1、高中數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)中“臨界問題”的處理策略和應(yīng)用 由一個學(xué)生提問引發(fā)的思考【摘要】：高中數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域，比如函數(shù)、解析幾何、立體幾何等等都會出現(xiàn)一些臨界問題的情況，而如何有效的處理臨界問題是解決一些題目的關(guān)鍵，本文從一個學(xué)生提問說起，提出了臨界問題的概念 ，高中數(shù)學(xué)中“臨界問題”處理的兩種方法以及臨界問題的兩個應(yīng)用.【關(guān)鍵詞】： 高中數(shù)學(xué) 臨界問題 策略學(xué)生小Y拿著一本講義來問問題：化簡，.她自己做出來的答案是.一開始我判斷她的答案是正確的，誰知她馬上拿出講義的參考答案，告訴了我她的疑惑：原來，答案上提供的參考答案是.她問是不是答案錯了，因為如果那么一定不會大于等于零了.我認真的思考了一下，終于

2、弄清了這道題關(guān)鍵的問題在于的時情況的討論，其實，是一個臨界的情況，它是把y0和y0區(qū)分開來的一個臨界點，而臨界點問題的確也是較為棘手的問題，在幫助小Y同學(xué)弄清了這道化簡題之后，我把它給備課組的其他老師做，結(jié)果五位老師里有兩老師做錯了，包括一位老教師和一位年輕的老師.在備課組激烈的討論之后，我覺得臨界問題的處理是高中數(shù)學(xué)中好多領(lǐng)域都要遇見的問題，而如何引導(dǎo)學(xué)生用正確合理的方法處理這類問題顯然值得老師們思考和研究.1 概念的界定臨界問題其實是一個物理學(xué)里的概念，物理學(xué)里所謂的臨界狀態(tài)是指當物體從一種運動狀態(tài)（或物理現(xiàn)象）轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N運動狀態(tài)（或物理現(xiàn)象）的轉(zhuǎn)折狀態(tài)，它既有前一種運動狀態(tài)（或物理現(xiàn)象

3、）的特點，又具有后一種運動狀態(tài)（或物理現(xiàn)象）的特點，起著承前啟后的轉(zhuǎn)折作用.而本文所闡述的“臨界問題”是指在高中數(shù)學(xué)的函數(shù)、解析幾何、立體幾何等領(lǐng)域中出現(xiàn)的由量變到質(zhì)變的過程，從一種現(xiàn)象或狀態(tài)到另一種現(xiàn)象或狀態(tài)轉(zhuǎn)變時的數(shù)學(xué)體現(xiàn).比如：函數(shù)的最值，傾斜角為90度的直線的斜率，線性規(guī)劃中的最優(yōu)解等等具體的問題,基本不等式中取到等號時情況等等.2 臨界問題與不等式的關(guān)系在高中數(shù)學(xué)中不等式具有重要的地位，不等式應(yīng)用廣泛、知識綜合、能力復(fù)合，高考考查時更多的是與函數(shù)、方程、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何及實際應(yīng)用問題相互交叉和綜合，很多時候都是將不等式及其性質(zhì)的運用滲透到這些問題的求解過程中進行考查

4、. 而這些知識相互交叉和綜合的問題中往往分布著很多種臨界情況，弄清了這些臨界情況，也就基本解決了不等式的問題，反過來臨界問題也往往通過不等式這個有效工具來解決和體現(xiàn).所以可以這樣說有臨界情況的地方就有不等式，有不等式的地方就有臨界問題，兩者相輔相成，不可以分離.3臨界問題的處理的兩種方法 如何有針對性的處理臨界問題直接影響著整個問題的解決，臨界問題其實是整個問題解決中的關(guān)鍵和如破口，是“牛鼻子”，接下來本文通過幾個高中數(shù)學(xué)的具體問題闡述了臨界問題處理的幾種方法.3.1“特別的愛給特別的你”，臨界情況單獨討論.雖然，臨界情況和其它非臨界情況相比，在數(shù)量上（具體表現(xiàn)為相關(guān)的集合的元素個數(shù)）相差甚遠

