1、2021屆市七中高三上學(xué)期入學(xué)數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）2021屆市七中高三上學(xué)期入學(xué)數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題 1已知集合，則（ ） A B C D 【答案】B 【解析】分析p ：根據(jù)一元二次不等式的解法求得集合B，之后根據(jù)子集的定義可以判斷出，根據(jù)交集中元素的特征求得，根據(jù)并集中元素的特征，可以求得，從而求得結(jié)果.詳解：由可以求得， 從而求得，所以，故選B.點(diǎn)睛：該題以集合為載體，考查了一元二次不等式的解法，并考查了集合間的關(guān)系以及集合的交并運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題目.2已知，i為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a的值為 A1 B2 C3 D4 【答案】A 【解析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由虛部為0

2、求解可得答案.【詳解】 解：為實(shí)數(shù)， ，即 故選:A 【點(diǎn)睛】 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題 3孫子算經(jīng)是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題:“今有五等諸侯，共分橘子六十顆，人別加三顆.問(wèn): 五人各得幾何?”其意思為: 有5個(gè)人分60個(gè)橘子，他們分得的橘子數(shù)成公差為3的等差數(shù)列，問(wèn)5人各得多少個(gè)橘子.這個(gè)問(wèn)題中，得到橘子最多的人所得的橘子個(gè)數(shù)是（ ） A15 B16 C18 D21 【答案】C 【解析】分析p ：首先根據(jù)題意，先確定其為一個(gè)等差數(shù)列的問(wèn)題，已知公差、項(xiàng)數(shù)與和，求某項(xiàng)的問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，經(jīng)分析p ，先確定首項(xiàng)，之后根據(jù)其和建立等量關(guān)系式，最后再

3、利用通項(xiàng)公式求得第五項(xiàng)，從而求得結(jié)果.詳解：設(shè)第一個(gè)人分到的橘子個(gè)數(shù)為， 由題意得，解得， 則，故選C.點(diǎn)睛：該題所考查的是有關(guān)等差數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，注意分析p 題的條件，已知的量為公差、項(xiàng)數(shù)與和、而對(duì)于等差數(shù)列中，這五個(gè)量是知三求二的，所以應(yīng)用相應(yīng)的公式求得對(duì)應(yīng)的量即可.4函數(shù)的大致圖象為 A B C D 【答案】A 【解析】利用函數(shù)的奇偶性排除，利用函數(shù)的單調(diào)性排除，從而可得結(jié)果 【詳解】 ， ， 為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除， 在上是增函數(shù)且， 在上是增函數(shù)且， 所以在是增函數(shù)，排除，故選A 【點(diǎn)睛】 函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手： (1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象

4、的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置 (2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)； (3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性； (4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.5的展開(kāi)式中，的系數(shù)是 A40 B60 C80 D100 【答案】C 【解析】先寫出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，然后令的指數(shù)為4，解出相應(yīng)參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得出結(jié)果 【詳解】 二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為 令，得 因此，二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為，故選C 【點(diǎn)睛】 本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.二項(xiàng)展開(kāi)式定理的問(wèn)題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式

5、；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開(kāi)式定理的應(yīng)用.6按照如圖的程序框圖執(zhí)行，若輸出結(jié)果為15，則M處條件為 A B C D 【答案】A 【解析】分析p ：首先根據(jù)題中所給的框圖，分析p 可知其任務(wù)是對(duì)等比數(shù)列求和的問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，從而很容易發(fā)現(xiàn)其前4項(xiàng)和等于15，而對(duì)于k的值為數(shù)列的項(xiàng)，結(jié)合題中的條件，分析p 各選項(xiàng)，可以求得正確結(jié)果.詳解：根據(jù)題中所給的程序框圖，可以確定該題要求的是， 對(duì)應(yīng)的正好是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列， 該數(shù)列的前4項(xiàng)和正好是15，結(jié)合題中所給的條件，一一試過(guò)，可知選

