1、I三角形的五心及相關習題三角形中有許多重要的特殊點，特別是三角形的五心”在解題時有很多應用，在本節中將分別給予介紹.三角形的 五心”指的是三角形的外心，內心，重心，垂心和旁心.1、三角形的外心三角形的三條邊的垂直平分線交于一點，這點稱為三角形的外心（外接圓圓心）.三角形的外心到三角形的三個頂點距離相等.都等于三角形的外接圓半徑.銳角三角形的外心在三角形內；直角三角形的外心在斜邊中點；鈍角三角形的外心在三角形外.2、三角形的內心三角形的三條內角平分線交于一點，這點稱為三角形的內心（內切圓圓心）.三角形的內心到三邊的距離相等，都等于三角形內切圓半徑.內切圓半徑 r 的計算：1S設三角形面積為 S，

2、并記 p=2（a+b+c），則 r=p.1特別的，在直角三角形中，有 r=1（a+b c）.3、三角形的重心三角形的三條中線交于一點，這點稱為三角形的重心.上面的證明中，我們也得到了以下結論：三角形的重心到邊的中點與到相應頂點的距離之比為1 : 2.4、三角形的垂心三角形的三條高交于一點，這點稱為三角形的垂心.斜三角形的三個頂點與垂心這四個點中，任何三個為頂點的三角形的垂心就是第四個點.所以把這樣的四個點稱為一個垂心組”5、三角形的旁心三角形的一條內角平分線與另兩個外角平分線交于一點，稱為三角形的旁心（旁切圓圓心）.每個三角形都有三個旁切圓.OCBA 類例題例 1 證明重心定理。1證法 1 如

3、圖，D、E、F 為三邊中點，設 BE、CF 交于 G,連接 EF，顯然 EF J qBC，由三角形相似可得 GB= 2GE，GC=2GF.又設 AD、BE 交于 G，同理可證 GB=2GE，GA=2GD，即 G、G 都是 BE 上從 B 到 E 的三分之二處的點，故 G、G 重合.即三條中線 AD、BE、CF 相交于一點 G .證法 2 設 BE、CF 交于 G，BG、CG 中點為 H、I .連 EF、FH、HI、IE，因為 EF =；BC, HI =：BC,所以 EFHI 為平行四邊形.所以 HG=GE、IG=GF , GB=2GE, GC=2GF.同證法 1 可知 AG=2GD, AD、B

4、E、CF 共點.即定理證畢.鏈接 證明外心、內心定理是很容易的。外心定理的證明：如圖，設 AB、BC 的中垂線交于點 0,則有 0A=0B=0C,故 0 也在 AC 的中垂線上,因為 0 到三頂點的距離相等，故點 0 是厶 ABC 外接圓的圓心.因而稱為外心.內心定理的證明：如圖，設/ A、/ C 的平分線相交于 I、過 I 作 ID 丄 BC , IE 丄 AC, IF 丄 AB,貝 U有 IE=IF=ID .因此 I 也在/ C 的平分線上，即三角形三內角平分線交于一點.上述定理的證法完全適用于旁心定理，請同學們自己完成.例 2 證明垂心定理分析我們可以利用構造外心來進行證明。證明 如圖，

5、AD、BE、CF 為厶 ABC 三條高，過點 A、B、C 分別作對邊的 平行線相交成 ABC,顯然 AD 為 BC 的中垂線；同理 BE、CF 也分別為 AC、AB的中垂線，由外心定理，它們交于一點，命題得證.鏈接 （1）對于三線共點問題還可以利用 Ceva 定理進行證明，同學們可以參考第十八講的內容。（Ceva 定理）設 X、Y、Z 分別為 ABC的邊 BC、CA、AB 上的一點，則 AX、BY、CZ 所在直線交于一點的充要條件是（2）對于三角形的五心，還可以推廣到n 邊形，例如，如果我們稱 n（A3）邊形某頂點同除該點以外的 n-1 個頂點所決定的 n-1 邊形的重心的連線，為 n 邊形的