5、，但它作為量變引起質(zhì)變的關(guān)鍵點，在事物發(fā)展的過程中承前啟后，它是區(qū)別兩類問題的分水嶺，有時甚至不屬于前后任何一類，所以如果忽略了它的存在會導(dǎo)致嚴重的錯誤，因此，我們要給特別的“臨界問題”特別的“愛”，特別的關(guān)注，所以單獨研究，單獨處理臨界情況顯得特別重要.例1求函數(shù)的定義域（作業(yè)本，必修4，人教版，浙江省教育廳教研室編寫，第6頁，第8題）分析：，即，如果直接解這個不等式組，很多學(xué)生都會解錯，會漏掉x的終邊落在x軸的正半軸的情況分析，而sinx=0和tanx=0其實是等價的兩個條件，故本題如果把sinx=0這種臨界情況單獨拿出來討論會很大程度上增大正確解答此題的概率.解不等式組，討論：（1）如果

6、sinx=0,則tanx=0,即；（2）如果，則原不等式組可以化簡為，sinx0,角x的終邊位于第一、三象限，故x的終邊位于第三象限，所以；綜上所述：的定義域為本題是人教版作業(yè)本的一道題，學(xué)生作業(yè)交上以后，兩個班都只有三位同學(xué)做對了答案，因為學(xué)生們都沒有單獨考慮sinx=0這種臨界情況.筆者在A班,B班都里講解了該題，但是由于某種原因沒有在A班板演臨界情況單獨處理的方法，結(jié)果在第二天的作業(yè)里，出現(xiàn)了一道相類似的題目，而這道題學(xué)生答題情況的差別相當大.已知，求使等式成立的角x的集合（作業(yè)本，必修4，人教版，浙江省教育廳教研室編寫，第8頁，第8題）.以下是部分沒有用臨界情況單獨處理法的學(xué)生典型的錯

7、誤做法：=，且所以等式成立的角x的集合為而用了臨界情況單獨討論法的學(xué)生的解答如下：討論：（1）當?shù)仁斤@然成立； (2)當時 =，且由（1），(2)得等式成立的角x的集合：以上兩題班，班在兩次作業(yè)的正確人數(shù)如下：第一次作業(yè)第二次作業(yè)班班由這張統(tǒng)計表可一看出，在第一次作業(yè)的講解中板演過臨界情況單獨討論法的班在第二次作業(yè)中答對題的認數(shù)明顯多余沒有沒有講解過該法的班，從中我們可以看出臨界問題單獨討論的必要性和重要性.以上兩題如果不單獨討論臨界情況就很容易導(dǎo)致錯誤的解答，但是思維嚴謹?shù)膶W(xué)生還是能夠憑借超常的能力給出正確的解答.但是有些問題如果不單獨討論臨界情況就沒有人能做對了.例2.解關(guān)于x的不等式（作

8、業(yè)本，必修5，人教版，浙江省教育廳教研室編寫，39頁，第9題）討論：，對應(yīng)二次函數(shù)圖象開口向下，故原不等式的解集為；，故原不等式的解集為；故原不等式的解集為；故原不等式的解集為；故原不等式的解集為；以上的討論中，（）和（）的討論都可以理解為臨界情況，但是（）和（）是兩類不同的臨界情況，（）如果不單獨討論，也可以歸入第（）類或者第（）類，但是第（）類臨界情況的單獨討論是無法避免的，如果不討論a=0,則原不等式的解集就漏掉了一類情況，直接導(dǎo)致解題的錯誤.因此解決有些問題的時候，單獨討論臨界情況甚至是唯一的選擇.3.2“數(shù)缺形時少直觀”,臨界情況數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合就是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來

