1、第一講注意添加平行線證題實用標準文檔文案大全在同一平面內，不相交的兩條直線叫平行線 .平行線是初中平面幾何最基本的 ，也是非常重要的圖形.在證明 某些平面幾何問題時，若能依據證題的需要，添加恰當的平行線，則能使證明順暢、 簡潔.添加平行線證題，一般有 如下四種情況.1為了改變角的位置大家知道，兩條平行直線被第三條直線所截 ，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補.利用這些性質，常可通 過添加平行線，將某些角的位置改變，以滿足求解的需要.例1 設P、Q為線段BC上兩點，且B% CQA為BC外一動點（如圖1）.當點A運動到使/ BAP= / CAQ, ABB什么三角形？試 證明你白結論.答：當點A運

2、動到使/ BAP= Z CAQABC等腰三角形.證明：如圖1,分別過點P、B作AC AQ的平行線得交點 D.連結DAD A在 DBP= /AQ曲，顯然/DBP= / AQC/ DPB= /C由 BP= CQ可知4DB國 AQCV有 DP= AC / BDP= / QACBQC于是,DA/ BP / BAP= / BDP圖 1則A、D R P四點共圓，且四邊形 ADB明等腰梯形.故AB= DP所以AB= AC這里，通過作平行線，將/QAC “平推”到/ BDP勺位置.由于A、D R P四點共圓，使證明很順暢. 例2如圖2,四邊形ABC時平行四邊形， / BAM / BCE 求證：/ EBA= /

3、ADE 證明：如圖2,分別過點A、B作ED EC的平行線，得交點P,連PEE由 AB 0D ,易知 PBA ECD有P 二二PA= EDPB= EC、AGjD顯然，四邊形PBCE PADE勻為平行四邊形.有/BCE= /BPE/APE= Z ADEB F C由/ BA已/ BCE可知/ BA展/ BPE圖2有P、R A E四點共圓.于是，/ EBA= / APE 所以，/ EBA= / ADE這里，通過添加平行線，使已知與未知中的四個角通過 P、B、A E四點共圓，緊密聯系起來./AP日成為/ EBA 與/ ADEK等的媒介，證法很巧妙.2為了改變線段的位置利用“平行線間距離相等”、“夾在平行

4、線間的平行線段相等”這兩條，常可通過添加平行線，將某些線段“送”到恰當位置，以證題.例3 在 ABC43, BD CE為角平分線，P為ED上任意一點.過P分別作AC AB BC的垂線，M N、Q為垂足.求證： PMF PN= PQ證明：如圖3,過點P作AB的平行線交BDN / e/p實用標準文檔于F,過點F作BC的平行線分別交 PQ AC于K、G連PG由BD平行/ ABC可知點F至1JAB BC兩邊距離相等.有KQ= PN顯然,需=EF = CG ,可知PG/ EC由CE平分/ BCA知G葉分/ FGA有PK= PM于是，PMF PN= P將 KQ= PQ這里，通過添加平行線，將PQ “掐開”

5、成兩段，證彳導PM= PK就有PMF PN= PQ證法非常簡捷3 為了線段比的轉化由于“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得對應線段成比例”，在一些問題中，可以通過添加平行線某些線段比的良性轉化.這在平面幾何證題中是會經常遇到的.例4 設M、M是ABC勺BC邊上的點，且BM= CM任作一直線分別交 AB AC AM AM于P、Q N、N2.，實現試證：AB AC AM1AM 2十=F AP AQ ANiAN2證明：如圖4,若PQ/ BC易證結論成立.若PQ與BCT平行，設PQ直線BC于D過點A作PQ勺平行線交直線 BC于 E.由BM = CM可知B曰CE= ME+ME,易知AB BE AC

6、CE=.=.AP DE AQ DEAM 1 M iE AM 2 M2E ,.ANi DE AN2DEntt AB AC BE CE ME M2E則F=AP AQ DEDEAB AC AM 1AM 2所以，十=1 + 2 .AP AQANiAN2AM 1ANiAM 2AN2這里，僅僅添加了一條平行線，將求證式中的四個線段比“通分”，使公分母為DE于是問題迎刃而解例5 AD ABC勺高線，K為AD上一點，BK交AC于E, CK交AB于F.求證：/ FDA= / EDA證明：如圖5,過點A作BC的平彳亍線，分別交直線 DE DF BE CF于Q PM M顯然，陽二KD二型.AN KA AM有 BD-