6、A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)程序框圖的問(wèn)題，該題屬于補(bǔ)充條件的問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，注意數(shù)列的項(xiàng)的大小，以及項(xiàng)之間的關(guān)系，從而求得正確結(jié)果.7已知銳角ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,則b等于( ) A10 B9 C8 D5 【答案】D 【解析】由題意知,23cos2A+2cos2A-1=0, 即cos2A=, 又因ABC為銳角三角形, 所以cosA=.ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b6, 即b2-b-13=0, 即b=5或b=-(舍去),故選D.8曲線與直線圍成的平面圖形的面積為（ ） A B C D 【答案】D 【解析】

7、先作出直線與曲線圍成的平面圖形的簡(jiǎn)圖，聯(lián)立直線與曲線方程，求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)定積分即可求出結(jié)果.【詳解】 作出曲線與直線圍成的平面圖形如下： 由解得：或， 所以曲線與直線圍成的平面圖形的面積為 .故選D 【點(diǎn)睛】 本題主要考查定積分的應(yīng)用，求圍成圖形的面積只需轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的定積分問(wèn)題求解即可，屬于常考題型.9已知函數(shù)，若直線過(guò)點(diǎn)，且與曲線相切，則直線的斜率為 A B2 C D 【答案】B 【解析】求得的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，可得切線的斜率，結(jié)合兩點(diǎn)的斜率公式，解方程可得m，從而可得結(jié)果 【詳解】 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為， 設(shè)切點(diǎn)為，則， 可得切線的斜率為， 所以， 解得，故選B 【點(diǎn)睛】 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)

8、求切線斜率，屬于中檔題.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1) 已知切點(diǎn)求斜率,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2) 己知斜率求切點(diǎn)即解方程；(3) 巳知切線過(guò)某點(diǎn)(不是切點(diǎn)) 求切點(diǎn), 設(shè)出切點(diǎn)利用求解.10巳知將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)単位長(zhǎng)度后.得到函數(shù)的圖象.若是偶函數(shù).則=( ) A B C D 【答案】A 【解析】先由題意寫出，根據(jù)是偶函數(shù)求出，即可得出結(jié)果.【詳解】 由題意可得：， 因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即， 又，所以，解得，所以，故； 所以.故選A 【點(diǎn)睛】 本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換與三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記性質(zhì)即可，屬于常考題型.11如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽約3世紀(jì)

9、初在為周髀算經(jīng)作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則區(qū)域涂色不相同的概率為 A B C D 【答案】D 【解析】利用分步計(jì)數(shù)原理求出不同的涂色方案有420種，其中，區(qū)域涂色不相同的情況有120種，由此根據(jù)古典概型概率公式能求出區(qū)域涂色不相同的概率 【詳解】 提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同， 根據(jù)題意，如圖，設(shè)5個(gè)區(qū)域依次為,分4步進(jìn)行分析p ： ，對(duì)于區(qū)域，有5種顏色可選； ，對(duì)于區(qū)域與區(qū)域相鄰，有4種顏色可選； ，對(duì)于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有3種顏色可選； ，對(duì)于區(qū)域，若與顏色

10、相同，區(qū)域有3種顏色可選， 若與顏色不相同，區(qū)域有2種顏色可選，區(qū)域有2種顏色可選， 則區(qū)域有種選擇， 則不同的涂色方案有種， 其中，區(qū)域涂色不相同的情況有： ，對(duì)于區(qū)域，有5種顏色可選； ，對(duì)于區(qū)域與區(qū)域相鄰，有4種顏色可選； ，對(duì)于區(qū)域與區(qū)域相鄰，有2種顏色可選； ，對(duì)于區(qū)域，若與顏色相同，區(qū)域有2種顏色可選， 若與顏色不相同，區(qū)域有2種顏色可選，區(qū)域有1種顏色可選， 則區(qū)域有種選擇， 不同的涂色方案有種， 區(qū)域涂色不相同的概率為 ,故選D 【點(diǎn)睛】 本題考查古典概型概率公式的應(yīng)用，考查分步計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題在求解有關(guān)古典概型概率的問(wèn)題時(shí)，首先求出樣本空間中基本