9、考察，根據(jù)解決問題的需要，可以把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題去討論，借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化,給人以直覺的啟示.更重要的是在解析幾何的很多問題中一些臨界情況的問題往往容易忽略，比如傾斜角為度的直線的斜率問題等等，而用數(shù)形結(jié)合的思想，利用圖象來解決一些解析幾何問題能起到事半公倍的效果.例3曲線y=1+2,2)與直線y=k(x2)+4有且只有一個公共點時，實數(shù)k的取值范圍是 將曲線的方程化簡得：,因為y =1+2,2)所以，故曲線是一個半圓，如圖：y=k(x2)+4是過定點P（2,4）的一系列動直線.討論：（1）圓的切線PT是一種臨界情況，此時直線與半

10、圓相切，剛好是一個公共點；（2）直線AP是一種臨界情況，此時直線與半圓剛好是有兩個公共點，直線繞定點P再往順時針旋轉(zhuǎn)則有兩個公共點，往逆時針旋轉(zhuǎn)則有一個公共點；（3）直線PB上是另一種臨界情況，此時直線與圓有且只有一個公共點，而且直線的斜率不存在，可以理解成直線的斜率趨向無窮大，如果直線再向逆時針方向旋轉(zhuǎn)在沒有公共點. 易求直線PT的斜率為 ，直線AP的斜率為 . 綜上所述：本題如果利用圖像，把問題轉(zhuǎn)化為幾個直線與半圓的公共點的問題，則可以很直觀的在圖像上觀察出PT,PA和PB這三種臨界情況，而弄得清楚這三種臨界情況的學(xué)生都能很準確的解決這道題.因此在解析幾何中，臨界情況數(shù)形結(jié)合的處理方法能夠

11、讓學(xué)生很快很直觀的抓住事情的本質(zhì)，輕松的解決問題. 臨界情況數(shù)形結(jié)合的處理方法在選擇題的求解過程中的作用更大. 例4. 如圖，已知是橢圓的兩個焦點，滿足=0的點M總在橢圓內(nèi)部，在橢圓離心率的取值范圍是（ ）（作業(yè)本，選修1-1，人教版，浙江省教育廳教研室編寫，第21頁，第3題）A.(0，1) B.(0， 本題是一道選擇題，但是依然有好多學(xué)生對這道題的解答沒有想法，即，點在橢圓內(nèi)部的臨界情況是在橢圓上，而在橢圓上運動時的最大值是在點的位置，故是的一個臨界情況，所以當?shù)?值為直角時是本題的一個臨界情況，而且這個臨界情況是剛好不滿足題目條件要求的情況，此時，角為度，所以是等腰直角三角形，此時，b=c

12、,所以離心率=，故選項中是取不到的，排除選項D,而且由于是一種臨界情況,所以排除選項A,B，很快得到正確的選項C.4 “臨界問題”的兩個應(yīng)用4.1挖掘隱藏臨界條件，解決“攔路難題”高中學(xué)生在解一些較難的數(shù)學(xué)習(xí)題時,往往會因條件不足而一籌莫展.其實,只要通過認真審題,透過現(xiàn)象看本質(zhì)，深入推敲和努力挖掘就不難發(fā)現(xiàn),在題目的字里行間隱含著他們所覓尋的臨界條件，一旦挖掘出這些臨界條件會,那么這些“攔路虎”就不像原來那樣可拍，學(xué)生就會茅塞頓開,領(lǐng)略到山窮水復(fù)疑無路,柳暗花明又一村的驚喜和成就感.如圖，正方體邊長為，是棱的中點，是側(cè)面上的動點，且/平面，則與平面所成角的正切值構(gòu)成的集合是 ( ) A. B

13、. C. D. 討論：本題的關(guān)鍵是找出滿足條件的點，學(xué)生們能很快的找出中點是滿足條件的一點，因為此時，所以. 可以很快求出，此時與平面所成角的正切為；這種情況是解決本題問題的一個顯性的臨界情況，能夠得出這個值，排除了這個選項，但是大多數(shù)學(xué)生都不能不能繼續(xù)往下做了.其實，解決本題只要挖掘出另一個隱藏的臨界情況問題就迎刃而解了，取的中點，連結(jié)，就能發(fā)現(xiàn)，四點共面，所以平面實為平面.現(xiàn)在要找/平面，要在平面找直線與平行即可，學(xué)生們很快的發(fā)現(xiàn)若作出的中點H，連結(jié),所以H點是找出的另一個滿足條件要求的F,但是滿懷的喜悅，享受的成就感的學(xué)生馬上就發(fā)現(xiàn)此時與平面的正切依然是2.根據(jù)滿足題目條件要求的H點的和

