1、2019 年普通高等學校招生全國統一考試2017 年普通高等學校招生全國統一考試理科數學一、選擇題：本題共12 小題，每小題5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知集合A= x| x<1 ，B= x| 3x1 ，則A A IB x | x0B A U BRC A U B x | x1D A IB2如圖， 正方形 ABCD內圖形來自中國古代的太極圖 . 正方形內切圓中黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱 . 在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是A 1B C 1D 48243設有下面四個命題p1 ：若復數 z 滿足1R ，則 zR

2、；p2 ：若復數 z 滿足 z2R ，則 zR ；zp3 ：若復數 z1, z2 滿足 z1z2 R ，則 z1z2 ；p4 ：若復數 z R ，則 zR .其中的真命題為A p1 , p3B p1, p4C p2 , p3D p2 , p44記 Sn 為等差數列 an 的前 n 項和若 a4a524， S648，則 an 的公差為A 1B2C 4D 85 函數 f (x) 在 (,) 單調遞減，且為奇函數若f (1)1 ，則滿足 1f (x2)1 的 x 的取值范圍是A 2,2B 1,1C 0,4D 1,36 (112 )(1 x)6 展開式中 x2 的系數為A 15B 20C 30D 35

3、x7某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形. 該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為A10B12C 14D 1612019 年普通高等學校招生全國統一考試8右面程序框圖是為了求出滿足nn的最小偶數 n，那么在和兩個空白框中，可以分別填入3 - 2 >1000A >1 000和 =+1B >1 000 和= +2CA1 000和 =+1DA1000 和= +2An nAn nn nn n9已知曲線1：y=cosx， 2 ：=sin (2x+ 2) ，則下面結論正確的是CCy3A把 C

4、上各點的橫坐標伸長到原來的2 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移C個單位長度，得到曲線162B把 C1 上各點的橫坐標伸長到原來的2 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線12C2C把 C1 上各點的橫坐標縮短到原來的1 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C226D把 C1 上各點的橫坐標縮短到原來的1 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線212C210已知 F為拋物線 C：y2=4x 的焦點，過F 作兩條互相垂直的直線l ，l，直線 l1與 C交于 A、B 兩點，直線 l2與 C12交于、E兩點，則 |+| 的最小值為DA

5、BDEA16B 14C 12D 1011設 xyz 為正數，且 2x3y5z ，則A2<3 <5B5 <2 <3yC3 <5 <2D3 <2 <5zx y zz xy z xy x12幾位大學生響應國家的創業號召，開發了一款應用軟件。為激發大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動. 這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1， 1， 2， 1，2， 4， 1， 2，4，8， 1，2， 4， 8， 16，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20， 21， 22，依此類推。求滿足如下條件的最小整數N

6、：N>100 且該數列的前 N項和為 2 的整數冪。那么該款軟件的激活碼是A440B 330C 220D 110二、填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共 20 分。13已知向量a， b 的夾角為 60°， | a|=2 ， | b|=1 ，則 | a +2 b |= .22019 年普通高等學校招生全國統一考試x2 y114設 x， y 滿足約束條件2x y1，則 z 3x 2 y 的最小值為 .xy015已知雙曲線 C： x2y21 （ a>0， b>0）的右頂點為 A，以 A 為圓心， b 為半徑做圓 A，圓 A 與雙曲線 C的一條a 2b2漸近線交于 M、

7、 N兩點。若 MAN=60°，則 C的離心率為 _。16如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為 5 cm，該紙片上的等邊三角形的中心為。、為圓上的點， ，OABCODEFODBC ECA， FAB分別是以 BC，CA，AB為底邊的等腰三角形。 沿虛線剪開后， 分別以 BC，CA，AB為折痕折起 DBC， ECA， FAB，使得 D、 E、 F 重合，得到三棱錐。當 ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：3cm）的最大值為 _ 。三、解答題：共 70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第 22、 23題為選考題，考生根據要求作答。（一

8、）必考題：共60 分。17（ 12 分） ABC的內角 A，B， C的對邊分別為a， b，c，已知 ABC的面積為a23sin A（ 1）求 sin Bsin C;（ 2）若 6cosBcos C=1， a=3，求 ABC的周長 .18. （12 分）如圖，在四棱錐中，且BAPCDP 90o .P-ABCDAB/CD（ 1）證明：平面 PAB平面 PAD；（ 2）若 PA=PD=AB=DC， APD 90o ，求二面角 A- PB- C的余弦值 .19（ 12 分）為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16 個零件，并測量其尺寸（單位：cm）根據長期生產經驗，