7、 AM= DC- AN(i)AP AF AM=有AP=皿AMBD FBBCBC文案大全實用標準文檔由皿= AE=", 有a會 DCN.(3)DC EC BCBC對比(1)、(2)、(3)有A2 AQ 顯然AD為PQ的中垂線，故AD平分/ PDQ所以,/ FDA= / EDA這里，原題并未涉及線段比，添加BC的平彳亍線，就有大量的比例式產生，恰當地運用這些比例式，就使AP與AQ 的相等關系顯現出來.4為了線段相等的傳遞當題目給出或求證某點為線段中點時 ，應注意到平行線等分線段定理 ，用平行線將線段相等的關系傳遞開去.例6 在 ABC3, AD是BC邊上的中線，點M在AB邊上，點N在AC

8、邊上,并且/ MDN= 90° .如果bM+ CN= dM+ DN,)1求證：aD=(a+aC).4證明：如圖6,過點B作AC的平行線交 ND 延長線于E.連ME由BD= DC可知ED= DN有 BE"4CND 于是，BE= NC顯然，MD EN的中垂線.有EM= MN由 bM + b= bM+ nC= mD+ dN = mN= eM,可知 bem為直角三角形，S6mbe= 90 .有ZABO / ACB=Z ABO / EBC= 902于是，/BAC= 90 . 所以，AD= -BC = 1(A+AC2).24這里，添加AC的平行線，將BC的以D為中點的性質傳遞給 EN使

9、解題找到出路.例7 如圖7, AB為半圓直徑，D為AB上一點，分別在半圓上取點 E、F,使EA= DAFB= DB過D作AB的垂線，交半圓于 C求證：CD¥分EF證明：如圖7,分別過點E、F作AB的垂線,G H為垂足，連FA EB易知 dB= f=ab- hb aD= aU=AG AB 二式相減，得 dBaD= AB- (HB-AG,或(DB- AD AB= AB- ( HB- AG 于是，DB- AD= HB- AG或 DB- HB= AD- AG就是DH= GD 顯然，EG/ CD/ FH 故C葉分EFEG FH從而得到G H兩點.證明這里，為證明CM分EF想到可先證 CD

10、65;分GH為此添加CD的兩條平行線很精彩.經過一點的若干直線稱為一組直線束一組直線束在一條直線上截得的線段相等，在該直線的平行直線上截得的線段也相等如圖8,三直線AB AN AC構成一組直線束，口蕾與BC平行的直線.于是，有DM_ am _MEBNAN,NC何 DMME 一DM BN即 或=BNNCME NC此式表明，DM= ME的充要條件是 BN= NC文案大全圖10實用標準文檔利用平行線白這一性質，解決某些線段相等的問題會很漂亮 例8 如圖9, ABC四四邊形,兩組對邊延長 后得交點E、F,對角線BD EFAC的延長 線交EF于G求證：EG= GF證明：如圖9,過C作EF的平行線分別交

11、AEAF于M N.由BD/ EF可知MIN/ BD易知Sk BEF= SL def 有 SaBEC= Sa n kg- *5 n dfc可得MC= CN 所以，EG= GF例9 如圖10,。是ABCW邊BC外的旁切圓，口 E、F分別為。O與BC CA AB的切點.若OD EF相交于K求證：AK平分BC證明：如圖10,過點K作BC的行平線分別交直線AB AC于Q P兩點，連OP OQOE OF由 ODL BC 可知 OKI PQ由OF! AB,可知O K、F、Q四點共圓，有/ FO® / FKQ由OEL AC可知Q K P、E四點共圓.有/EOP= / EKP顯然，/FKQ= / EK

