1、2019年北京高三模擬考試理科數學試題分類匯編.一立體幾何北京高三模擬考試理科數學試題分類匯編-一立體幾何5.某四棱錐的三視圖如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為1,則該四棱錐的體枳為（B ）A. 440C38.如圖1,矩形ABCO中，AO = .點上在A5邊上CELDE且AE = 1.如圖2,后沿直線。石向上折起成4。七.記二面角A-OE-A的平面角為8，當6e（O ,180°）時,存在某個位置,存在某個位置,任意兩個位置,直線DE和直線AC所成的角都不相等.圖2以上三個結論中正確的序號是（C ）A.B.C. (1X3)（2018年東城期末）（7）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐

2、的體積為（(A)iD.側（左）視圖(C)- 2正（主）視圖(D) 1 （2018年海淀期末）（7）某三棱錐的三視圖如圖所示，則卜.列說法中:三楨椎的體積為！6 三極錐的四個面全是直角三角形©二棱錐四個面的面積中最大的值是在 2所有正確的說法是（D ）（A）（B） ®（C）（D） （2018年西城期末） 13.從一個長方體中截取部分幾何體，得到一個以原長方體的部分頂點為頂點的凸多面體，其三視圖如圖所示.該幾何體的表面積是_36一（2018年豐臺期末）正（主）視圖側（左）視圖俯視圖他視圖A. 2D. 3（2018年石景山期末）7.九章算術卷五商功中有如卜問題：今有芻費（底面為矩

3、形的屋脊狀的幾何體）,F廣三丈,袤四丈,上袤二丈，無廣，高一丈，問積幾何.卜圖網格紙中實線部分為此芻薨的三視圖，設網格紙上每個小正方形的邊長為1丈，那么此芻死的體積為（B ） 卜一 A. 3立方丈 B. 5立方丈 C. 6立方丈D. 12立方丈6.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長的棱的棱長為（2018年昌平期末）5 .某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的四個側面中，面積的最小值為（B ）2019年北京高三模擬考試理科數學試題分類匯編一立體幾何俯視圖A. 1 B. 72C. 2 D. 20（2018年通州期末）8.如圖，各棱長均為1的正三棱柱A6C AM.，N分別為線段A8,耳。上的動

4、點，若點、M ,N所在直線與平面ACGA不相交,點。為MV中點9則。點的軌跡的長度是（B ）A.B.BC. 1D.近13.在正方形網格中，某四面體的三視圖如圖所示.已知小正方形網格的邊長為1,那么該四面體的四個面中，面枳最大的面的面枳是12.（2018年房山期末）（7）如圖，網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積是(A) 120(B) 60(C) 24(D) 20（2018年朝陽一模）6 .某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體枳等于（D2019年北京高三模擬考試理科數學試題分類匯編.一立體幾何正（主）視圖 w （左）視圖（2018年東城一模）（12

5、）某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積為 12 + 2。.（2018年海淀一模）（6）如圖所示，一個棱長為1的正方體在一個水平放置的轉盤上轉動，用垂直 于豎直墻面的水平光線照射，該正方體在豎直墻面上的投影的面積記作S,則S 的值不可能是（D ）(A) 3百(C) 6+幣正視圖-2 - Has4 3)-（2018年西城一模）4.正三楂柱的三視圖如圖所示，該正三棱柱的表面積是（D ）(B)也2(D) 6 + 2614.如圖，在長方體488-A4a2中，明 =48 = 2, BC = 1,點P在側面AA84上.若點P到直線4A和CD的距離相等,則4。的最小值是一 （2018年豐臺一模）（6）某

6、三棱錐的三視圖如圖所不，則該三極錐的體積為 （A2 (A) §8（2018年石景山一模）5.若某多面體的三視圖（單位：。7）如圖所示,主視圖(C) 2(D)-則此多面體的體積是（A ）7 2A.cm3B. cm38 3側視圖（2018年朝陽二模）12.已知某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的底面和三個側面中，直角三角形的個數是 3.俯視圖14.如圖，己知四面體ABC。的極平面a,且=其余的樓長均為1.四面體ABC。以AB所在的直線為軸旋轉x弧度，且始終在水平放置的平面a上方.如果將四面體ABCD在平面a內正投影面積在看成關于工的函數，記為S"）,則函數S（x）的最小值為4