6、中線，（當 n-1=2 時，n-1 邊形退化成一線段，此時重心即為線段的中心）那么重心定理可推廣如下：n 邊形的各條中線（若有重合，只算一條）相交于一點，各中線被該點分為：（n-1 ）： 1 的兩條線段，這點叫 n 邊形的重心.請同學們自己研究一下其他幾個“心”的推廣。情景再現1.設 G 為厶 ABC 的重心，M、N 分別為 AB、CA 的中點，求證：四邊形 GMAN 和厶 GBCB-AZ BX CY- =1ZB XC YA=0CAD的面積相等.2.三角形的任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的二倍.B 類例題例 3 過等腰 ABC 底邊 BC 上一點 P 引 PM / CA 交 AB

7、于 M ;引 PN / BA 交 AC 于 N.作點 P 關于 MN 的對稱點 P.試證：P點在 ABC 外接圓上.（杭州大學中學數學競賽習題）分析 分析點 M和 N 的性質，即能得到解題思路。證明由已知可得 MP=MP=MB, NP=NP=NC,故點 M 是厶 PBP 的外心，點 N 是厶 PPC 的外心.于是有1 1ZBPP2zBMP=ZBAC,221iZPPC=2ZPNC=ZBAC.22/ZBPC=ZBPP+ZPPC=ZBAC.從而，P點與 A、B、C 共圓，即戸在厶 ABC 外接圓上.鏈接本題可以引出更多結論，例如PP 平分ZBPC、PB: PC=BP: PC 等等.例 4 AD，BE

8、，CF 是厶 ABC 的三條中線，P 是任意一點證明：在厶 PAD，PBE，PCF 中，其中一個面積等于另外兩個面積的和.（第 26 屆莫斯科數學奧林匹克）證明 設 G 為厶 ABC 重心，直線 PG 與 AB，BC 相交.從 A，C，D，E，F 分別作該直線的垂線，垂足為A，C，D，E，F.易證 AA=2DD ，CC=2FF, 2EE=AA+CC,/EE=DD+FF.有 &PGE=SPGD+SAPGF.兩邊各擴大 3 倍，有 SPBE=SXPAD+SAPCF.例 5 設 A1A2A3A4為。O 內接四邊形，已,H2,H3, H4依次為 A2A3A4，人3人4凡，厶 A4A!A2, A

9、1A2A3的垂心求證：巴,H2,H3, H4四點共圓，并確定岀該圓的圓心位置 .（1992 ，全國高中聯賽）證明 連接 A2H1, A1H2，已戰，記圓半徑為 R.由厶 A2A3A4知A2H,=2R =A2H1=2RcosZA3A2A4；sin EA2人3出由厶 A1A3A4得 A1H2=2RcosZA3A1A4.但ZA3A2A4=ZA3A1A4，故 人2巴=%出.易證 A?H1/ A1A?，于是，A2H1A1H2,故得 H1H2= A2A1.設 H1A1與 H2A2的交點為 M，故 H1H2與 A1A2關于 M 點成中心對稱同理，H2H3與 A2A3, H3H4與 A3A4, H4H1與 A

10、4A1都關于 M 點成中心對稱.故四邊形 H1H2H3H4與四邊形 A1A2A3A4關于 M 點成中心對稱，兩者是全等四邊形，H1, H2, H3, H4在同一個圓上.后者的圓心設為 Q, Q 與 O 也關于 M 成中心對稱.由 O, M 兩點，Q 點就不難確定了 .鏈接三角形的五心有許多重要性質，它們之間也有很密切的聯系，如：（1）三角形的重心與三頂點的連線所構成的三個三角形面積相等;(2)三角形的外心到三頂點的距離相等；(3)三角形的垂心與三頂點這四點中，任一點是其余三點所構成的三角形的垂心；(4)三角形的內心、旁心到三邊距離相等；(5)三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內

11、心是它旁心三角形的垂心;(6)三角形的外心是它的中點三角形的垂心；(7)三角形的重心也是它的中點三角形的重心；(8)三角形的中點三角形的外心也是其垂足三角形的外心.情景再現3.在 ABC 的邊 AB, BC, CA 上分別取點 P, Q, S.證明以 APS,ABQP,ACSQ 的外心為頂點的三角形與 ABC 相似.(B 波拉索洛夫中學數學奧林匹克)4.如果三角形三邊的平方成等差數列，那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似.其逆亦真.C 類例題D, E, F 分別是 BC, CA , AB 的中心.一個以 H 為圓心的0H 交直線 EF , FD , DE 于 Ai, A2, Bi,