14、P點求出的正切值都是2，所以一部分學(xué)生覺得選項A是正確的.但是細心的學(xué)生挖掘出這個條件以后，很快得找出了一個很有用的結(jié)論；滿足條件的所有的點F都在線段PH上，即滿足條件的點F的軌跡是是線段PH,所以解決本題關(guān)鍵的一個臨界情況又出現(xiàn)了：線段的中點O，又因為垂直平面，所以在平面射影是，與平面所稱的角是角，在直角三角形中，于是得到正確選項. 本題有一定的難度，看似只有一個臨界點，而這一個臨界情況不能徹底幫助學(xué)生找到正確的答案，只有認真仔細地挖掘出另一個臨界點，進而找出整條線段，再找出關(guān)鍵的臨界點后，才能徹底解決問題，因此，如何透過現(xiàn)象看本質(zhì)，挖掘出隱含的臨界條件才是解決問題的關(guān)鍵.4.2 吃透臨界情

15、況，理解概念本質(zhì)透過現(xiàn)象看本質(zhì)，挖掘隱藏臨界條件不僅能解決某些難題，而且能夠幫助學(xué)生更深刻的理解一些概念，下面以圓錐曲線為例說明這個問題.眾所周知，橢圓，拋物線和雙曲線可以統(tǒng)一地定義為到定點的距離與到定直線的距離之比是常數(shù)的動點軌跡.而且拋物線是聯(lián)系橢圓和雙曲線的臨界狀態(tài)，圓則可以理解為另一種臨界狀態(tài).北京職工醫(yī)學(xué)院的田蓉老師曾在從統(tǒng)一方程看橢圓、拋物線和雙曲線之間的聯(lián)系一文中以定點到定直線作的垂線段的中點為坐標原點，以垂線段所在的直線為軸建系研究圓錐曲線之間的聯(lián)系.得到曲線的統(tǒng)一方程：討論：（1）當時，方程式可以化為，它表示的曲線是一個頂點在原點，另一個頂點為的橢圓；（2）當時，方程是.它表

16、示的曲線是頂點在原點開口向右的拋物線；（3）當時，方程式可以化為，它表示的曲線是一個頂點在原點，另一個頂點為，以軸為實軸的雙曲線.按照統(tǒng)一定義，.但是對于方程，方程也有意義，相應(yīng)的曲線恰好是圓，此時可以理解為焦點重合而準線在無窮遠處，所以圓可以理解為橢圓的一種臨界情況（或者說極限情況）.固定定點到定直線的距離（d），e從0逐漸增大時曲線形狀變化如下表：從谷老師給出的這張表(表二)中我們充分的看到了曲線的變化情況，而且關(guān)于臨界情況的挖掘能讓學(xué)生更深刻的體會圓錐曲線的概念和聯(lián)系：結(jié)論1.圓是橢圓的一種臨界情況；結(jié)論2.隨著e從0到以及到，有各種不同形狀的橢圓和雙曲線，而拋物線只有一種形狀，即拋物線只有一種形狀，并且它是由橢圓過渡到雙曲線的一種中間臨界狀態(tài)，這種臨界狀態(tài)是把橢圓和雙曲線這兩種形狀完全不同的曲線分隔開來的“分水嶺”；如下圖，拋物線可以理解成為另一個焦點和頂點都在無窮遠處的橢圓，此時長軸長也為無窮遠.而雙曲線也可以這樣理解：“雙曲線的左下半支和右上半支是一支，它在無窮遠處被斷開，而左上半支和右下半支也是一支，它在無窮遠處被斷開，如果想象在漸進線方向上有無窮遠處的點，便可