12、P 可知/FOQ= / EOP由 OF= OE可知 Rt AOFQ2RtOEP 則 OQ= OP于是，OW PQ的中垂線，故QKf KP 所以，AK平分BC綜上，我們介紹了平行線在平面幾何問題中的應用.同學們在實踐中應注意適時添加平行線，讓平行線在平面幾何證題中發揮應有的作用.第二講巧添輔助圓在某些數學問題中，巧妙添置輔助圓常可以溝通直線形和圓的內在聯系，通過圓的有關性質找到解題途徑 .下面舉例說明添置輔助圓的若干思路.1 挖掘隱含的輔助圓解題有些問題的題設或圖形本身隱含著“點共圓”，此時若能把握問題提供的信息 ，恰當補出輔助圓，并合理挖掘圖形隱含的性質，就會使題設和結論的邏輯關系明朗化 .1

13、.1 作出三角形的外接圓例1 如圖1,在ABC中,AB= ACD是底邊BCa_上一點，E是線段AD上一點且/ BED= 2/CED=/A 求證：BD= 2CD: /EjX 分析：關鍵是尋求/ BED= Z/CED結論白聯系.'容易想到作/ BED勺平分線，但因B5 ED故不能Bt 幺& 米F直接證出BD= 2CD若延長AD交ABC勺外接圓圖i于F,則可得EB= EF從而獲取.證明：如圖1,延長A% ABC勺外接圓相交于點 F,連結CF與BF則/ BFA= / BCA= / ABC= / AFC即/ BFD= / CFD 故 BF CF= BD DC又/ BEF= / BAC/B

14、FE= / BCA從而/ FBE= / ABC= / ACB= / BFE文案大全實用標準文檔故 EB= EF.作/ BEF的平分線交 BF于G則BG= GF_ 1 因/GEF= ,/BEF= /CEF/GFE= / CFEaA FE9 FEC從而 GF= FC 2于是，BF= 2CF 故 BD= 2CD圖21.2 利用四點共圓例 2 凸四邊形 ABC珅,ZABC= 60° , / BAD=/ BCD= 90 ,AB= 2,CD= 1,對角線AC BD交于點O如圖2.則 sin / AOB=.分析：由/ BAD= / BCD= 90° 可知 A B G D四點共圓，欲求si

15、n Z AOB聯想到托勒密定理，只須求出BC AD即可.解：因/BAD= Z BCD= 90° ,故 A、B C D 四點共圓.延長 BA CD交于 P,則/ADR Z ABC= 60°設 AD= x,有 AP=& x, DP= 2x.由割線定理得(2 + <3 x) J3 x= 2x(1 + 2x).解得 AD= x= 2 J3 2, BC= 1 BP2由托勒密定理有BD。CA= (4 v13 )(2 33 2) + 2x 1 = 10 可312.又 SABCD= Sa AB 葉 Sa bcd=-15 6 . 3故 sin / AOB=26圖3例 3 已知：

16、如圖 3, AB= BC= CA= ADAH± CD H, CPL BCCP交 AH于 P.求證：3 ABC勺面積S= AP- BD 4一 '，3 一 ，3 一 一 一分析：因 Saabc= bC= AC, BC只須證AC- BC= AP-BD轉化為證4 APR BCD這由A、R C Q四點共圓易證（Q為BD與AH交點）.證明：記BD與AH交于點Q則由AC= ADAH!CD得/ ACQ= / ADQ 又 AB= AD 故/ ADO / ABQ從而，/ABQ= / ACQ可知A B C Q四點共圓. /APC= 90° +Z PCH= /BCD/CBQ= / CAQ

17、. .AP6ABCD . AC- BC= AP- BD于是,S= AC- BC= AP- BD2 構造相關的輔助圓解題有些問題貌似與圓無關，但問題的題設或結論或圖形提供了某些與圓的性質相似的信息，此時可大膽聯想構造出與題目相關的輔助圓，將原問題轉化為與圓有關的問題加以解決.文案大全實用標準文檔2.1 聯想圓的定義構造輔助圓例4 如圖4,四邊形 ABC珅,AB/ CDAD= DC = DB= p, BC= q.求對角線AC的長.分析：由“ AD= DC= DB= p”可知 A B、C在 半徑為p的。D上.利用圓的性質即可找到 AC與 p、q的關系.圖4解：延長CD交半徑為p的。D于E點，連結AE