12、B2, Ci, C2.求證：AAi=AA2=BBi=BB2=CCi=CC2. (1989 ，加拿大數學奧林匹克訓練題)分析 只須證明 AAi=BBi=CCi即可.證明設 BC=a, CA=b, AB=c,AABC 外接圓半徑為 R,0H 的半徑為 r.2連 HAAH 交 EF 于 M. A A, =AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2- MH2),1 1又 AM2- HM2=(2AHi)2-( AH-AHi)2=AH AH1-AH2=AH2 AB-AH2=cosA bc- AH2,=2R= a2=4R2s in2A.sin A/. AH2+a2=4R2, AH2=4R2-a2

13、.222AA2=r2+b c-9 bc-(4R2-a2)=2 ( a2+b2+c2)-4 R2+r2同理，BB12=1(a2+b2+c2)-4 R2+r2,221CC-I=2 ( a2+b2+c2)-4 R2+r2.故 AA1= BB=CC1.例 7 已知0O 內接 ABC,0Q 切 AB, AC 于 E, F 且與0O 內切.試證：EF 中點 P 是厶 ABC 之內心.(B 波拉索洛夫中學數學奧林匹克)例 6 H 為厶 ABC 的垂心,AHsin ABH=2R=AH2=4R2COS2A2bcA22中點 K 都在/ BAC 平分線上.易知 AQ=sina由 RtEPQ知PQ=Sin : r.：

14、PK=pQ+QK=sin：r+sin：(2R_r)=sin : 2R./.PK=BK.利用內心等量關系之逆定理，即知 P 是厶 ABC 這內心.說明在第 20 屆 IMO 中，美國提供的一道題實際上是例7 的一種特例，但它增加了條件州大學中學數學競賽習題)證明 設 Rt ABC 中，c 為斜邊，先來證明一個特性：P( P- c)=( p-a)( p-b).11Tp( p- c)= 2 ( a+b+c) 2(a+b-1=4( a+b)2-c2=ab；1 1(p- a)( p- b)= 艮-a+b+c) (a-b+c)1 1=4【c2-( a- b)2= ab.-p( p- c)=( p-司(p-

15、 b).觀察圖形，可得ra=AF- AC=p- b，rb=BG- BC=p- a,rc=CK=p.1而 r=2(a+卜 c)= p_c.-r+ra+rb+rc=( p-c)+( p- b)+( p-a)+p=4 p-( a+b+c)=2p.由及圖形易證.例 9 M 是厶 ABC 邊 AB 上的任意一點.5 r2， r 分別是 AMC， BMC， ABC 內切圓的半徑， q“ q?,q 分別是上述三角形在/A“r部的旁切圓半徑.證明 一 =.( IMO-12)qiq2q證明對任意 ABC，由正弦定理可知例 8 在直角三角形中，求證:r+ra+rb+L=2p.式中 r，唁，山，L 分別表示內切圓半

16、徑及與a, b，c 相切的旁切圓半徑，p 表示半周.證明如圖，顯然 EF 中點 P、圓心 Q，BCTQKAQ=MQQN,，QK=MQQNAQ(2R _r)r=$)n(2R_r)r /sin :AB=AC.ACB 內ECK2OD=OAsinAB=AB .Bsin2sin AOBsin A：=AB A . B sinsin2 2 .A+B sin2OE= ABABcos cos22.A+Bsin2ODOEAgyg亦即有qi=tg；Atgq22.CMA CNB B tg tg -tgAtg*例 10 銳角 ABC 中，O, G, H 分別是外心、重心、垂心.設外心到三邊距離和為求證：1 d垂+2 d

17、外=3 - d重.證明 設厶 ABC 外接圓半徑為 1,三個內角記為 A , B,C. 易知 d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC,/2d外=2(cosA+cosB+cosC)./AH1=sinB AB=sinB (2 sinC)=2 sinB，sinC,同樣可得 BH2 CH3./3d重= ABC 三條高的和=2 (sinB sinC+sinC sinA+sinA sinB)BH/=2,si n BCH/HH1=cosC BH=2 cosB cosC.同樣可得 HH2, HH3./d垂=HN+HH2+HH3=2(cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB

