻每公頃產量的年平均增長率. 活動 3：歸納內化 1. 列一元二次方程解應用題的一般步驟 ： （i）“設”，即設 _ ，設未知數的方法有直接設和間接設未知數兩種; “列”，即根據題中 _ _ 關系列方程； （3） “解”，即求出所列方程的 ； （4） “檢驗”，即驗證是否符合題意； “答”，即回答題目中要解決

54、的問題。 2. 增長率=（實際數-基數）/基數。平均增長率公式： Q = a（1 _ X）2 其中 a 是增長（或 降低）的基礎量，X 是平均增長（或降低）率， 2 是增長（或降低）的次數。 活動 4 課堂檢測 1. 生物興趣小組的學生，將自己收集的標本向本組其他成員各贈送 一件，全組共互贈了 182 件，如果全組有 x 名同學，那么根據題意 列出的方程是（ ）A. x （x+1） =182 B. x （x-1） =182 C. 2x （x+1） =182 D. x （1-x） =182X 2 2. 一個小組若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡 72 張，則這個 小組共（）. A . 12 人

55、 B. 18 人 C. 9 人 D. 10 人 3. 某次會議中，參加的人員每兩人握一次手，共握手 190 次，求參 加會議共有多少人？ 4. 學校組織了一次籃球單循環比賽（每兩隊之間都進行了一次比賽） 共進行了 15 場比賽，那么有幾個球隊參加了這次比賽？ 5. 參加一次足球聯賽的每兩個隊之間都進行兩次比賽 （雙循環比賽）， 共要比賽 90 場，共有多少個隊參加比賽？ 活動 6 拓展延伸 1兩個連續偶數的積為 168，求這兩個偶數 . 2.某商品原來單價 96 元，廠家對該商品進行了兩次降價，每次降低 的百分數相同，現單價為 54 元，求平均每次降價的百分數？ 3. 某銀行經過最近的兩次降息

56、，使一年期存款的年利率由 2.25%降至 1.96%,平均每次降息的百分率是多少？（結果精確到 0.01 %） 4. 一個直角三角形的兩條直角邊的和是 14 cm 面積是 24 cmf，求兩 條直角邊的長。 5. 一個菱形兩條對角線長的和是 10cm， 長。面積12 2232實際問題與一元二次方程（2） 學習目標： i能根據具體問題中的數量關系，列出一元二次方程，體會方程是刻畫現實世界的一個 有效的數學模型并能根據具體問題的實際意義，檢驗結果是否合理. 2經歷將實際問題抽象為代數問題的過程，探索問題中的數量關系，并能運用一元二次 方程對之進行描述。 3通過解決傳播問題，學會將實際應用問題轉化為

57、數學問題，體驗解決問題策略的多樣 性，發展實踐應用意識. 4通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數學知識應用的價值，了解數學對促進社 會進步和發展人類理性精神的作用. 重點、難點 重點：列一元二次方程解有關特殊圖形問題的應用題 難點：發現特殊圖形問題中的等量關系 活動一 閱讀教材P50 51 ,完成課前預習 探 究：問題：如圖，要設計一本書的封面，封面長 27cm 寬 21cm 正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形 .如果要使四周的陰影 邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯 等寬，應如何設計四周邊襯的寬度？（精確到 0.1cm） 分析：封面的長寬之比是 27 :仁

58、 _ ，中央 的長方形的長寬之比也應是 _ ，若設中央的 長方形的長和寬分別是 9acm 和 _ ，由此得上 下邊襯與左右邊襯的寬度之比是 _ . 想一想，怎樣設未知數可以更簡單的解決上面的問 題？請你試一試 活動 2：典型例題，初步應用 例 1.要為一幅長 29cm 寬 22cm 的照片配一個鏡框，要求鏡框的四 條邊寬度相等，且鏡框所占面積為照片面積的四分之一， 鏡框邊的寬 度應是多少厘米？ 例 2.如圖，某小區規劃在一個長為 40 米、寬為 26 米的矩形場地ABCD 上修建三條同樣寬度的馬路，使其中兩條與 AB平行，另一條與AD平 行，其余部分種草若使每一塊草坪的面積都是 144m2，求

59、馬路的寬. 例 3.如圖，要設計一幅寬 20cm、長 30cm的圖案，其中有兩橫兩豎 的彩條（圖中陰影部分），橫、豎彩條的寬度比為 3:2，如果要使彩 條所占面積是圖案面積的四分之一， 應如何設計彩條的寬度（精確到 0.1 cm ) 例 4.用一根長40cm的鐵絲圍成一個長方形，要求長方形的面積為 75cm2. 求此長方形的寬是多少？ 能圍成一個面積為 101cm2的長方形嗎？如能，說明圍法。 若設圍成一個長方形的面積為 S （ cm2 ），長方形的寬為x cm , 求S與 x的函數關系式，并求出當x為何值時，S的值最大？最大面積 為多少? 活動 3:歸納內化 活動 4 鞏固練習 1. 在寬為

60、 20 米、長為 32 米的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路, 余下部分作為耕地，要使耕地面積為 540 米2，道路的寬應為多少？ t 20m V 7 H 32 m - ( 3X(X+1)=3X +3 (5) 4X2-4X+1= X2+6X+9 3. 如圖，禾U用一面墻（墻的長度不限），用 為 50m2的矩形場地.2.解下列方程 X2+10X+21=0 X2-X-1=0 3X2+6X-4=0 7X2-、6X-5=0 20 m長的籬笆，怎樣圍成一個面積 原來鐵片面積的一半，求盒子的高 4. 一個直角梯形的下底比上底大 2cm,高比上底小 1cm,面積等于 8cm2，求 這個梯形的上底