7、： S（x）的最小正周期為兀.2019年北京高三模擬考試理科數學試題分類匯編一立體幾何（2018年東城二模）（12）如圖，已知正方體的邊長為I,若過立線8。的平面與該正方體的面相交，交線圍城一個菱形，則該菱形的面積為V62（2018年海淀二模）（14）如圖，棱長為2的正方體ABCZ）- ABCA中，M是棱AA的中 點，點P在側面ABB1從內，若4P垂直于CM,則APBC的面積的最 小值為一正 .（2018年西城二模）4.某正四棱錐的正（主）視圖和俯視圖如圖所示，該正四棱錐的側面積是（B ）(A)12(B)45/10(C)(D)俯視圖（2018年豐臺二模）（14）如圖，在矩形A5C。中，AB =

8、 4, AD = 2,七為邊A8的中點.將七沿。石翻折，得到四棱錐A OEBC.設線段AC的中點為M,在翻折過程中，有卜.列三個命題:總有瓶平面AQE： 三校錐ca。七體積的最大值為手;2019年北京高三模擬考試理科數學試題分類匯編.一立體幾何俯視圖-2 -左視圖*43 -H主視圖(A) 4(B) 141(C) V7(D) 2® 存在某個位置，使。石與A,所成的角為900.其中正確的命題是_.（寫出好歹正確命題的序號）（2018年昌平二模）7.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的所有面中最大面的面積是（B ）A. 4B. >/5C. 2D. V2（2018年房山二模）（6）已

9、知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長極為（B ）惻（左）視圖（2018年順義二模） 4.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體枳是（85/316A.B. C.8V3 D.16 33解答題部分：（2018年朝陽期末）17.（本小題滿分14分）如圖，在三棱柱45CA14G中，乙4c6 = 90', D是線段AC的中點，且平面A5C.（I）求證：平面A/C1平面aacc；（II）求證：5c平面450；（III ）若 AS，4C, AC=BC = 2 ,求二面角A-AR-C的余弦值.（I ）證明：因為NAC8 = 90 ,所以8C_LAC.因為4004。=。，所以5CJ_平面AAGC

10、.所以5c平面45。.8分根據題意，AQ_L平面A5C, 6CU平面4SC,所以（IH）如圖，取AS的中點尸，則。尸6C, 因為8CJ.AC,所以OF_LAC, 又因為A。_L平面ABC,所以OF.OCOA兩兩垂直.以。為原點，分別以。尸,。4為x,y,z軸建立空間坐標系（如圖）.由（I ）可知，8CJ_平面AAGC.所以5C1AG.又因為A51AG，BCQAlB = B,所以4C；_L平面A/C,所以AG 1 AC,所以四邊形MGC為菱形.由已知AC=8C = 2,則 4(0,-1,0), C(0,l,0), B(2,l,0), A(0、0，g)設平面A/5的一個法向量為 = (x,y,z)

11、，因為麗=（01,JJ）,珈= （2,2.0）,所以n AA 0,即()，+ 底=0,n AB = 0, 2x + 2y = 0.設 Z = l，則 =再設平面ABC的一個法向量為5二（西,乂,乙），因為離=（。,"）,而仔。）,叫:群，即嘉”。設 4=1,則7=(0.",1卜故 |COS(L)| =-3+11 77"x2不由圖知，二面角A A3 C的平面角為銳角,所以二面角A-A,B-C的余弦值為立.714分RC（2018年東城期末）（17）（本小題14分】如圖，在四棱錐E-ABCD中，平面AOEL平面48。,。也分別為線段ADOE的中點.四邊形88。是邊長為1

12、的正方形，AE=DE, AE±DE.求證：CM/平面ABE；(II )求直線。石與平面A8E所成角的正弦值:(ni)點N在直線4。上，若平面平面ABE，求線段4N的長.證明：(I )取線段中點尸,連接BA MP.因為點M為。E中點，所以M尸 A。，MP = -AD.2又因為&W為正方形，所以8CAO, BC = AD ,所以BC H MP，BC=MP.所以四邊形BCM尸為平行四邊形，所以CMU BP.因為CA/u平面神七，平面ABE， 所以CW 平面ABE.(II )連接EO.因為他=。石，O為4)中點，所以EO_LA。.因為EOu平面ADE,平面平面A8CD,平面也比D平面