18、)欲證結論，觀察、，d外，重心到三邊距離和為 d重，垂心到三邊距離和為 d垂.須證(cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB - sinC+sinC sinA+sinA sinB.即可.說明本題用了三角法情景再現5. 設在圓內接凸六邊形 ABCDFE 中， AB=BC， CD=DE，EF=FA. 試證： （1） AD，BE，CF 三條對角線交于一點； （2） AB+BC+CD+DE+EF+FA AK+BE+CF.（1991 ，國家教委數學試驗班招生試題 ）6 . ABC 的外心為 O, AB=AC, D 是 AB 中點，E

19、是厶 ACD 的重心.證明 OE 丄 CD.（ 加拿大數學奧林匹克訓練題 ）7. ABC 中/ C=30, O 是外心，I 是內心，邊 AC 上的 D 點與邊 BC 上的 E 點使得 AD=BE=AB.求證：OI 丄 DE, OI=DE. （1988 ，中國 數學奧林匹克集訓題 ）習題 171 .在 ABC 中，/ A 是鈍角，H 是垂心，且 AH = BC，貝 U cosZBHC=（）2.如果一個三角形的面積與周長都被一條直線平分，則此直線一定通過三角形的（） 設 E 是 ABC 的外角ZBAK 的角平分線與 ABC 的外接圓0O 的交點，ED 是0O 的直徑，I 在線段 AD 上，且 DI

20、 = DB，貝 U I 是 ABC的內心.正確命題的個數是（）A. 0 個B. 1 個 C. 2 個D . 3 個6 .設 ABC 的ZA=60，求證： ABC 的外心 0、內心 I、垂心 H 及點 B、C 五點在同一個圓上.7 .已知 P 是口 ABCD 內的一點，O 為 AC 與 BD 的交點，M、N 分別為 PB、PC 中點，Q 為 AN 與 DM 的交 點.求證：P、Q、O 三點在一條直線上； PQ=2OQ.8. I 為厶 ABC 之內心，射線 AI，BI，CI 交厶 ABC 外接圓于 AB, C .則 AA +BB +CCAABC 周長.（1982，澳大利亞數學奧林匹克）9. T的三

21、邊分別等于厶 T 的三條中線，且兩個三角形有一組角相等.求證這兩個三角形相似.（1989，捷克數學奧林匹克）10. I 為厶 ABC 的內心.取 IBC， ICA， IAB 的外心 O1， O2， O3.求證： O1O2O3與厶 ABC 有公共的外心. （1988，美國數學奧林匹克）11. AD 為厶 ABC 內角平分線.取厶 ABC， ABD， ADC 的外心 O, O1, O2.則厶 OO1O2是等腰三角形.A.內心 B.外心 C .重心 D .垂心（1996 年全國初中聯賽）3. （1997 年安徽省初中數學競賽）若 OtggO。，那么，以 siCOSQ，tanoto 為三邊的三角形有內

22、切圓、外接圓的半 徑之和是（）sin -+costan -+cot2_C. 2sin -cos.-g1sin -cos4. ABC 中，ZA=45，BC=a，高 BE、CF 交于點 H，則 AH=（ ）A. 2玄B . 2 J 2aC . aD.、2a5 .下面三個命題中： 設 H 為厶 ABC 的高 AD 上一點，ZBHC+ZBAC=180，則點 H 是厶 ABC 的垂心; 設 G 為厶 ABC 的中線 AD 上一點，且SAAGB=SABGC，則點 G 是厶 ABC 的重心；C12. ABC 中ZCb c,有(2)a2, b2, c2成等差數列.當中 abc 時,中 CF BEAAD.CFa

23、)2.據“三角形的三條中線圍成的新三角形面積等于原三角形面積的色”，有毎=34 S.)4CF2- 3a2=4CF2=2a2+b2-c2-a2+c?=2b2.I 為厶 ACE 的內心.從而有 ID=CD=DE, IF=EF=FA, IB=AB=BC.ErdOBS+DI+FIA2 (IP+IQ+IS).不難證明 IE=2IP, IA=2IQ , IC=2IS./.BI+DI+FIAIA+IE+IC. / AB+BC+CD+DE+EF + FA=2( BI+DI +FI)(IA+IE+IC)+( BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I 就是一點兩心 6 .提示：設 AM 為高亦為中線，取 AC 中