11、事件的總數(shù)，其次求出概率事件中含有多少個(gè)基本事件，然后根據(jù)公式求得概率.12如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿_軸正向滾動(dòng)，先以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)B落在_軸時(shí)，又以B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此下去，設(shè)頂點(diǎn)C滾動(dòng)時(shí)的曲線方程為，則下列說(shuō)法不正確的是 A恒成立 B C D 【答案】C 【解析】根據(jù)正方形的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，分別求出當(dāng)，1，2，3，4時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，得到具備周期性，周期為4，結(jié)合圖象，當(dāng)時(shí)，C的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，即可判斷所求結(jié)論 【詳解】 解：正方形的邊長(zhǎng)為1，正方形的對(duì)角線， 則由正方形的滾動(dòng)軌跡得到時(shí)，C位于點(diǎn)，即， 當(dāng)時(shí)，C位于點(diǎn)，即， 當(dāng)時(shí)，C位于點(diǎn)，即， 當(dāng)時(shí)，C位于點(diǎn)

12、，即， 當(dāng)時(shí)，C位于點(diǎn)，即， 則，即具備周期性，周期為4， 由圖可得恒成立； 當(dāng)時(shí)，C的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，方程為； ， 綜上可得A，B，D正確；C錯(cuò)誤 故選:C 【點(diǎn)睛】 本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算和函數(shù)的解析式和性質(zhì)，結(jié)合正方形的運(yùn)動(dòng)軌跡，計(jì)算出對(duì)應(yīng)函數(shù)值，得到周期性是解決本題的關(guān)鍵 二、填空題 13已知等差數(shù)列，且，則數(shù)列的前7項(xiàng)和_【答案】56 【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：利用求和公式即可得出數(shù)列的前7項(xiàng)和 【詳解】 解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得： 數(shù)列的前7項(xiàng)和 故答案為:56 【點(diǎn)睛】 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的性質(zhì)及其求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 14

13、若_，y滿足約束條件，則的最小值為_(kāi) 【答案】 【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可 【詳解】 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 的幾何意義是平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離， 由圖象得O到直線的距離最小， 此時(shí)最小值， 則的最小值是， 故答案為： 【點(diǎn)睛】 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵 15已知向量與的夾角為，且，若，且則實(shí)數(shù)的值為_(kāi) 【答案】 【解析】，()()22(1)0，即94(1)320，解得.點(diǎn)睛：平面向量數(shù)量積的類型及求法 (1)求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式ab|a|b|cos ；二是坐

14、標(biāo)公式ab_1_2y1y2；三是利用數(shù)量積的幾何意義.(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn).16若過(guò)拋物線上一點(diǎn)，作兩條直線PA，PB分別與拋物線交于兩點(diǎn),若它們的斜率之和為0，則直線AB斜率為_(kāi) 【答案】 【解析】根據(jù)斜率公式可得,利用化簡(jiǎn)可得,再根據(jù)斜率公式可得.【詳解】 解：依題意有, 又, 所以, 所以, 所以, 所以, 【點(diǎn)睛】 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，斜率公式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力屬于基礎(chǔ)題.三、解答題 17已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，又 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 若數(shù)列滿足，求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和 【答案】（1）（2

15、）證明見(jiàn)解析 【解析】直接利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出數(shù)列的公差，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式 利用等比數(shù)列的求和公式和放縮法的應(yīng)用求出數(shù)列的和 【詳解】 解：設(shè)的公差為d,因?yàn)椋?所以，解得 故 證明：由于，所以， 所以 【點(diǎn)睛】 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的應(yīng)用，放縮法的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型 18如圖1,在正方形中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上,且.若將 分別沿折起，使兩點(diǎn)重合于點(diǎn),如圖2.圖1 圖2 (1)求證:平面； (2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為

16、，由，可得，結(jié)合，利用線面垂直的判定定理，即可得到平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，求出向量和平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】 （1）證明：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4，由圖1知, , , ,即 由題意知，在圖2中，,平面,平面,且, 平面,平面,.又平面,平面,且,平面 （2）由（1）知平面，則建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)作，垂足為， 在中，, ,從而 , ,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則， 令，則，.設(shè)直線與平面所成角為, 則, .直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】 該題考查的是有關(guān)立體幾何的有關(guān)問(wèn)題，一是線面垂直的判定，一定要把握好線面垂直的判定定理的條件，