13、ABC0 = A£所以EO1OB.EO1OD 又因為正方形8COO.所以OB_LQQ.如圖所示，建立空間直角坐標系乙4(0,-1,0), 8(1,0,0), C(l,l,0), £>(0,1,0), E(0.0.1), A/l設平面ABE的法向量為，=(.y,z),痛= (1,1,0). 玄= (0,1.1),則有AB m = 0, 即 AE m = 0.x+y = 0,y + Z = 0.令y = -l,則x=z = l，即平面ABE的一個法向量為7 = (1,cos所以直線上與平面ABE所成角的正弦值為平(III)設麗=疝5,所以N = (O,40),所以麗= (

14、l,T,0), MB =設平面6MN的法向量為= (",、)，則有NB n = 0,MB /? = 0.一4，=0,11cu v w = 0.22S,令 口=1,貝=因為 CN n = Q > 則"=iv = 2A 1.即平面BMN的一個法向量為=（兒1,2/1 -1）.因為平面BMVJL平面ABE,所以，小 =0.25解得丸=5，所以AN = 1 （2018年海淀期末）（17）（本小題14分）如圖 1,梯形 A6C。中，AD/ BC , CD18C, 6c=8 = 1, 4）=2, E 為 A。中點.將 A46萬 沿6石翻折到的位置，使E = D如圖2.（I ）求證

15、，平面AE0，平面88E：（II）求AB與平面ACD所成角的正弦值:（III）設M、N分別為從后和5c的中點，試比較三棱錐M 和三棱錐N A。（圖中未畫出） 的體積大小，并說明理由.圖117.（本小題14分）5C=1，AD = 2.（I ）證明：由圖 1,梯形45CD中，AD/BC. CDA.BC, E為4。中點，BELAD 故圖 2, BE 1 E, BE上 DE因為4石口。七=七，4七，。七u平面AOE2分所以6E_L平面A。七3分因為6Eu平面68石，所以平面4。七，平面68E（II）解一：取。七中點O,連接OA，ON.因為在AAOE中，E - D = DE = lt。為OE中點2019

16、年北京高三模擬考試理科數學試題分類匯編立體幾何所以A0_LOE因為平面DE ±平面BCDE平面A,DE n平面BCDE = DE所以平面BCDE因為在正方形5COE中，0、N分別為DE、8C的中點, 所以ONJ.DE建系如圖.則A(0,0.g),o(oj.o),七(0,-：,0)幺5分麗=（i弓，邛）4。=(。，5,* dc=(i,o,o).設平面ACD的法向量為G = （x,y,Z）,則/- AD = 0一，即DC = 01 ,_A/3 _2 2 "一，令z = i得，y = 6、 x=0所以i 是平面的一個方向量.0 -406>/6B-n" 24所以與平

17、面CD所成角的正弦值為'（II ）解二：在平面AOE內作EF_LED,由6七_L平面AOE，建系如圖.7分9分10分則 4(。，；.芋)，BQ0.0) , C(l,l,0) , D(0,L0),七(0,0,0)5分猛=(0，:苧，比=(1,0,0), AQ = 0r I ，即nDC = 0設平面ACD的法向量為G = (x,y,Z)，則= 0L2 ,2，令 z = l 得，y =摳、x=0所以3 = (0, J11)是平面A,。的一個方向量.cos < ABji >=A8I麗.向= -f=-=41 24所以Afi與平面CD所成角的正弦值為 410分(III)解：三棱錐M -

18、 ACO和三棱錐N ACO的體積相等.理由如下: 方法一：由(0；,空)，N(l,g,0),知麗=(1,_?)，則11分MNn = Q13分12分所以平面4口。.故點M、N到平面A。的距離相等，有三棱錐M-ACZ)和N - ACO同底等高，所以體枳相14分方法二：如圖，取。七中點P,連接用P, NP, MN.因為在A4QE中，M , P分別是AE,。石的中點，所以MPA、D因為在正方形5COE中，N, P分別是6C,。上的中點，所以NP/CD 因為A/-nN = ，MP , NPu 平面 MNP, A。，CDu 平面 AC。所以平面MNP 平面A。11分因為腦Vu平面MVP,12分所以MN/平

19、面A。13分故點、N到平面AC。的距離相等，有三棱錐M - ACO和N - A1c。同底等高，所以體積相等.14分方法三：如圖，取A。中點2,連接MN, MQ, CQ.因為在AAOE中，M, 0分別是AE, A。的中點，所以M。七。且=因為在正方形6COE中，N是5c的中點，所以NCEDRNC = =ED2所以MQ"NCRMQ = NC,故四邊形MNC0是平行四邊形，故MNHCQ11分因為CQu平面A。，用%/平面4。，12分所以MN平面A。13分故點M、N到平面A。的距離相等，有三棱錐M ACZ）和N AC。同底等高，所以體積相等.14分（2018年西城期末）AA = AB = A