24、點F , E 必在 DF 上且 DE: EF=2:1.設CD 交 AM 于 G, G 必為 ABC 重心.連 GE，MF，MF 交 DC 于 K.易證：11 1DG: GK= DC:() DC=2:1.323.：DG: GK=DE: EF= GE/ MF.TOD 丄 AB, MF / AB,/OD 丄 MF=OD 丄 GE.但 OG 丄 DE =G 又是 ODE 之垂心.易證 OE 丄 CD.7 .提示：輔助線如圖所示，作/ DAO 平分線交 BC 于 K.易證AIDAIBAEIB，ZAID =ZAIB=ZEIB.利用內心張角公式，有1ZAIB=90+2ZC = 105,1/ZDIE =360

25、 -105 X3=45.TZAKB=30+ZDAO=30/AK / IE.由等腰 AOD 可知 DO 丄 AK,/ DO 丄 IE，即 DF+1 (ZBAC-ZBAO)=30+1 (ZBAC-60)=2ZBAC=ZBAI =ZBEI.是厶 DIE 的一條高.同理 EO 是厶 DIE 之垂心，OI 丄 DE.由ZDIE=ZIDO，易知 OI=DE.習題 17 解答1. B; 2. A ; 3 . A; 4 . C ; 5 .選 B，只有（3）是對的；6.略；7 .略；8.略；9.略；10.略；11.略；12. H 的軌跡是一條線段. 補充：第五講三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、內心及旁心，

26、統稱為三角形的五心一、外心.三角形外接圓的圓心，簡稱外心.與外心關系密切的有圓心角定理和圓周角定理.例 1 .過等腰 ABC 底邊 BC 上一點 P 引 PM / CA 交 AB 于 M ;引 PN / BA 交 AC 于 N.作點 P 關于 MN 的對稱點 P .試證：P 點在 ABC 外接圓上.（杭州大學中學數學競賽習題）分析：由已知可得 MP =MP=MB, NP =NP=NC,故點 M 是厶 P BP 的外心，點N 是厶 P PC 的外心.有,11ZBPP=ZBMP=ZBAC,22,11ZPPC=ZPNC=ZBAC.22:.Z BPC=ZBPF+ZP PC=ZBAC.從而，P點與 A,

27、 B, C 共圓、即戸在厶 ABC 外接圓上.由于 P P 平分ZBP C,顯然還有P B: P C=BP: PC.例 2 .在 ABC 的邊 AB, BC, CA 上分別取點 P, Q, S.證明以 APS,ABQP,ACSQ 的外心為頂點的三角形與 ABC 相似.（B 波拉索洛夫中學數學奧林匹克）分析：設 0, O2, O3是厶 APS, BQP, CSQ 的外心，作出六邊形O1PO2QO3S 后再由外心性質可知ZP0iS=2ZA,ZQO2P=2ZB,ZSO3Q=2ZC.:ZPO1S+ZQO2P+ZSO3Q=36O .從而又知ZO1PO2+ZO2QO3+ZO3SOI=36O將厶 O2QO3

28、繞著 O3點旋轉到厶 KSO3，易判斷厶 KSOi O2PO1，同時可得 OiO2O3 O1KO3.1-ZO2O1O3=ZKO1Os=ZO2O1K21=(ZO2O1S+ZSO1K)21=(ZO2O1S+ZPO1O2)21=ZPO1S=ZA;2同理有ZO1QO3=Z8.故厶 O1O2O3ABC.、重心三角形三條中線的交點，叫做三角形的重心 .掌握重心將每 條中線都分成定比 2:1 及中線長度公式，便于解題.例 3 . AD , BE, CF 是厶 ABC 的三條中線，P 是任意一點.證明：在厶 PAD , PBE , PCF 中，其中一個面積等于另外兩個面積的和（ 第 26 屆莫斯科數學奧林匹克

