1、歡迎閱讀歡迎閱讀高考數學第 18 題(概率與統計)1、求等可能性事件、互斥事件和相互獨立事件的概率 解此類題目常應用以下知識：card(A)m(1) 等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)=card=下; 等可能事件概率的計算步驟：計算一次試驗的基本事件總數n；設所求事件 A，并計算事件 A 包含的基本事件的個數m;依公式P(A)求值；答，即給問題一個明確的答復(2) 互斥事件有一個發生的概率：P(A + B)= P(A) + P(B);特例：對立事件的概率：P(A) + P(A)= P(A +A)= 1.相互獨立事件同時發生的概率：P(A B) = P(A) P(B);廠 、 ；k kn特

2、例：獨立重復試驗的概率：Pn(k)=Cnp (1P)其中 P 為事件 A 在一次試驗中發生的概率，此式為二項式(1-P)+Pn 展開的第 k+1 項.(4)解決概率問題要注意“四個步驟，一個結合”： 求概率的步驟是：r等可能事件互斥事件 獨立事件第一步，確定事件性質.n次獨立重復試驗即所給的問題歸結為四類事件中的某一種.j和事件第二步，判斷事件的運算積事件即是至少有一個發生，還是同時發生，分別運用相加或相乘事件等可能事件：P(A)=mn互斥事件： P(A - B ) =P(A) - P( B)獨立事件： P(A B ) =P(A) P(B)第三步，運用公式卜次獨立重復試驗：Png-Ch-p)g

3、求解第四步，答，即給提出的問題有一個明確的答復2.離散型隨機變量的分布列1隨機變量及相關概念1隨機試驗的結果可以用一個變量來表示， 這樣的變量叫做隨機變量，常用希臘字母E、n等表示.2隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量3隨機變量可以取某區間內的一切值，這樣的隨機變量叫做連續型隨機變量.2.離散型隨機變量的分布列1離散型隨機變量的分布列的概念和性質歡迎閱讀歡迎閱讀2常見的離散型隨機變量的分布列：（1） 二項分布n次獨立重復試驗中，事件 A 發生的次數是一個隨機變量，其所有可能的取值為 0, 1, 2,n，并且R =P（丄k） =Cnpkq5，其中0乞“n

4、,q/-p，隨機變量.的分布列如下:01P稱這樣隨機變量.服從二項分布，記作B（n，P），其中n、P為參數，并記：Cnpkqn- =b（k;n，p）i,/（2）幾何分布在獨立重復試驗中，某事件第一次發生時所作的試驗的次數是一個取值為正整數的離散型隨機變量，“=k”表示在第 k 次獨立重復試驗時事件第一次發生.隨機變量的概率分布為：123kPpqp3離散型隨機變量的期望與方差一I I隨機變量的數學期望和方差fJ I（1）離散型隨機變量的數學期望：E xp.xm2；期望反映隨機變量取值的平均水平 離散型隨機變量的方差：DX!-E ）2p!（X2-E）2p2（Xn-E-）2pn；方差反映隨機變量取值

5、的穩定與波動，集中與離散的程度.基本性質：E（aF） =aEUb；DQ+b） =a2D若 B（n, p）,貝UE二np; D =npq （這里 q=1-p）;=1_q_般地，設離散型隨機變量可能取的值為 X1, X2,Xi，的概率 P （二Xi） =R，則稱下表.為隨機變由概率的P量的概率分布，簡稱的分布列.性質可知，任一離散型隨機變量的分布列都具有下述兩個性質:(1)P _0i=1,2,；(2)歡迎閱讀歡迎閱讀如果隨機變量服從幾何分布，P=k）=g（k，p），貝U_p,D=p2其中 q=1-p.4抽樣方法與總體分布的估計抽樣方法歡迎閱讀歡迎閱讀N(0,1)若NZ2)，則P(a J :b)=(

6、b) - (旦)cra1 簡單隨機抽樣：設一個總體的個數為 N，如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次 抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣常用抽簽法和隨機數表法2系統抽樣：當總體中的個數較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照預先定出的規則,從每一部分抽取 1 個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統抽樣(也稱為機械抽樣) 3分層抽樣：當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所 占的比進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣總體分布的估計由于總體分布通常不易知道，我們往往用樣本的頻率分布去估計總體的分布， 一般地，樣本容量越 大，這種

7、估計就越精確.總體分布：總體取值的概率分布規律通常稱為總體分布 .當總體中的個體取不同數值很少時， 其頻率分布表由所取樣本的不同數值及相應的頻率表示，幾何表示就是相應的條形圖.當總體中的個體取值在某個區間上時用頻率分布直方圖來表示相應樣本的頻率分布總體密度曲線：當樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于 一條光滑曲線，即總體密度曲線.5正態分布與線性回歸1.正態分布的概念及主要性質(1)正態分布的概念如果連續型隨機變量的概率密度函數為0,則稱 服從正態分布，記為N).(2) 期望 E =卩，方差 D=b2.(3) 正態分布的性質正態曲線具有下列性質：1曲線在 x