20、C = 2 , NA AC = 60 .17.（本小題滿分14分）如圖，三棱柱A8C-A4G中，平面AAG。， 過AAy的平面交B£于點E ,交BC于點F.（I ）求證：AC_L平面ABC1：（H）求證：四邊形A4EF為平行四邊形：（III）若巨£ = 2,求二而角8-Ag-尸的大小.BC 3解：（I ）因為河，平面AAGC,所以CLAB.因為 三棱柱48。一4用。中，AA, = AC.所以四邊形AAGC為菱形，所以 AC«LAC-3 分2019年北京高三模擬考試理科數學試題分類匯編一立體幾何 所以AC_L平面ABC一4分(H)因為AAHB'B , 4人已

21、平面BBC。，所以AA 平面B81GC. 5分因為 平面招了戶口平面84GC=£F,所以A.A/EF .6分因為平面A8C/平面人盧£,平面A4£Fn平面A3C = AF，平面A4" Cl平面A4G =4?，所以EHAF .7分所以四邊形AAE廠為平行四邊形.8分(III)在平面A41GC內，過A作4_LAC.因為平面AACC，如圖建立空間直角坐標系A-RZ . 9分由題意得，A(0.0.0), 5(2,0.0) , C(0.2.0),兒(0.1,回，9(0,3,®因為 = » 所以 BF = BC = (,0)»BC 33

22、3 3所以 F(-,-,0).由(I)得平面ABC1的法向量為索=(0.1，-&)b/設平面AC.F的法向量為 =(x,y,z),/則卜勺即廣"b“AF = O、m +/令 y = l,則 x = -2， Z = - B，所以 =(一2,1,-6).所以|cos,%?|=匹竺=也. |加 2由圖知 二面角AC-尸的平面角是銳角，所以二面角Ag-尸的大小為45°.(2018年豐臺期末)17.在四棱錐P-A3C。中，底面A3CQ是矩形，側棱尸A_L底面A8C。,PA = AD = 2 . CD = >/?.(I )求證：平面240：(II)求PC與平面EFO所成角

23、的正弦值；落11 分13 分14 分瓦上分別是AB, PC的中點,2019年北京高三模擬考試理科數學試題分類匯編.一立體幾何(HI)在棱6c上.是否存在一點M ,使得平面，平面)曾？若存在，求出也的值：若不存在,BC請說明理由.17.解：(I )證明：取P。中點G,連接AG,尸G.因為尸,G分別是尸C, PO的中點，所以FGCD,且尸G = LcO.2因為48co是矩形，七是A5中點，所以AE/G, AE = FG.所以AEFG為平行四邊形.所以E尸 AG.又因為4Gu平面。A。，上尸仁平面P4O, 所以正尸平而Q4O.(H)因為Q4_L平面A5c。，所以Q4_LA6, PALAD.因為四邊形

24、A8CQ是矩形，所以 如圖建立宜角坐標系Axyz >0r像。2所以育= (0.1,1), DE =設平面EFD的法向量為 =(x, y, z)，y+z = o-x-2y = 0令y = l,所以，所以3 =(2夜,1,一1卜又因為正=(點2-21設PC與平面EFD所成角為8,所以 sin 6= cos四， 4 + 2 + 2 _ 4pc|-|/?| >/To->/io 5'4所以PC與平面EFD所成角的正弦值為-.(III)因為側棱PA底面ABC。，所以只要在6c上找到一點A1,使得£>EJLAM,即“r證明平面PAM _L平面EFD.設6c上存在一點

25、M,則M(JJ/0)(f£0,2),所以而7=(JIj,0).因為麗=-,2,o,I 2 J所以令而Efi = 0,即一l+21 = 0,所以/= L2所以在8C存在一點例，使得平面QAM J_平面)曾，且也 = !_.BC 4（2018年石景山期末）17 .（本小題共14分）如圖，在四棱錐尸一46。中，底面人5c。為矩形，平面PCDJL平面人58, 6c = 1, AB = 2, pc= PD = &, E為PA 中點.（I ）求證：PC/平面BED；（ID求二面角4 一尸。一。的余弦值：PM（HI）在棱PC上是否存在點M,使得6M_LAC?若存在，求一的值：若不存在，說明