29、）分析：設 G 為厶 ABC 重心，直線 PG 與 AB,BC 相交.從 A , C , D , E , F 分別 作該直線的垂線,垂足為 A ,C,D , E , F.易證 AA =2DD , CC =2FF , 2EE =AA +CC:.EE =DD +FFSPGE=SxPGD+SAPGF.兩邊各擴大 3 倍，有SAPBE=SPAD+SPCF.例 4 .如果三角形三邊的平方成等差數列，那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似.其逆亦真.分析：將厶 ABC 簡記為，由三中線 AD，BE，CF 圍成的三角形簡記為 .G 為重心，連 DE 到 H,使 EH = DE，連 HC, HF，則就

30、是厶 HCF.（i）a，b2，c2成等差數列二.若厶 ABC 為正三角形，易證.不妨設 abc，有CF=22a22b2-c212 2 2BE=,2c 2a -b21 2 2 2AD=2b22c2-a2.2將 a2+c2=2b2,分別代入以上三式，得、33匚.3CF=a，BE=b，AD=c.22 2V3U3v3/CF: BE: AD =a:b：c222=a: b: c.故有 .“= a2，b2，c2成等差數列.當中 abc 時，中 CF BEAAD. (CF)s.,a= a2+c2=2b2.三、垂心.由三角形的垂心造成的四個等（外接）圓三角形，給我們解題提供了極大的便利例 5.設 A1A2A3A

31、4為OO 內接四邊形，比，H2，H3，H4依次為A2ASA4，A3A4A1， A4AA2，AA1A2A3的垂心.求證：H1, H2，H3,H4四點共圓，并確定出該圓的圓心位置（1992，全國高中聯賽）據“三角形的三條中線圍成的新三角形面積等于原三角形面積的色”，有魚=34 S., 4CF2a23a2=4CF2=2a2+b2- c2三角形三條高的交戰，稱為三角形的垂心分析：連接 A2H1, A1H2, H1H2,記圓半徑為 R.由厶 A2A3A4知A2H1- =2RA2H1=2Rcos/ A3A2A4；sinZA2A3H1由厶 A1A3A4得AiH2=2 RcosZA3A1A4.但/人3人2人4

32、=/ A3A1A4,故 A2H1=A1H2.易證 A2H1/ A1A2，于是，A2H1A1H2,=故得 H1H2A2A1.設=A1與 H2A2的交點為 M，故 H1H2與 A1A2關于 M 點成中心對稱.同理，H2H3與 A2A3，H3H4與 A3A4，H4H1與 A4A1都關于 M 點成中心對稱.故四邊形 H1H2H3H4與四邊形 A1A2A3A4關于 M 點成中心對稱，兩者是全等四邊形， 巴，H2，H3，H4在同一個圓上.后者的圓心設為 Q, Q 與 0 也關于 M 成中心對稱.由 0, M 兩點，Q 點就不 難確定了 .例 6. H 為厶 ABC 的垂心，D，E，F 分別是 BC，CA，

33、AB 的中心.一個以 H 為圓心的0H 交直線 EF, FD，DE 于 A，A2, B，Eb, C“ C2.求證：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989，加拿大數學奧林匹克訓練題)分析：只須證明 AA1=BB1=CC1即可.設BC=a, CA=b,AB=c,AABC 夕卜 接圓半徑為 R,0H 的半徑為r.連 HA1, AH 交 EF 于 M.AA=AM2+A1M2=AM2+r2- MH2=r2+(AM2- MH2),11又 AM2- HM2=( AH1)2-( AH-AH1)222AH AH1-AH2=AH2 AB-AH2=cosA bc- AH2,=2R= a2=4R2

34、s in2A.sin A/. AH2+a2=4R2, AH2=4R2-a2由、有=l(a2+b2+c2)-4 R2+r2同理，BB12=1(a2+b2+c2)-4 R2+r2,AHsin ABH=2R= AH2=4R2cos2A,AA12=r2+b2c2- a22bc-bc-(4 R2- a2)AEA1FHBCC1DEC2耳12CC12=1(a2+b2+c2)-4 R2+r2.24四、內心三角形內切圓的圓心，簡稱為內心.對于內心，要掌握張角公式，還要記住下面一個極為有用的等量關系:設 I 為厶 ABC 的內心，射線 AI 交厶 ABC 外接圓于 A ,則有 A l=A B=A C.換言之，點