18、 顯然A B C在O D上. AB/ CD BC= AE 從而，BC= AE= q. 在KACE公/ CAE= 90 ,CE= 2p, AE= q,故AC= JCE2 AE2 =4P2 q2 .2.2 聯想直徑的性質構造輔助圓例5已知拋物線y= x2+2x+8與x軸交于R C兩點，點D平分BC若在x軸上側的A點為拋物線上的動點 且/ BA8銳角，則AD的取值范圍是 .分析：由“/ BAC銳角”可知點 A在以定線段BC為直徑白圓外，又點A在x軸上側，從而可確定動點 A的范圍， 進而確定AD的取值范圍.解：如圖5,所給拋物線的頂點為A(1,9),對稱軸為x=1，與x軸交于兩點 B( 2,0)、 C

19、(4,0).分別以BC DA為直徑作。口。E,則兩圓與拋物線均交于兩點P(1 2j2,1)、Q1 +272 ,1).可知，點A在不含端點的拋物線 PAQ 內時，/BA(k 90 .且有 3=DP= DQc AD < DA= 9,即AD的取值范圍是 3<AD<9.2.3 聯想圓哥定理構造輔助圓例6 AD是Rt ABC斗邊BC上的高，/ B的平行線交 AD于M交AC于N,求證：A百一aN= BM-BN分析：因A百一AN=(AB+ AN( AB- AN=BM- BN而由題設易知 AMk AN聯想割線定理，構造輔助圓即可證得結論 證明：如圖6, / 2+Z 3=Z 4+Z 5 = 9

20、0° ,又/ 3=/ 4, / 1 = / 5, / 1 = / 2.從而，AM= AN以AM長為半彳5作。A交AB于F,交BA的延長線于E則AE= AF= AN由割線定理有圖6BM BN= BF- BE =(AB+ A5( AB- AF)= (AB+ AN(AB-AN =A戌AN,即 ABaN=BM- BN例7 如圖7, ABCOO O的內接四邊形，延長AB和DCf交于E延長AB和DC相交于E,延長AD和BCf交于F, EP 和FQ分別切。O于P、Q求證：EP+FQ= EP.文案大全實用標準文檔分析：因EP和FQ是。的切線，由結論聯想到切割線定理，構造輔助圓使ER FQ向EF轉化.

21、證明：如圖7,作 BCE勺外接圓交 EF于G連 結CG因 / FDC= Z ABG= / CGE故 F、D CG四點共圓.由切割線定理，有E= （EGF GF） - EF= EG- EF+ GF- EF= EC- ED+ FC- FB=EC- EA FC- FB= EP+ FQ,即 EP+ FC2= eE2.4 聯想托勒密定理構造輔助圓例8 如圖8, ABCW A B C 的三邊分別為 證：aa，= bbz + ccz .a、b、c 與 a* b，c，,且/ B= Z Bz , /A+ /A，= 180°分析：因/ B= /B，,/A+ /A，= 180。，由結論聯想到托勒密定理，曲

22、造圓內接四邊形加以證明證明：作ABC勺外接圓，過C作CD/ AB交圓于D,連結AD和BD如圖9所示./A+ / / = 180 = / A+ / DBCD又 AB/ DC可知 BD= AC= b, BC= AD= a.AD- BC= AB- DCF AC- BD/ BCD= / B= / B , /A/ = / D, /B，=Z A，Bz C s dcb右 A'B'B'C'A'C'DCCBDBc'a'b'. DCaDBac'ab'故 DC=,DB=.a'a'從而，由托勒密定理，得2 ac' . ab'a =c -F b . 故 aa，= bbz + ccz .a' a'練習題1 .作一個輔助圓證明： ABC43，若AD¥分/人則地=里AC DCAB BD BD（提不：不妨設 AB>AC作ADC勺外接圓交 AB于E,證 AB6 DBE從而=生=生 .）