26、理由.PC解：（I ）證明：設AC與8。的交點為尸，連接EF.因為A5CZ）為矩形，所以尸為AC的中點， 在APAC中，由已知E為PA中點，所以EFUPC,2分又上尸u平面BED,尸C<Z平面8E£）,3分所以尸C/平面6EO.4分（11 ）解.：取CD中點O,連接PO.因為APCD是等腰三角形，。為。的中點,所以 PO_LCD,又因為平面PCD 1平面ABCD,2019年北京高三模擬考試理科數學試題分類匯編一立體幾何因為Ou平面PC。，PO1CD, 所以尸O1平面A5CD.5分取A3中點G,連接OG,由題設知四邊形A8CD為矩形，所以 OF _L CO, 所以尸O_LOG.如

27、圖建立空間直角坐標系O-冷Z，則4(1,一1,0)，0(0.1.0)，尸(0,0)，0(0,1,0), 8(U,0)，0(0,0,0), G(l,0,0).平面PCD的法向量為OG = (1,0.0),設，OG的夾角為所以cosa一;.9分由圖可知二面角八一尸。一。為銳角，所以二面角A PC8的余弦值為半.10分(HI)設朋是棱PC上一點，則存在使得閑 =2斤.因此點-，M=(-L2-Ll-2), AC = (-LZO).12 分 由麗無己=0,即2所以在棱FC上存在點使得6M«LAC,PC14分12019年北京高三模擬考試理科數學試題分類匯編.一立體幾何(2018年昌平期末)18

28、.(本小題14分)如圖，在四棱錐尸一A8CD中，底面A8CD是邊長為2的菱形，ZABC= 60%為正三角形，且 側面以8,底面ABC。，E為線段A8的中點，”在線段尸。上(I)當”是線段P。的中點時，求證：P5平面ACM：(n)求證：PE1AC：在，求出也的值：若不存在，請說明理由.PD(III)是否存在點M,使二面角M EC 。的大小為60。，若存(I)證明：連接80交AC于點，連接因為四邊形A88 是菱形，所以點為8。的中點.又因為“為尸。的中點，所以又因為8尸2平面ACM, AWu平而AC"所以尸8 /平面ACM.(II)證明：因為ARAB為正三角形，上為43的中點，所以p&#

29、163;_LA8.因為平面QA8L平面ABCD.平面尸A8A平面A8C0=A8, PEU平面PAB,所以PE_L平面A6CD又因為ACu平面A8CZ), 所以PEJ.AC.8分(III)因為ABCO是菱形，NA8C=60。，E是AB的中點,所以CE±AB.又因為PE _L平面ABC。，以上為原點，分別以E&ECEP為x,y,z軸, 建立空間直角坐標系七-q2,則上(0,0,0), B(1,0,0), P(0,0,處 C(0. >/3,0), D(-2,V3,0).假設棱。上存在點M,設點M坐標為(總義之)，/W=2PD(O<A<1), 則(x,N 6) =

30、/(-2,>/3,->/3),所以 (一2人血,6(1 /1),所以麗=(一2兒居,"(1 九)，反=(0.6,0),設平面CEM的法向量為= ",)")，則 EM = -2 Ax + >/3Ay + V3(l - )z = 0fy = 0n-EC = V3y = 0，=同 T)z令Z = 2/l,則x = ®l_%),得 = (VJ(l-/l),0,2/Q. 因為尸E_L平面ABCD,所以平面ABCD的法向量，= (0.0.1),所以 cos, m) = m| I m |2Aj4/p+3(1y2AS-) -64 + 3因為二面角M -

31、 EC。的大小為60。,所以： = iV7A2-6A + 3 2即3萬+2之-1 = 0,解得4 =，或2 = -1 （舍去）3二面角M-EC-。的大小為60。.所以在棱尸。上存在點M,當絲=1時,PD 314分（2018年通州期末）17（本本滿分14分）D；如圖，在四棱柱ABCQ-AaC。中，A% J平面45co，底面ABC。為梯形，ADHBC ,AB = DC = , AD = AAi=-BC = 21點尸，o分別為A2，4。的中點.（I ）求證：C。平面P4C”（II）求二面角C-AP-。的余弦值：（川）在線段6c上是否存在點E,使PE與平面PAG所成角的正弦值是過巳，若存在，求5七的