35、A必是 IBC 之外心(內心的等量關系 之逆同樣有用).D例 7 . ABCD 為圓內接凸四邊形，取 DAB，ABC,ABCD， CDA 的內心 Oi， O2，O3， 04.求證：O1O2O3O4為矩形.(1986，中國數學奧林匹克集訓題)證明見中等數學1992; 4例 8.已知0O 內接 ABC， Q 切 AB，AC 于 E，F 且與0O 內切.試證：EF中點 P 是厶 ABC 之內心.(B 波拉索洛夫中學數學奧林匹克)分析：在第 20 屆 IMO 中，美國提供的一道題實際上是例8 的一種特例，但它增加了條件 AB=AC.當 AB = AC，怎樣證明呢?r如圖，顯然 EF 中點 P、圓心 Q

36、，BC 中點 K 都在/ BAC 平分線上.易知 AQ=si na由 RtEPQ知 PQ=sint r./.PK=PQ+QK=s in：r+s in：(2R_r)=s in：/.PK=BK.:-利用內心等量關系之逆定理，即知 P 是厶 ABC 這內心.五、旁心三角形的一條內角平分線與另兩個內角的外角平分線相交于一點，是旁切圓的圓心，稱為旁心 .旁心常常與內心聯系在一起,旁心還與三角形的半周長關系密切 例 9.在直角三角形中，求證：r+ra+rb+rc=2p.式中 r，ra，rb，rc分別表示內切圓半徑及與 a， b, c 相切的旁切圓半徑，p 表示半周.(杭州大學中學數學競賽習題)分析：設 R

37、t ABC 中，c 為斜邊，先來證明一個特性:P( P- c)=( p-a)( p-b).11/ p( p- c)= ( a+b+c) (a+b-c)22故有AAi=BBi=CCi.TQKAQ=MQQN,MQ QN/QK=一AQ(2R-r)r=sin :(2R-r)r /sin二2R.(a+b)2-c2aPCK、REODOEg ftg1ab ；211(p-a)( p- b)=(- a+b+c) ( a- b+c)221 1c2-( a- b)2=ab.4-p( p- c)=( p-司(p- b).觀察圖形，可得ra=AF- AC=p- b,b=BG-BC=D- a, rc=CK=p.1而 r=

38、 ( a+b-c)2=p- c-r+ra+rb+rc=(p- c)+( p- b)+( p-a)+p=4 p-( a+b+c)=2p.由及圖形易證.例 10. M 是AABC 邊 AB 上的任意一點.r，, r 分別是 AMC , BMC,AABC 內切圓的半徑，q?, q 分別是上述三角形在/部的旁切圓半徑.證明： E 2=丄.q q2q(IMO-12)分析：對任意 A B C,由正弦定理可知ACB 內OD=OA.Bsin2sinAOBsin A.A . Bsin sin2 2.A+Bsin2BO E= A BABcos cos22.A+Bsin2.CMA . CNBtg2 2tg Atg_

39、B=六、眾心共圓這有兩種情況：(1)同一點卻是不同三角形的不同的心；(2)同一圖形出現了同一三角形的幾個心 .例 11.設在圓內接凸六邊形 ABCDFE 中，AB=BC, CD=DE, EF=FA.試證：(1) AD, BE, CF 三條對角線交于一點;(2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAAK+BE+CF.(1991，國家教委數學試驗班招生試題)分析：連接 AC , CE, EA,由已知可證 AD, CF, EB 是厶 ACE 的三條內角平分線，I 為厶ACE 的內心.從而有 ID=CD=DE,IF=EF=FA,IB=AB=BC.再由 BDF，易證 BP, DQ, FS 是它的三條高，I

40、 是它的垂心，利用不等式有:BI+DI+FI 2 (IP+IQ4E5dos不難證明 IE=2IP , IA=2IQ , IC=2IS./BI+DI+FI IA+IE+IC./.AB+BC+CD + DE+EF + FA=2( BI+DI+FI)(IA+IE+IC)+( BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I 就是一點兩心例 12. ABC 的外心為 O, AB=AC , D 是 AB 中點，E 是厶 ACD 的重心.證明 0E 丄 CD.( 加拿大數學奧林匹克訓練題)分析：設 AM 為高亦為中線，取 AC 中點F , E 必在 DF 上且 DE: EF=2:1.設CD 交 AM 于 G, G