8、軸上方，并且關于直線 x =卩對稱.2曲線在 x=卩時處于最高點，由這一點向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低3曲線的對稱軸位置由卩確定；曲線的形狀由二確定，二越大，曲線越“矮胖”；反之越“高瘦” 三C原則即為數值分布在(卩一c,卩中的概率為 0.6526數值分布在(卩一 2c,卩+中的概率為 0.9544數值分布在(卩一 3c,卩+中的概率為 0.9974(4) 標準正態分布當0,-=1 時服從標準的正態分布，記作N(0，1)(5) 兩個重要的公式蟻-K)=1 _(x)P(a 巴vb) =(b) (a)N*2)與N(0,1)二者聯系.f(x)二丄etL如,xR其中 6 卩為常數，并且歡迎閱讀歡迎閱

9、讀6.線性回歸1.簡單的說，線性回歸就是處理變量與變量之間的線性關系的一種數學方法 .變量和變量之間的關系大致可分為兩種類型：確定性的函數關系和不確定的函數關系 .不確定性的 兩個變量之間往往仍有規律可循回歸分析就是處理變量之間的相關關系的一種數量統計方法 它可 以提供變量之間相關關系的經驗公式 具體說來，對 n 個樣本數據（X1，yi）,（%2山），（冷川），其回歸直線方程：？ = =bX，召召，其nnZ 區一 X(yjy) z XiYnxy 中 R丄nnE (Xi一 nx2i 4i 4夕二 y-6X,x,y稱為樣本中心點,因而回歸直線過樣本中心點2當相關系數,表明兩設兩個隨關變量的取值分表

10、明是 （變量負相關翔越接近 1,表明兩變量的線性相 關性越強 x；ny；）越接變量!表明兩變量的線性相關計算公式乎不存在,通常當 r 0.75 時,認為兩個變量 有很強的線性相關關系=._I7.獨立性檢驗的概念一般地，假設有兩個分類變量 X 和丫，丫，它們的值域分別為 眩眩,x2和d ,其樣本頻數列聯表量有關系”，這種方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.（二）獨立性檢驗的基本思想獨立性檢驗的基本思想類似于反證法.要確認“兩個分類變量有關系”這一結論成立的可信程度,首先假設該結論不成立，即假設結論“兩個分類變量沒有關系”成立.在該假設下我們構造的隨-總計-1 1J總計n(ad - be)abed

11、a e b d來確定在多大程度上可以認為 “兩個分類變（稱為 2 2 列聯表）為:2歡迎閱讀歡迎閱讀機變量 K2應該很小,如果由觀測數據計算得到的 K2的觀測值 k 很大，則在一定程度上說明假設不合理.具體比較如下表：反證法原理與獨立性檢驗原理的比較歡迎閱讀歡迎閱讀反證法原理在假設Ho下，如果推出一個矛盾，就證明了Ho不成立.獨立性檢驗原理在假設H。下，如果出現一個與Ho矛盾的小概率事件，就推 斷Ho不成立,且該推斷犯錯誤的概率不超過這個小概率.（三）獨立性檢驗的方法假設比：“ X 與丫丫有關系”，可按如下步驟判斷結論Hi成立的可能性：1. 通過等高條形圖，可以粗略地判斷兩個分類變量是否有關系

12、，但是這種判斷無法精確地給出所得 結論的可靠程度.2. 利用獨立性檢驗來考查兩個分類變量是否有關系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度，具 體做法是：（1） 根據實際問題的需要確定容許推斷“兩個分類變量有關系”犯錯誤概率的上界a,然后通過下（3）如果k _ko, ,就推斷“ X 與丫丫有關系”. .這種推斷犯錯誤的概率不超過a; ;否則，就認為在犯錯I誤的概率不超過a的前提下不能推斷“ X 與丫丫有關系”，或者在樣本數據中沒有足夠證據支持結論“ X 與丫丫有關系”.理解總結根據獨立性檢驗的基本思想，可知對于 K2的觀測值 k,存在一個正數ko為判斷規則的臨界值，當k -ko, ,就認為“兩個分類變量之間有關系”；否則就認為“兩個分類變量沒有關系”. .在實際應用中, ,我們把k - ko解釋為有1 - P K2- ko100%的把握認為“兩個分類變量之間有關系”1 - P K2- ko1oo%的把握認為“兩個分類變量之間有關系” 個分類變量之間