32、*21長；若不存在，請說明理由.17.解：（I）連接P。，因為點P,。分別為AA，AO的中點，所以尸0。，PQ = qc.所以四邊形PQCQ是平行四邊形.所以C。.因為c°（z平面PAG，CPU平面PAC”2019年北京高三模擬考試理科數學試題分類匯編立體幾何所以C。平面E4G.4分（H）因為平面A5CD, A4J/P。，所以尸。_1_平面A5CD.5分所以以。為坐標原點，分別以直線0A,。2為x軸，z軸建立空間直角坐標系。4憶，則y軸 在平面ABCZ）內.所以 4(1,0,0),尸(0,0,2), G(-2,1,2), 6(24,0), 所以中二(1,0,-2), PC； =(-2

33、,1,0). 7 分設平面PAC1的法向量為G = (x,y,z),所以/,竺”即尸2=0, n . PC=0, -2x + y = 0.所以 =(2.4.1).8分設平面PAD的法向量為m =(0,1,0)，所以cos4 _45/2TVJTxi_ 21又二面角£一42一。為銳角,所以二面角G-AP-D的余弦值是笫I10分（田）存在,設點上（4,1,0）,所以而二（。,1,一2）.設?石與平面PAC所成角為夕，所以sin£= cosp.PE，2y/1421所以十三=亞解得貶Ider +52114分（2018年房山期末）（17）如圖幾何體 ADM-BCN 中，A8C。是正方形

34、，CDM/, AOJ_A/DC£）J.CN, ZA/DC= 120°,ACDN = 309 , MN=2MD=4.（I ）求證：A8平面。OA/N； （ H ）求證：ON _L 平面AM。；（III）求二面角N-AM-。的余弦值.（17）解：（I ）在正方形A5C£中，AB/CD：2019年北京高三模擬考試理科數學試題分類匯編一立體幾何又CD u 而MNCD , AB（Z 面MNCD ；.Ab面MNCD5 分（11）,四邊形A6CD是正方形S.ADLDC ： AD1MD, CDA MD=D, CD, MOu平面MNC。.AO_L 平面MNCO DN u MNCD：

35、.ADLDN ZMDC= 120°, 4CDN = 30°AMDN = 90,ND1 MDv ADCMD=D, AO, MOu 平面AM。/. DN _L iftlAMD10分（山）法i：以點d為坐標原點，建立空間直角坐標系D-xyz , 如圖所示；由 （II ）DN = 2 耳 CD = 3、CN = VI ；/. £)(0,0,0), A(0,0,3), A/ (2,0,0), N(0,2VJ,O)AM = (2,0-3),A7V= (0,2>/3-3),D2V = (0,2百,0)設面 AMN的法向量"=(x, y, z),_f 3 /?&#

36、177; AM2x-3z = 0 = A - 2r=Tz令 Z = 2,貝h = 3, y = VJ, .,.亓=(3,6,2)萬晨 nDN 2V3V3 V3. cos< 兒DN >= =| | ON | 2V3V164由圖nj"知二面角N-AM-D為銳角14分二面角N-AA/ 。的余弦值為" 4法2：以點C為坐標原點，建立空間直角坐標系。一與2，如圖所示；由（H） DN = 2瓜CD = 3,CN = ；C(0,0.0),。(3,0,0). 4(303),N(0,6.0) .AM = (1,括，-3),麗=(-3,73-3),DA? = (-3,73,0)設面

37、AA/N的法向量府=(x,y,z)，t n 1AM x+V3y-3z = 0 x = 0亓 1 而 -3x+VJy_3z = 0 y = V3z 令 Z = 1,則y = 6 ,二 n = (0,V3J)- nDN 3 V3/. cos < ，DN >= _ ，= | n | DN | 2V3-24由圖可知二面角NAM-。為銳角.二面角N-AA/-。的余弦值為巫.14分4（2018年朝陽一模）16.（本小題滿分14分）如圖1,在矩形468中，AB = 2, BC = 4, E為AD的中點，。為6石中點.將AA5E沿8E折起到A8E,使得平面A6E_L平面5coE （如圖2）.（I

38、）求證：AO1CD；（II）求直線AC與平面ADE所成角的正弦值：4P（IH）在線段AC上是否存在點P,使得。尸平面AOE?若存在，求出廠的值：若不存在，請說明A V因為平面A!BE 1平面BCDE,且平面ABED平面BCDE = BE ,4AOu平面A5E,所以AOJ_平面SCOE.又因為C£>u平面SCDE,所以A'OJ.CQ.5分（II ）設廠為線段8C上靠近8點的四等分點，G為CD中點-由已知易得OFLOG.D2019年北京高三模擬考試理科數學試題分類匯編.一立體幾何由（I ）可知，AOJL平面3CDE,所以AO_LQF, A!OLOG.以。為原點，OEOG.Q