9、可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布N( , 2)（ 1）假設生產狀態正常，記X 表示一天內抽取的16 個零件中其尺寸在 (3 ,3 ) 之外的零件數，求P( X 1)及 X 的數學期望；（ 2）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在(3,3) 之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產32019 年普通高等學校招生全國統一考試過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查（）試說明上述監控生產過程方法的合理性；（）下面是檢驗員在一天內抽取的16 個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2

10、210.0410.059.95經計算得零件的尺寸，1161161 (16xxi9.97 ， s(xi x )2xi2 16x 2 )20.212，其中 xi 為抽取的第 i 個16 i 116 i 116i 1i1,2, ,16用樣本平均數x 作為的估計值?，用樣本標準差s 作為的估計值?，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除(? ?3?和（精確到0.01）3 ,) 之外的數據，用剩下的數據估計附：若隨機變量Z 服從正態分布N ( ,2) ，則 P(3Z3 )0.997 4 ，0.997 4 160.959 2 ， 0.0080.09 20. （ 12 分）已知橢圓 ： x2y2

11、1233 ），4（ 1，3）中恰有三點在橢Ca22=1 （ a>b>0），四點 P （ 1,1 ）， P（ 0,1），P（ 1，2P2b圓 C上.（ 1）求 C的方程；（ 2）設直線l 不經過 P2 點且與 C相交于 A， B兩點。若直線P2A與直線 P2B 的斜率的和為1，證明： l 過定點 .21. （12 分）已知函數（f x)ae2x+( a 2) e x x.（ 1）討論 f ( x) 的單調性；（ 2）若 f ( x) 有兩個零點，求 a 取值范圍 .（二）選考題：共10 分。請考生在第22、 23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做第一題計分。22 選修 44：坐標

12、系與參數方程 （ 10 分）在直角坐標系xOy中，曲線 C的參數方程為x3cos, （ 為參數），直線l 的參數方程為ysin,xa4t,為參數） .y1（tt,（ 1）若 a=- 1，求 C與 l 的交點坐標；（ 2）若 C上的點到 l 的距離的最大值為17 ，求 a.23 選修 4 5：不等式選講 （ 10 分）已知函數 f （x） = x2+ax+4， g( x)= x+1+ x1.（ 1）當 a=1 時，求不等式 f （ x） g（ x）的解集；（ 2）若不等式 f （ x） g（ x）的解集包含 1， 1 ，求 a 的取值范圍 .42019 年普通高等學校招生全國統一考試52019

13、年普通高等學校招生全國統一考試2017 年普通高等學校招生全國統一考試理科數學參考答案一、選擇題：本題共12 小題，每小題5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1. A2 B3 B4 C5 D6 C7B8D9 D10 A11 D12 A二、填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共 20 分。13 2314 -5152 316 15cm33三、解答題：共70 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第 22、 23 題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共60 分。17（ 12 分）ABC的內角 A，B

14、，C的對邊分別為 a，b，c，已知 ABC的面積為a 23sin A（ 1）求 sin Bsin C;（ 2）若 6cosBcosC=1，a=3，求 ABC的周長 .解：（1）由題意可得 S ABC 1 bc sin Aa2，23sin A化簡可得 2a23bc sin2 A ，22sinBsinC2。根據正弦定理化簡可得： 2sin A 3sinBsinCsin A3（2）由62019 年普通高等學校招生全國統一考試2sin B sinC123cos A1cos A B sin B sinC cosB cosCA，23cos B cosC6因此可得 BC ，3將之代入 sin B sinC2

15、 中可得： sin3C sin C3 sin C cosC1 sin 2 C 0 ，322化簡可得 tanC3C, B，366利用正弦定理可得 basin B313，sin A322同理可得 c3 ，故而三角形周長為 323 。18. （12 分）如圖，在四棱錐 P-ABCD中，AB/CD，且BAPCDP90o .（ 1）證明：平面 PAB平面 PAD；（ 2）若 PA=PD=AB=DC， APD 90o ，求二面角 A- PB- C余弦值 .（ 1）證明：Q AB / /CD,CDPDABPD ,又ABPA, PAPDP , PA、PD都在平面 PAD內，72019 年普通高等學校招生全國統

16、一考試故而可得 ABPAD 。又 AB在平面 PAB內，故而平面 PAB平面 PAD。（ 2）解：不妨設 PAPDABCD2a ，以 AD中點 O為原點， OA為 x 軸，OP為 z 軸建立平面直角坐標系。故而可得各點坐標： P 0,0, 2a , A 2a,0,0 , B 2a,2 a,0 , C2a,2 a,0 ，uuuruuuruuur因此可得 PA2a,0, 2a , PB2a,2 a, 2a , PC2a,2 a,2auruur假設平面 PAB 的法向量 n1x, y,1，平面 PBC 的法向量 n2m,n,1，故而可得同理可得uruuur2ax2a0x 1urn1PA1,0,1 ，