41、 必為 ABC 重心.連 GE, MF , MF 交 DC 于 K.易證：111DG: GK= DC:()DC=2:1.323/.DG: GK=DE: EF=GE/MF.TOD 丄 AB, MF / AB,/OD 丄 MF=，OD 丄 GE.但 OG 丄 DE = 易證 OE 丄 CD.例 13. ABC 中/C=30, O 是外心，I 是內心，邊 AC 上的 D 點與邊 BC 上的 E 點使得 AD=BE=AB.求證：OI 丄 DE, OI=DE.(1988，中國數學奧林匹克集訓題)分析：輔助線如圖所示，作/ DAO 平分線交 BC 于 K.易證AIDAIBAEIB,亦即有J12=tgtgq

42、22G 又是 ODE 之垂心.ADIF.KC例 14.分析:ZAID =ZAIB=ZEIB.利用內心張角公式，有1ZAIB=90+ZC=105,2:.Z DIE =360 -105 X3=45vZAKB=30+1ZDAO=301+(ZBAC-ZBAO)2=30+ _ (ZBAC-60)21=ZBAC=ZBAI=ZBEI.2:.AK /IE.由等腰 AOD 可知 DO 丄 AK,:.DO 丄 IE，即 DF 是厶 DIE 的一條高.同理 EO 是厶 DIE 之垂心，OI 丄 DE.由ZDIE=ZIDO，易知 OI=DE.銳角 ABC 中，O, G，H 分別是外心、重心、垂心.設外心到三邊距離和為

43、離和為 d重，垂心到三邊距離和為 d垂.求證：1 d垂+2 d外=3 - d重.這里用三角法.設厶 ABC 外接圓半徑為 1，三個內角記為 A，B，C. 易知 d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC，：2d外=2(cosA+coSB+cosC).vAH1=sinBAB=sinB(2 sinC)=2 sinB，sinC，同樣可得 BH2 CH3.：.3d重= ABC 三條高的和=2 (sinB sinC+sinC sinA+sinA sinB)BH:=2,si n BCH:-HH1=cosC BH=2 cosB cosC.同樣可得 HH2，HH3.:.d垂=HH1+HH2+H

44、H3=2(cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB)欲證結論，觀察、，d外，重心到三邊距O1G1H12須證(cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)= sinB sinC+sinC sinA+sinA sinB.即可.練習題1.1為厶ABC 之內心，射線 AI, Bl, CI 交厶 ABC 外接圓于 AB,C.則 AA+BB+CCAABC 周長.（1982，澳大利亞數學奧林匹克）2. T的三邊分別等于厶 T 的三條中線，且兩個三角形有一組角相等 .求證這兩個三角形相似.（1989，捷克數學奧林匹克）3. I 為厶 A

45、BC 的內心.取厶 IBC， ICA， IAB 的外心 Oi, O2，O3.求證： O1O2O3與厶 ABC 有公共的外心.（1988，美國數學奧林匹克）4. AD 為厶 ABC 內角平分線.取厶 ABC， ABD， ADC 的外心 O, O“ O?.則厶 OOQ?是等腰三角形.5. ABC 中/C 90，從 AB 上 M 點作 CA, CB 的垂線 MP, MQ. H 是厶 CPQ 的垂心.當 M 是 AB 上動點時，求 H 的軌跡.（IMO-7）16. ABC 的邊 BC= （ AB+AC），取 AB, AC 中點 M , N, G 為重心，I 為內心.試證：過 A, M , N 三點的圓與直線 GI 相切.（第 27 屆莫斯2科數學奧林匹克）7. 銳角 ABC 的垂心關于三邊的對稱點分別是 比，H2, H3.已知：比，H2,出，求作 ABC.（第 7 屆莫斯科數學奧林匹克）8. 已知 ABC 的三個旁心為 I1, I2, d 求證： I1I2I3是銳角三角形.9. AB