39、A所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系（如圖）.因為A6 = 2, 6c = 4,所以 A'（0,0,y/2）9 B（lt -1,0）, C（L3,0）, D（-13,0）, E（-1,1,0）.設平面AOE的一個法向量為z =（8,%,，），因為瓶=(一 1,3, - VT),瓦=(0, - 2,0),所以fn人'方=0,即卜須十3%一任=0, 小母=0,_2乂=0.取4=-1,得加= (JI,0,-1).而46=(1,3,-仞.所以直線AC與平面AOE所成角的正弦值sin 6 =I 272 I V2 12/第 310分（III）在線段AC上存在點尸，使得O尸平面4O

40、E.A'p 設尸。，穌,4），且k = 4（0V/l«l）,則A/ = /lAC, 2g0J.A C因為4'（0,0,應）,。（1,3,0）,所以（天,穌4一無）=（434-血），所以, =尢穌=344 =應-0，所以尸（九3九J2e）,。戶=（九34,0一07）.若OP平面A'OE,則。戶，,.即O戶6=0.由（11）可知，平面4。石的一個法向量膽=（、/1。,一1）.即一& + e = 0,解得N = gwO,l,Afp 1所以當 =士時，OP平面ADE.14分A:C 2（2018年東城一模）（17）（本小題14分）如圖1,在邊長為2的正方形ABC

41、O中，P為CD中點、,分別將陽, P8C沿24, P8所在直線折疊，使點。與點。重合于點。，如圖2.在三棱錐"中，E為PB的中點、（I ）求證：PO1AB:（II）求直線所與平面尸OA所成角的正弦值；（III）求二面角尸一AO-E的大小.圖1圖2證明：（I ）在正方形A8C。中，P為CD中點、,PDLAD.PCLBC所以在三棱錐P-O48中，POIOA POLOB.因為。10。8 =。，所以尸平面O4B.因為A8u平面。48,所以4分（II ）取AB中點F,連接OF,取AO中點M,連接BM.過點。作45的平行線OG.因為尸OJ_平面。48,所以POLOF, POLOG.因為04 =

42、08,尸為人8的中點，目f以。尸，AB.所以OFJ_OG.如圖所不，建立空間立角坐標系o一入A（1,小,0）» 8（-1,小,0）» P（0, 0. 1）, A/（；，0）.因為8O=8A, M為。4的中點，所以BW«LO4.因為尸平而。48,尸OU平面尸OA,所以平面尸OA«L平而。A8.因為平面產。4 A平面OAB=OA, 8MU平面OAB,所以8M_L平而?04.因為麗7=g, 一坐，0）.所以平面的法向量膽=（5，-1, 0）.濟=(1, 1).設直線BP與平面FQ4所成角為原則 sin a = cos < m.BP> =m.BP所以

43、直線BP與平面POA所成角的正弦值為雪. 10分(III)由(11)知£是信耳，升 04 = （1.73,0）.設平面OAE的法向量為，則行OA n = 0,x + J3v = 0,. _,即， )OE n = 0.-x + 3y + z = 0.令y = -l,則戈=6，Z = 2VJ.即 = (O,-l,2遙卜s、i /切21所以30)=而=寸,7T 由題知二面角尸一AO-E為銳角，所以它的大小為一. 14分3（2018年海淀一模）（17）（本小題14分）己知三棱錐P-A8C （如圖1）的平面展開圖（如圖2）中，四邊形ABCQ為邊長為的正方形,ABE和BCF均為正三角形.在三棱錐

44、P-A8C中:（I ）證明：平面以C_L平面A8C：（II ）求二面角A-PC-B的余弦值：（III）若點M在極PC上，滿足也=入，入e|"L2,點N在棱"上，且5M J_AN.求變的取CP13 3BP值范應F（I ）方法1：設AC的中點為。，連接60, PO.由題意PA = PB= PC =。，PO = 1, AO=BO = CO=1因為在APAC中，PA = PC,。為AC的中點所以PO1AC, 1分因為在 APOB 中，PO = 1, OB = 1，PB = O所以PO1OB2分因為ACCOB = Ot AC,O5u平面46。3 分所以PO1平面48。因為尸Ou平面P