17、uruuur2ax2ay2a0，即 n1n1PBy 0uuruuur2am2an2a0m0n2PCuuruuuruur0, 2,1。2am2an2a0n2 ，即 n2n2PB22ur uur13因此法向量的夾角余弦值：cos n1 ,n233 。223很明顯，這是一個鈍角，故而可得余弦為3 。19（ 12 分）為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16 個零件，并測量其尺寸（單位： cm）根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布N (,2 ) （ 1）假設生產狀態正常，記X 表示一天內抽取的16 個零件中其尺寸在(3,3) 之外

18、的零件數，求P( X1)及 X 的數學期望；（ 2）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在(3,3) 之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查（）試說明上述監控生產過程方法的合理性；（）下面是檢驗員在一天內抽取的16 個零件的尺寸：82019 年普通高等學校招生全國統一考試9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經計算得零件的尺寸，116i9.97，s116x )2116216x2)20.212，其中 xi 為抽取的第i 個xx(xi16(xi

19、16 i 116 i 1i 1i 1,2,16用樣本平均數x 作為的估計值? ，用樣本標準差s 作為的估計值?，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除( ? 3?, ? 3 ?) 之外的數據，用剩下的數據估計和（精確到0.01 ）附：若隨機變量Z 服從正態分布N ( ,2) ，則 P(3Z3) 0.997 4，0.997 4 160.959 2 ，0.0080.09 解：（1） P X11PX01 0.99741610.95920.0408由題意可得，X滿足二項分布X B 16,0.0016 ，因此可得 EX16,0.0016160.00160.0256（ 2） 由（ 1）可得P

20、X10.04085%，屬于小概率事件，1故而如果出現 (3,3 ) 的零件，需要進行檢查。29.97,0.21239.334,310.606， 由題意可得故而在 9.334,10.606范圍外存在9.22 這一個數據，因此需要進行檢查。此時：x9.97169.22，1510.0211515xx0.09 。i 120. （12 分）已知橢圓x2y233C：2b2 =1> >0），四點P （1,1），P（0,1），P （1，），P（1，）中恰有三點在橢a22（ a b4123圓 C上.（ 1）求 C的方程；（ 2）設直線 l 不經過 P2 點且與 C相交于 A， B兩點。若直線 P2A

21、 與直線 P2B 的斜率的和為 1，證明： l 過定點 .解：（ 1）根據橢圓對稱性可得，P1（ 1,1 ） P4（ 1，3 ）不可能同時在橢圓上，292019 年普通高等學校招生全國統一考試P（1，33），P（ 1，）一定同時在橢圓上，3242因此可得橢圓經過P （0,1 ）， P3），P（1，3（ 1，），23242代入橢圓方程可得：13b1, a241 a2 ，2故而可得橢圓標準方程為：xy21。4（ 2）由題意可得直線P2A 與直線 P2B 斜率一定存在，不妨設直線 P A為： y kx1 , P B為： y1kx1.22ykx1聯立x24k21 x28kx0 ，y214假設 Ax1

22、, y1， Bx2 , y2此時可得：8k 1 4k 28 1 k1 4 1 k2A, B，,14 1 k 2,14k21 4k21 4 1 k 214 121 4k 22ky2y14 1 k14k21此時可求得直線的斜率為：kABx2x18 1k8k，4 1k214k21化簡可得 kAB1，此時滿足 k1。12k2211 當 k時， AB兩點重合，不合題意。2211x8k14k2 當 k時，直線方程為： y124k 214k 2，22k14k 24k1x即 y12k2，當 x21. （ 12 分）已知函數 （f x)2xxae+( a2) e x.（ 1）討論 f ( x) 的單調性；（ 2

23、）若 f ( x) 有兩個零點，求 a 的取值范圍2 時， y1 ，因此直線恒過定點2, 1 。.102019 年普通高等學校招生全國統一考試解：（ 1）對函數進行求導可得 f 'x2ae2 xa2ex1aex1ex1 。10 時， f 'xaex1ex10 恒成立，故而函數恒遞減 當 a20 時， f 'xaex1ex10x1，故而可得函數在,ln1 當 aln上單調遞減，在aa1,上單調遞增。lna（ 2）函數有兩個零點，故而可得a0 ，此時函數有極小值f ln 1ln a11，aa要使得函數有兩個零點，亦即極小值小于0，故而可得 ln a10 a0，令 galn a11，1aaa1對函數進行求導即可得到g' a0 ，故而函數恒遞增，a21又 g 10 ，g aln a1 0a 1 ，a因此可得函數有兩個零點的范圍為a0,1。（二）選考題：共10 分。請考生在第22、 23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22 選修 44：坐標系與參數方程 （