17、注意勾股定理也是證明線線垂直的好方法，二是求線面角，利用空間向量來(lái)求解，即直線的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值等于線面角的正弦值，求得結(jié)果.1920_年某市政府出臺(tái)了“2021年創(chuàng)建全國(guó)文明城市簡(jiǎn)稱創(chuàng)文”的具體規(guī)劃，今日，作為“創(chuàng)文”項(xiàng)目之一的“市區(qū)公交站點(diǎn)的重新布局及建設(shè)”基本完成，市有關(guān)部門準(zhǔn)備對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果決定是否驗(yàn)收，調(diào)查人員分別在市區(qū)的各公交站點(diǎn)隨機(jī)抽取若干市民對(duì)該項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)分，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，相關(guān)規(guī)則為：調(diào)查對(duì)象為本市市民，被調(diào)查者各自獨(dú)立評(píng)分；采用百分制評(píng)分，內(nèi)認(rèn)定為滿意，80分及以上認(rèn)定為非常滿意；市民對(duì)公交站點(diǎn)布局的滿意率

18、不低于即可進(jìn)行驗(yàn)收；用樣本的頻率代替概率 求被調(diào)查者滿意或非常滿意該項(xiàng)目的頻率； 若從該市的全體市民中隨機(jī)抽取3人，試估計(jì)恰有2人非常滿意該項(xiàng)目的概率； 已知在評(píng)分低于60分的被調(diào)查者中，老年人占，現(xiàn)從評(píng)分低于60分的被調(diào)查者中按年齡分層抽取9人以便了解不滿意的原因，并從中選取2人擔(dān)任群眾督察員，記為群眾督查員中老年人的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望 【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】試題分析p ：（1）根據(jù)直方圖的意義，求出后四個(gè)小矩形的面積和即可求得被調(diào)查者滿意或非常滿意該項(xiàng)目的頻率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，被調(diào)查者非常滿意的頻率是 ，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次發(fā)生次的概率公式可得結(jié)

19、果；（3）隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，利用組合知識(shí)根據(jù)古典概型概率公式分別求出各隨機(jī)變量的概率，即可得分布列，根據(jù)期望公式可得結(jié)果.試題解析：（1）根據(jù)題意：60分或以上被認(rèn)定為滿意或非常滿意，在頻率分布直方圖中， 評(píng)分在的頻率為： ； （2）根據(jù)頻率分布直方圖，被調(diào)查者非常滿意的頻率是 ， 用樣本的頻率代替概率，從該市的全體市民中隨機(jī)抽取1人， 該人非常滿意該項(xiàng)目的概率為， 現(xiàn)從中抽取3人恰有2人非常滿意該項(xiàng)目的概率為： ； （3）評(píng)分低于60分的被調(diào)查者中，老年人占， 又從被調(diào)查者中按年齡分層抽取9人， 這9人中，老年人有3人，非老年人6人， 隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，

20、的分布列為： 0 1 2 的數(shù)學(xué)期望 .20已知橢圓 的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,為橢圓上一點(diǎn)，滿足且 (1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: (2) 設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2） 【解析】分析p ：第一問(wèn)首先根據(jù)題中條件將涉及到的量設(shè)出來(lái)，之后結(jié)合橢圓的定義以及對(duì)應(yīng)的線段的倍數(shù)關(guān)系，求得對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，利用余弦定理借用余弦值建立邊之間的等量關(guān)系式，從而求得的值，借用橢圓中的關(guān)系，求得b的值，從而求得橢圓的方程，第二問(wèn)將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求得兩根和與兩根積，從而求得線段的中點(diǎn)，利用條件可得垂直關(guān)系，建立等量關(guān)系式，借用判別式大于零找到其所滿足的不等關(guān)系，求得k的取值范圍.詳解：（1）由題意設(shè)，則，又， 在 中，由余弦定理得， ， 解得，所求橢圓方程為 （2）聯(lián)立方程，消去得 ， 則 ，且 設(shè)的中心為，則 ， ,即， ，解得 把代入得，整理得，即 解得 點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)直線與橢圓的綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有橢圓的定義、余弦定理、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與橢圓相交的有關(guān)問(wèn)題，要會(huì)將題中條件加以轉(zhuǎn)化，再者要會(huì)找對(duì)應(yīng)的不等關(guān)系.21已知函數(shù)， 求證：對(duì)恒成立； 若