45、AC4分所以平面PAC_L平面A8C方法2：設AC的中點為。，連接80，PO.因為在APAC中，PA = PC,。為AC的中點所以PO1AC, 1分因為 PA = PB = PC、PO = PO = PO, AO = BO = CO所以 SPOA SPOB SPOC所以 ZPOA = APOB = APOC = 90°所以POVOB2分因為ACnOB = O, AC,O6u平面46c3分所以尸O_L平面ABC因為POu平面PAC4分所以平面E4cl平面A6C方法3：pB設AC的中點為。，連接尸O,因為在/"(7中，PA = PC.所以PO1AC 1分設人6的中點。，連接P。

46、，。及05.因為在048中，OA = OB,。為A8的中點所以OQLAB.因為在APAB中，PA = PB,。為A6的中點所以PQLAB.因為尸2n。=。，尸。,。=平面。尸。所以46,平面OP。因為POu平面OPQ所以PO±AB 2分因為 ABQAC=A, A8,ACu平面ABC3 分所以平面A6c因為尸Ou平面尸AC所以平面。4c，平面ABC設AC的中點為。，連接80，PO.因為在尸AC中，PA = PC,。為AC的中點所以POVAC. 1分因為在AASC中，BA = BC,。為AC的中點所以BOVAC. 2分因為 PORBO = O, POu 平面 PAC, 80 u 平面 A

47、BC,所以NPOB為二面角P-AC-B的平面角。3分因為在 APOB 中，PO = 1, OB = 1, PB = 4所以POt OB4分故二面角尸-AC-8為直二面角，即平面PA平1平面A6C。(II)由PO_L平而人5C, OBLAC,如圖建立空間宜角坐標系，則0(0.0,0), CQ,0,0), 8(0,1,0), A(1,0,0),。(0,0,1)5 分由O6_L平面APC,故平面APC的法向量為。5= (0,1,0)6分 由比= (10), PC = (l,0,-l)設平面尸8c的法向量為方= (x,y,z)，則令x=l,得y = l, z = l，即 =(1,1/)7分- 7TB

48、n OB 1 yf3cos < n.OB >=_ =8 分n'OB3由二面角4一尸。一6是銳二面角，所以二面角4一PC5的余弦值為立9分3(III)設 bN = bP, 0</<1,則10分= BC+CM = BC+ACP = (1,-1,0) + 2(-1,0,1) = (1-2,-1,2)AN = AB + BN = AB + pBP = (1,1,0) + /(0,1,1) = (1,1 /, 4) 11分 令而京=0得(1 N),l + (-1)(1 ) + N = 012分即=7 = 1-一,"是關于2的單調遞增函數，13分1 + Z1 +

49、Z21 2當法弓聲時，引子打14分所以群好注：第(1)題四個得分點少一個扣1分：第(H)題建系前的證明很簡單，沒寫不扣分，若解答從 點的坐標開始出錯并且這個證明過程寫了可以給1分：平面PBC的法向量不正確但方程組正確列出給1分：向量夾角余弦不正確但公式正確給1分；二面角是銳角沒說明直接給出正確答案不扣分。第（IH）題 寫出西麗=0,而沒有給出入和N的關系式，給1分：沒有寫“是關于人的單調遞增函數”而結論 正確不扣分；最后正確求出N的范圍，而沒寫空£±2不扣分。BP 4 5（2018年西城一模）17.（本小題滿分14分）如圖1,在中，D,石分別為AB, AC的中點，。為。石的

50、中點，A8 = AC = 2不，8c = 4.將 4）后沿DE折起到4。石的位置，使得平面4。七，平面8CE。，如圖2.（I ）求證：OLBD（II ）求直線AC和平面A/。所成角的正弦值；若不存在，說明理由.所以 DE/BC. AD = AE.（川）線段4c上是否存在點尸，使得直線。尸和8c所成角的余弦值為無？若存在，求出 g的值; 3A C圖1圖2（I ）因為在ABC中，。，£分別為AB, AC的點，所以= 又。為OE的中點，1分3分4分5分所以OrDE.因為 平面平面8CE。，且AOu平面AOE,所以AO_L平面8CED，所以OLBD .（H）取6c的中點G,連接OG,所以OE±OG .由(I )得 O1OE. ApLOG.如圖建立空間直角坐標系O-xvz .由題意得，A(0,0,2)，8(2,2,0), C(2,2,0),。(0.-1,0) .所以 蔡= (2,-2,-2), 還=(01,一2), 最=(2,2,-2).設平面BD的法向量為 =（x,y,z），2019年北京高三模擬考試理科數學試題分類匯編立體幾何Il A/ = 0.兒0 = 0.令 x = l,貝！l> = 2, z =1,所以 =(1,2